Bài học

Bài toán tối ưu thực tế bằng đạo hàm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em mô hình hoá được một đại lượng thực tế (chi phí vật liệu, diện tích, thể tích) thành một hàm số theo một biến duy nhất, xác định đúng miền của biến đó, rồi dùng GTLN–GTNN để tìm phương án tối ưu và trả lời đúng câu hỏi thực tế của đề bài.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em quy trình tìm GTLN, GTNN trên một đoạn $[a;b]$ (same-grade bridge). Bài này thêm một bước ở phía trước: đề bài không cho sẵn hàm số, mà cho một tình huống bằng lời — em phải tự đặt ẩn và viết ra hàm số trước khi áp dụng kỹ thuật đã học.

Khởi động

Một xưởng cần làm một chiếc hộp không nắp, đáy vuông, chứa đúng một thể tích cho trước. Đáy hộp có thể vuông và thấp, chứa được thể tích đó, hoặc vuông nhỏ và cao — cả hai đều đúng thể tích yêu cầu, nhưng lượng bìa cứng cần dùng để làm hai chiếc hộp đó có bằng nhau không? Có tồn tại một kích thước "vừa đủ" dùng ít vật liệu nhất không?

Kiến thức trọng tâm

Quy trình giải một bài toán tối ưu thực tế bằng đạo hàm gồm năm bước: đặt ẩn cho đại lượng cần tìm (thường là một độ dài) và dùng dữ kiện đề bài để biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn đó; viết hàm mục tiêu (diện tích, chi phí, thể tích...) như một hàm số của riêng ẩn vừa đặt; xác định miền xác định hợp lý của ẩn theo nghĩa thực tế — một độ dài luôn dương, và các ràng buộc khác của đề (ví dụ một cạnh phải nhỏ hơn nửa chu vi) thu hẹp miền thêm nữa; tìm GTLN hoặc GTNN của hàm mục tiêu trên miền đó bằng đạo hàm; và cuối cùng trả lời đúng câu hỏi đề bài — không chỉ con số tối ưu của hàm mục tiêu, mà cả kích thước hoặc phương án tương ứng nếu đề hỏi.

Một khác biệt quan trọng so với bài trước: miền của biến trong bài toán thực tế thường KHÔNG phải một đoạn đóng $[a;b]$ , mà là một khoảng mở như $(0;+\infty)$ — độ dài cạnh đáy có thể lớn tuỳ ý, không bị chặn trên. Định lí Weierstrass không áp dụng trực tiếp cho khoảng mở. Cách xử lý chuẩn: lập bảng biến thiên của hàm mục tiêu trên toàn miền, xét xu hướng của hàm khi biến tiến tới hai đầu miền (thường tiến ra $+\infty$ ở cả hai phía trong bài toán cực tiểu chi phí/diện tích) — nếu hàm chỉ có đúng một điểm tới hạn và nó là điểm cực tiểu (hoặc cực đại) theo dấu $f'(x)$ , thì điểm đó chính là GTNN (hoặc GTLN) trên toàn miền, vì không còn ứng viên nào khác có thể thắng nó.

Một khác biệt quan trọng so với bài trước: miền của biến trong bài toán thực tế thường KHÔNG phải một đoạn đóng $[a;b]$, mà là một khoảng mở như $(0;+\infty)$ — độ dài cạnh đáy có thể lớn tuỳ ý, không bị chặn trên. Định lí Weierstrass không áp dụng trực tiếp cho khoảng mở. Cách xử lý chuẩn: lập bảng biến thiên của hàm mục tiêu trên toàn miền, xét xu hướng của hàm khi biến tiến tới hai đầu miền (thường tiến ra $+\infty$ ở cả hai phía trong bài toán cực tiểu chi phí/diện tích) — nếu hàm chỉ có đúng một điểm tới hạn và nó là điểm cực tiểu (hoặc cực đại) theo dấu $f'(x)$, thì điểm đó chính là GTNN (hoặc GTLN) trên toàn miền, vì không còn ứng viên nào khác có thể thắng nó.

Ví dụ

Hộp không nắp, đáy vuông, thể tích 4 m³ — tối thiểu vật liệu

1
Một chiếc hộp không nắp, đáy hình vuông, có thể tích $4\,\text{m}^3$ . Tìm kích thước đáy để lượng vật liệu (diện tích bìa) làm hộp là nhỏ nhất.
Một chiếc hộp không nắp, đáy hình vuông, có thể tích $4\,\text{m}^3$. Tìm kích thước đáy để lượng vật liệu (diện tích bìa) làm hộp là nhỏ nhất.
2
Gọi $x$ (m, $x>0$ ) là cạnh đáy hình vuông, $h$ (m) là chiều cao. Từ thể tích $x^2h=4$ , ta có $h=\dfrac{4}{x^2}$ . (1)
Gọi $x$ (m, $x>0$) là cạnh đáy hình vuông, $h$ (m) là chiều cao. Từ thể tích $x^2h=4$, ta có $h=\dfrac{4}{x^2}$. (1)
3
Diện tích vật liệu gồm một đáy và bốn mặt bên (không có nắp): $S(x)=x^2+4xh$ . Thay (1) vào: $S(x)=x^2+4x \cdot \dfrac{4}{x^2}=x^2+\dfrac{16}{x}$ , với $x>0$ .
Diện tích vật liệu gồm một đáy và bốn mặt bên (không có nắp): $S(x)=x^2+4xh$. Thay (1) vào: $S(x)=x^2+4x \cdot \dfrac{4}{x^2}=x^2+\dfrac{16}{x}$, với $x>0$.
4
$S'(x)=2x-\dfrac{16}{x^2}$ . Xét $S'(x)=0 \iff 2x=\dfrac{16}{x^2} \iff 2x^3=16 \iff x^3=8 \iff x=2$ .
$S'(x)=2x-\dfrac{16}{x^2}$. Xét $S'(x)=0 \iff 2x=\dfrac{16}{x^2} \iff 2x^3=16 \iff x^3=8 \iff x=2$.
5
Với $0<x<2$ : thử $x=1$ , $S'(1)=2-16=-14<0$ . Với $x>2$ : thử $x=3$ , $S'(3)=6-\dfrac{16}{9}>0$ . Vậy $S'(x)$ đổi dấu âm sang dương qua $x=2$ , và vì đây là điểm tới hạn duy nhất trên $(0;+\infty)$ với $S(x) \to +\infty$ khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$ , $x=2$ là điểm đạt GTNN của $S$ trên toàn miền.
Với $0<x<2$: thử $x=1$, $S'(1)=2-16=-14<0$. Với $x>2$: thử $x=3$, $S'(3)=6-\dfrac{16}{9}>0$. Vậy $S'(x)$ đổi dấu âm sang dương qua $x=2$, và vì đây là điểm tới hạn duy nhất trên $(0;+\infty)$ với $S(x) \to +\infty$ khi $x \to 0^+$ hoặc $x \to +\infty$, $x=2$ là điểm đạt GTNN của $S$ trên toàn miền.
6
$S(2)=4+\dfrac{16}{2}=4+8=12$ . Từ (1), $h=\dfrac{4}{4}=1$ . Vậy đáy hộp nên có cạnh $2$ m, chiều cao $1$ m, khi đó lượng vật liệu nhỏ nhất là $12\,\text{m}^2$ .
$S(2)=4+\dfrac{16}{2}=4+8=12$. Từ (1), $h=\dfrac{4}{4}=1$. Vậy đáy hộp nên có cạnh $2$ m, chiều cao $1$ m, khi đó lượng vật liệu nhỏ nhất là $12\,\text{m}^2$.

Đồ thị đi xuống rồi đi lên đúng một lần — không có điểm tới hạn nào khác cạnh tranh, nên x=2 chắc chắn là GTNN trên toàn miền x>0.

Bài toán thứ hai có ràng buộc khác: thay vì thể tích cố định, đề bài cố định tổng độ dài vật liệu (chu vi hàng rào), và biến của bài toán bị chặn cả hai đầu bởi chính ràng buộc đó — miền lúc này lại là một khoảng bị chặn, dù vẫn là khoảng mở chứ không phải đoạn đóng.

Ví dụ

Rào một mảnh vườn hình chữ nhật, một cạnh dựa vào tường, tối đa diện tích

1
Một mảnh vườn hình chữ nhật có một cạnh dựa vào bức tường có sẵn (không cần rào), ba cạnh còn lại rào bằng lưới với tổng chiều dài lưới là $40$ m. Tìm kích thước mảnh vườn để diện tích lớn nhất.
Một mảnh vườn hình chữ nhật có một cạnh dựa vào bức tường có sẵn (không cần rào), ba cạnh còn lại rào bằng lưới với tổng chiều dài lưới là $40$ m. Tìm kích thước mảnh vườn để diện tích lớn nhất.
2
Gọi $y$ (m, $y>0$ ) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường, $x$ (m) là cạnh song song với tường. Lưới rào ba cạnh: $x+2y=40$ , suy ra $x=40-2y$ . Cần $x>0 \iff y<20$ , vậy miền của $y$ là $(0;20)$ . (1)
Gọi $y$ (m, $y>0$) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với tường, $x$ (m) là cạnh song song với tường. Lưới rào ba cạnh: $x+2y=40$, suy ra $x=40-2y$. Cần $x>0 \iff y<20$, vậy miền của $y$ là $(0;20)$. (1)
3
Diện tích $A(y)=xy$ . Thay (1) vào: $A(y)=(40-2y)y=40y-2y^2$ , với $y \in (0;20)$ .
Diện tích $A(y)=xy$. Thay (1) vào: $A(y)=(40-2y)y=40y-2y^2$, với $y \in (0;20)$.
4
$A'(y)=40-4y$ . Xét $A'(y)=0 \iff y=10$ , thuộc $(0;20)$ .
$A'(y)=40-4y$. Xét $A'(y)=0 \iff y=10$, thuộc $(0;20)$.
5
Với $0<y<10$ : thử $y=5$ , $A'(5)=40-20=20>0$ . Với $10<y<20$ : thử $y=15$ , $A'(15)=40-60=-20<0$ . Vậy $A'(y)$ đổi dấu dương sang âm qua $y=10$ , và vì $A(y) \to 0$ khi $y \to 0^+$ hoặc $y \to 20^-$ (hai đầu miền), $y=10$ là điểm đạt GTLN của $A$ trên toàn miền $(0;20)$ .
Với $0<y<10$: thử $y=5$, $A'(5)=40-20=20>0$. Với $10<y<20$: thử $y=15$, $A'(15)=40-60=-20<0$. Vậy $A'(y)$ đổi dấu dương sang âm qua $y=10$, và vì $A(y) \to 0$ khi $y \to 0^+$ hoặc $y \to 20^-$ (hai đầu miền), $y=10$ là điểm đạt GTLN của $A$ trên toàn miền $(0;20)$.
6
$A(10)=40(10)-2(100)=400-200=200$ . Từ (1), $x=40-20=20$ . Vậy mảnh vườn nên có kích thước $20$ m (cạnh song song tường) và $10$ m (mỗi cạnh vuông góc), diện tích lớn nhất là $200\,\text{m}^2$ .
$A(10)=40(10)-2(100)=400-200=200$. Từ (1), $x=40-20=20$. Vậy mảnh vườn nên có kích thước $20$ m (cạnh song song tường) và $10$ m (mỗi cạnh vuông góc), diện tích lớn nhất là $200\,\text{m}^2$.

Diện tích bằng 0 ở cả hai đầu miền (khi y=0 mảnh vườn không có chiều sâu, khi y=20 mảnh vườn không còn chiều rộng) — đỉnh parabol ở giữa chắc chắn là GTLN.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là quên xác định miền của biến theo nghĩa thực tế — chẳng hạn quên ràng buộc $y<20$ ở ví dụ trên, dẫn đến việc không biết hàm $A(y)=40y-2y^2$ đang được xét trên miền nào. Một sai lầm khác là dừng lại ở bước tính điểm tới hạn mà không xét dấu đạo hàm hai bên để xác nhận đó thực sự là GTLN hay GTNN toàn cục — với miền không phải đoạn đóng, bước xét dấu và xét xu hướng ở hai đầu miền là bắt buộc, không thể bỏ qua như khi làm việc trên đoạn đóng có sẵn hai đầu mút để so sánh trực tiếp.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán tối ưu thực tế: đặt ẩn → biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn từ dữ kiện đề → viết hàm mục tiêu theo một biến → xác định miền hợp lý của biến → tìm GTLN/GTNN bằng đạo hàm (xét dấu để xác nhận đó là GTLN/GTNN toàn cục nếu miền không phải đoạn đóng) → trả lời đúng câu hỏi đề bài.

Chương đã dạy trọn quy trình đạo hàm — khảo sát dấu, tìm cực trị, tìm GTLN–GTNN và áp dụng vào bài toán thực tế. Chương ôn tập tiếp theo đưa các kỹ năng này vào đúng dạng câu hỏi tham số $m$ và bài toán tổng hợp mà đề thi tốt nghiệp THPT thực sự sử dụng.