Bài học

Trung vị của mẫu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng công thức nội suy dựa trên tần số tích lũy, và giải thích được vì sao trung vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn số trung bình.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước dùng bảng chiều cao 40 học sinh để tính số trung bình (same-grade bridge — cùng bảng số liệu, cùng chương). Ở lớp 10, em cũng đã học trung vị của mẫu không ghép nhóm: sắp xếp các giá trị tăng dần rồi lấy giá trị chính giữa, hoặc trung bình cộng của hai giá trị giữa nếu cỡ mẫu chẵn (ôn lại kiến thức lớp 10). Với mẫu ghép nhóm, ta không còn danh sách giá trị đã sắp xếp để lấy trực tiếp — cần một cách khác.

Khởi động

Nếu trong 40 bạn ở bài trước có một bạn cao bất thường — chẳng hạn do nhập liệu nhầm thành 220 cm — số trung bình sẽ bị kéo lệch đáng kể dù chỉ một giá trị sai. Có cách đo xu thế trung tâm nào ít nhạy với kiểu sai lệch này hơn không?

Kiến thức trọng tâm

Trung vị chia mẫu số liệu thành hai phần bằng nhau: một nửa số giá trị nhỏ hơn hoặc bằng trung vị, nửa còn lại lớn hơn hoặc bằng. Với mẫu ghép nhóm, trước tiên ta lập thêm cột tần số tích lũy $cf_i$ — tổng tần số của nhóm hiện tại và tất cả các nhóm đứng trước nó. Tần số tích lũy cho biết có bao nhiêu giá trị nhỏ hơn đầu mút phải của mỗi nhóm.

Vị trí trung vị nằm ở giá trị thứ $n/2$ trong dãy đã sắp xếp. Nhóm chứa trung vị — gọi là nhóm trung vị — là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $cf_i \ge n/2$ . Vì không biết vị trí chính xác của từng giá trị trong nhóm trung vị, ta giả định các giá trị này rải đều trên khoảng của nhóm, rồi nội suy tuyến tính để ước lượng vị trí trung vị:

Vị trí trung vị nằm ở giá trị thứ $n/2$ trong dãy đã sắp xếp. Nhóm chứa trung vị — gọi là nhóm trung vị — là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $cf_i \ge n/2$. Vì không biết vị trí chính xác của từng giá trị trong nhóm trung vị, ta giả định các giá trị này rải đều trên khoảng của nhóm, rồi nội suy tuyến tính để ước lượng vị trí trung vị:

$M_e = L_m + \frac{\frac{n}{2}-cf_{m-1}}{n_m}\times h$

$$M_e = L_m + \frac{\frac{n}{2}-cf_{m-1}}{n_m}\times h$$

trong đó $L_m$ là đầu mút trái của nhóm trung vị, $cf_{m-1}$ là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm trung vị (không phải của chính nhóm trung vị), $n_m$ là tần số của nhóm trung vị, và $h$ là độ rộng nhóm. Phần phân số $\frac{n/2-cf_{m-1}}{n_m}$ chính là tỉ lệ quãng đường ta cần "đi vào" nhóm trung vị tính từ đầu mút trái để gom đủ $n/2$ giá trị.

Có thể hình dung công thức này như đổ nước vào một bình chia độ: mỗi nhóm là một đoạn ống có "dung tích" bằng tần số của nó. Ta đã đổ đủ $cf_{m-1}$ đơn vị qua các nhóm trước, còn cần thêm $\frac{n}{2}-cf_{m-1}$ đơn vị nữa mới đạt mốc $n/2$ . Vì đoạn ống của nhóm trung vị có "dung tích" $n_m$ trải đều trên chiều dài $h$ , lượng còn thiếu chiếm tỉ lệ $\frac{n/2-cf_{m-1}}{n_m}$ của đoạn ống đó — nhân tỉ lệ này với $h$ cho biết cần đi thêm bao xa từ $L_m$ . Giả định "phân bố đều trong nhóm" chính là điều kiện để phép nội suy tuyến tính này hợp lý; đó cũng là giả định giống hệt khi ta dùng trung điểm làm giá trị đại diện ở bài trước.

Có thể hình dung công thức này như đổ nước vào một bình chia độ: mỗi nhóm là một đoạn ống có "dung tích" bằng tần số của nó. Ta đã đổ đủ $cf_{m-1}$ đơn vị qua các nhóm trước, còn cần thêm $\frac{n}{2}-cf_{m-1}$ đơn vị nữa mới đạt mốc $n/2$. Vì đoạn ống của nhóm trung vị có "dung tích" $n_m$ trải đều trên chiều dài $h$, lượng còn thiếu chiếm tỉ lệ $\frac{n/2-cf_{m-1}}{n_m}$ của đoạn ống đó — nhân tỉ lệ này với $h$ cho biết cần đi thêm bao xa từ $L_m$. Giả định "phân bố đều trong nhóm" chính là điều kiện để phép nội suy tuyến tính này hợp lý; đó cũng là giả định giống hệt khi ta dùng trung điểm làm giá trị đại diện ở bài trước.

Ví dụ

Tính trung vị chiều cao của 40 học sinh

1
Dùng lại bảng chiều cao của 40 học sinh ở bài trước: $[150;155)$ : 3; $[155;160)$ : 7; $[160;165)$ : 12; $[165;170)$ : 10; $[170;175)$ : 6; $[175;180)$ : 2. Tính trung vị.
Dùng lại bảng chiều cao của 40 học sinh ở bài trước: $[150;155)$: 3; $[155;160)$: 7; $[160;165)$: 12; $[165;170)$: 10; $[170;175)$: 6; $[175;180)$: 2. Tính trung vị.
2
Ta có $cf_1=3,\ cf_2=10,\ cf_3=22,\ cf_4=32,\ cf_5=38,\ cf_6=40$ .
Ta có $cf_1=3,\ cf_2=10,\ cf_3=22,\ cf_4=32,\ cf_5=38,\ cf_6=40$.
3
Ta có $n/2=20$ . Vì $cf_2=10<20$ và $cf_3=22\ge20$ , nhóm trung vị là $[160;165)$ , với $L_m=160,\ cf_{m-1}=cf_2=10,\ n_m=12,\ h=5$ .
Ta có $n/2=20$. Vì $cf_2=10<20$ và $cf_3=22\ge20$, nhóm trung vị là $[160;165)$, với $L_m=160,\ cf_{m-1}=cf_2=10,\ n_m=12,\ h=5$.
4
$M_e=160+\dfrac{20-10}{12}\times5=160+\dfrac{10}{12}\times5=160+\dfrac{50}{12}=160+\dfrac{25}{6}$ .
$M_e=160+\dfrac{20-10}{12}\times5=160+\dfrac{10}{12}\times5=160+\dfrac{50}{12}=160+\dfrac{25}{6}$.
5
Vậy $M_e\approx164{,}17$ , làm tròn đến hàng phần chục là $164{,}2$ cm.
Vậy $M_e\approx164{,}17$, làm tròn đến hàng phần chục là $164{,}2$ cm.
6
Ta có $164{,}2$ nằm trong khoảng $[160;165)$ — đúng như điều kiện bắt buộc của nhóm trung vị, nên kết quả hợp lý. So với số trung bình $164{,}4$ cm tính ở bài trước, trung vị $164{,}2$ cm rất gần — dấu hiệu cho thấy mẫu chiều cao này không lệch nhiều.
Ta có $164{,}2$ nằm trong khoảng $[160;165)$ — đúng như điều kiện bắt buộc của nhóm trung vị, nên kết quả hợp lý. So với số trung bình $164{,}4$ cm tính ở bài trước, trung vị $164{,}2$ cm rất gần — dấu hiệu cho thấy mẫu chiều cao này không lệch nhiều.

Khi bài trước có một bạn cao bất thường 220 cm do nhập liệu sai, nếu bạn đó thuộc nhóm $[175;180)$ hay thậm chí một nhóm ngoài bảng, số trung bình sẽ tăng lên rõ rệt, nhưng trung vị hầu như không đổi — vì trung vị chỉ quan tâm nhóm nào chứa vị trí thứ $n/2$ , không quan tâm giá trị lớn nhất lớn đến đâu. Đây chính là lý do trung vị được ưa dùng khi mẫu số liệu có khả năng chứa giá trị bất thường, chẳng hạn thống kê thu nhập hộ gia đình.

Khi bài trước có một bạn cao bất thường 220 cm do nhập liệu sai, nếu bạn đó thuộc nhóm $[175;180)$ hay thậm chí một nhóm ngoài bảng, số trung bình sẽ tăng lên rõ rệt, nhưng trung vị hầu như không đổi — vì trung vị chỉ quan tâm nhóm nào chứa vị trí thứ $n/2$, không quan tâm giá trị lớn nhất lớn đến đâu. Đây chính là lý do trung vị được ưa dùng khi mẫu số liệu có khả năng chứa giá trị bất thường, chẳng hạn thống kê thu nhập hộ gia đình.

Ví dụ

Trường hợp tần số tích lũy chạm đúng n/2 (dạng thi)

1
Thời gian (phút) hoàn thành 5 km chạy bộ phong trào của 60 người: $[10;20)$ : 10; $[20;30)$ : 20; $[30;40)$ : 15; $[40;50)$ : 10; $[50;60)$ : 5. Tính trung vị.
Thời gian (phút) hoàn thành 5 km chạy bộ phong trào của 60 người: $[10;20)$: 10; $[20;30)$: 20; $[30;40)$: 15; $[40;50)$: 10; $[50;60)$: 5. Tính trung vị.
2
Ta có $cf_1=10,\ cf_2=30,\ cf_3=45,\ cf_4=55,\ cf_5=60$ .
Ta có $cf_1=10,\ cf_2=30,\ cf_3=45,\ cf_4=55,\ cf_5=60$.
3
Ta có $n/2=30$ . Vì $cf_1=10<30$ và $cf_2=30\ge30$ (bằng đúng), nhóm trung vị là $[20;30)$ , với $L_m=20,\ cf_{m-1}=cf_1=10,\ n_m=20,\ h=10$ .
Ta có $n/2=30$. Vì $cf_1=10<30$ và $cf_2=30\ge30$ (bằng đúng), nhóm trung vị là $[20;30)$, với $L_m=20,\ cf_{m-1}=cf_1=10,\ n_m=20,\ h=10$.
4
$M_e=20+\dfrac{30-10}{20}\times10=20+\dfrac{20}{20}\times10=20+10=30$ .
$M_e=20+\dfrac{30-10}{20}\times10=20+\dfrac{20}{20}\times10=20+10=30$.
5
Vậy $M_e=30$ phút — trung vị rơi đúng vào đầu mút phải của nhóm $[20;30)$ .
Vậy $M_e=30$ phút — trung vị rơi đúng vào đầu mút phải của nhóm $[20;30)$.
6
Kết quả $30$ hợp lý vì đúng 30 trong 60 người (một nửa mẫu) có thời gian nhỏ hơn 30 phút theo $cf_2=30$ , khớp với định nghĩa trung vị chia mẫu thành hai nửa bằng nhau. Trường hợp này cũng cho thấy công thức nội suy vẫn hoạt động đúng ngay cả khi tần số tích lũy chạm chính xác vào mốc $n/2$ , không cần xử lý riêng như một ngoại lệ.
Kết quả $30$ hợp lý vì đúng 30 trong 60 người (một nửa mẫu) có thời gian nhỏ hơn 30 phút theo $cf_2=30$, khớp với định nghĩa trung vị chia mẫu thành hai nửa bằng nhau. Trường hợp này cũng cho thấy công thức nội suy vẫn hoạt động đúng ngay cả khi tần số tích lũy chạm chính xác vào mốc $n/2$, không cần xử lý riêng như một ngoại lệ.

Ví dụ

Kiểm chứng công thức trên mẫu nhỏ đã biết trước kết quả

1
Vẫn là 5 chiều cao thật ở bài trước: 151, 158, 163, 166, 178 (cm), ghép vào ba nhóm $[150;160)$ : 2; $[160;170)$ : 2; $[170;180)$ : 1. So sánh trung vị tính theo công thức nội suy với trung vị thật của 5 số liệu gốc.
Vẫn là 5 chiều cao thật ở bài trước: 151, 158, 163, 166, 178 (cm), ghép vào ba nhóm $[150;160)$: 2; $[160;170)$: 2; $[170;180)$: 1. So sánh trung vị tính theo công thức nội suy với trung vị thật của 5 số liệu gốc.
2
Sắp xếp tăng dần: $151,158,163,166,178$ . Vì $n=5$ lẻ, trung vị thật là giá trị chính giữa: $163$ cm.
Sắp xếp tăng dần: $151,158,163,166,178$. Vì $n=5$ lẻ, trung vị thật là giá trị chính giữa: $163$ cm.
3
Ta có $cf_1=2,\ cf_2=4,\ cf_3=5$ và $n/2=2{,}5$ . Vì $cf_1=2<2{,}5\le cf_2=4$ , nhóm trung vị là $[160;170)$ với $L=160,\ cf_{trước}=2,\ n_m=2,\ h=10$ : $M_e=160+\dfrac{2{,}5-2}{2}\times10=160+2{,}5=162{,}5$ cm.
Ta có $cf_1=2,\ cf_2=4,\ cf_3=5$ và $n/2=2{,}5$. Vì $cf_1=2<2{,}5\le cf_2=4$, nhóm trung vị là $[160;170)$ với $L=160,\ cf_{trước}=2,\ n_m=2,\ h=10$: $M_e=160+\dfrac{2{,}5-2}{2}\times10=160+2{,}5=162{,}5$ cm.
4
Kết quả $162{,}5$ nằm trong khoảng $[160;170)$ như điều kiện của nhóm trung vị, và gần với $160$ hơn là với $170$ — hợp lý vì trong nhóm này, hai giá trị thật là $163$ và $166$ , cả hai đều nằm ở nửa đầu của khoảng $[160;170)$ .
Kết quả $162{,}5$ nằm trong khoảng $[160;170)$ như điều kiện của nhóm trung vị, và gần với $160$ hơn là với $170$ — hợp lý vì trong nhóm này, hai giá trị thật là $163$ và $166$, cả hai đều nằm ở nửa đầu của khoảng $[160;170)$.
5
Vậy trung vị ước lượng từ mẫu ghép nhóm là $162{,}5$ cm, chỉ lệch $0{,}5$ cm so với trung vị thật $163$ cm — một lần nữa xác nhận công thức nội suy cho kết quả gần đúng đáng tin cậy, đúng như đã thấy với số trung bình ở bài trước.
Vậy trung vị ước lượng từ mẫu ghép nhóm là $162{,}5$ cm, chỉ lệch $0{,}5$ cm so với trung vị thật $163$ cm — một lần nữa xác nhận công thức nội suy cho kết quả gần đúng đáng tin cậy, đúng như đã thấy với số trung bình ở bài trước.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là lấy $cf$ của chính nhóm trung vị thay vì $cf$ của nhóm ngay TRƯỚC nó khi thay vào công thức. Sai lầm khác là quên nhân với $n/2$ mà lại dùng thẳng $n$ để tìm nhóm chứa trung vị — nhầm giữa vị trí trung vị (một nửa mẫu) với toàn bộ mẫu. Khi tần số tích lũy chạm đúng $n/2$ ở cuối một nhóm, nhóm trung vị vẫn là nhóm đó chứ không phải nhóm tiếp theo — công thức tự động cho kết quả bằng đúng đầu mút phải của nhóm, như ví dụ trên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trung vị của mẫu ghép nhóm: $M_e=L_m+\dfrac{n/2-cf_{m-1}}{n_m}\times h$ , với nhóm trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge n/2$ . Trung vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn số trung bình.

Trung vị của mẫu ghép nhóm: $M_e=L_m+\dfrac{n/2-cf_{m-1}}{n_m}\times h$, với nhóm trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\ge n/2$. Trung vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường hơn số trung bình.

Bài tiếp theo tìm mốt — nhóm giá trị xuất hiện nhiều nhất — một cách đo xu thế trung tâm thứ ba, hữu ích khi ta muốn biết "giá trị phổ biến nhất" chứ không phải giá trị chia đôi hay giá trị cân bằng của mẫu, và dùng cách nội suy tương tự nhưng với một câu hỏi rất khác.