Bài học

Ôn tập: GTLN–GTNN và bài toán tối ưu tổng hợp

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập cuối cùng của chương ghép GTLN–GTNN (Chương 3) với bài toán tham số, rồi khép lại toàn chương bằng một bài toán tối ưu thực tế ở mức tổng hợp hơn Chương 4 — một hình khối mới (hình trụ) thay vì hình hộp.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không giới thiệu công cụ toán học mới — nó dùng lại nguyên vẹn quy trình tìm GTLN–GTNN trên đoạn (Chương 3) và quy trình mô hình hoá bài toán tối ưu thực tế (Chương 4), chỉ đổi ngữ cảnh để khớp với dạng đề thi tốt nghiệp THPT thật.

Khởi động

Ở Chương 3, GTNN của $g(x)=x^3-3x^2$ trên $[0;3]$ đã tính được là $-4$ . Nếu đề bài không cho hàm $g(x)$ trực tiếp, mà cho $f(x)=x^3-3x^2+m$ và hỏi "tìm $m$ để GTNN của $f$ trên $[0;3]$ bằng $-5$ ", em có cần lập lại toàn bộ bảng so sánh từ đầu không, hay có thể tận dụng luôn kết quả đã có?

Ở Chương 3, GTNN của $g(x)=x^3-3x^2$ trên $[0;3]$ đã tính được là $-4$. Nếu đề bài không cho hàm $g(x)$ trực tiếp, mà cho $f(x)=x^3-3x^2+m$ và hỏi "tìm $m$ để GTNN của $f$ trên $[0;3]$ bằng $-5$", em có cần lập lại toàn bộ bảng so sánh từ đầu không, hay có thể tận dụng luôn kết quả đã có?

Dạng 1 — Tham số trong bài toán GTLN–GTNN

Khi hàm số có dạng $f(x)=g(x)+m$ với $g(x)$ đã biết GTLN, GTNN trên đoạn đang xét, việc cộng thêm hằng số $m$ chỉ dịch chuyển toàn bộ đồ thị lên hoặc xuống mà không đổi hình dạng — mọi điểm tới hạn và thứ tự so sánh giữa các giá trị vẫn giữ nguyên. Vì vậy GTLN, GTNN của $f$ trên cùng đoạn đó chính là GTLN, GTNN của $g$ cộng thêm $m$ : không cần lập lại bảng so sánh từ đầu, chỉ cần cộng $m$ vào kết quả đã có rồi đối chiếu với đề bài.

Khi hàm số có dạng $f(x)=g(x)+m$ với $g(x)$ đã biết GTLN, GTNN trên đoạn đang xét, việc cộng thêm hằng số $m$ chỉ dịch chuyển toàn bộ đồ thị lên hoặc xuống mà không đổi hình dạng — mọi điểm tới hạn và thứ tự so sánh giữa các giá trị vẫn giữ nguyên. Vì vậy GTLN, GTNN của $f$ trên cùng đoạn đó chính là GTLN, GTNN của $g$ cộng thêm $m$: không cần lập lại bảng so sánh từ đầu, chỉ cần cộng $m$ vào kết quả đã có rồi đối chiếu với đề bài.

Lập luận này không phụ thuộc vào việc $g(x)$ là hàm bậc ba hay dạng nào khác, và cũng không phụ thuộc vào đoạn $[a;b]$ cụ thể — bản chất là một tính chất của phép so sánh số: nếu $u \le v$ thì $u+m \le v+m$ với mọi hằng số $m$ , nên thứ tự "ai lớn hơn, ai nhỏ hơn" giữa các giá trị của $g$ không bao giờ đổi khi cộng thêm cùng một $m$ vào tất cả. Đây là lý do bài toán tham số dạng $f=g+m$ luôn có thể rút gọn về đúng một phép cộng, dù $g$ phức tạp đến đâu.

Lập luận này không phụ thuộc vào việc $g(x)$ là hàm bậc ba hay dạng nào khác, và cũng không phụ thuộc vào đoạn $[a;b]$ cụ thể — bản chất là một tính chất của phép so sánh số: nếu $u \le v$ thì $u+m \le v+m$ với mọi hằng số $m$, nên thứ tự "ai lớn hơn, ai nhỏ hơn" giữa các giá trị của $g$ không bao giờ đổi khi cộng thêm cùng một $m$ vào tất cả. Đây là lý do bài toán tham số dạng $f=g+m$ luôn có thể rút gọn về đúng một phép cộng, dù $g$ phức tạp đến đâu.

Ví dụ

Tìm m để GTNN của f(x)=x³-3x²+m trên [0;3] bằng -5

1
Tìm $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3x^2+m$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;3]$ bằng $-5$ .
Tìm $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3x^2+m$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[0;3]$ bằng $-5$.
2
Đặt $g(x)=x^3-3x^2$ , ta có $f(x)=g(x)+m$ với mọi $x$ .
Đặt $g(x)=x^3-3x^2$, ta có $f(x)=g(x)+m$ với mọi $x$.
3
$g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ , điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$ đều thuộc $[0;3]$ (chú ý $x=0$ trùng đầu mút). Tính $g(0)=0$ , $g(2)=8-12=-4$ , $g(3)=27-27=0$ . So sánh, GTNN của $g$ trên $[0;3]$ là $-4$ , đạt tại $x=2$ . (1)
$g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$ đều thuộc $[0;3]$ (chú ý $x=0$ trùng đầu mút). Tính $g(0)=0$, $g(2)=8-12=-4$, $g(3)=27-27=0$. So sánh, GTNN của $g$ trên $[0;3]$ là $-4$, đạt tại $x=2$. (1)
4
Vì $f(x)=g(x)+m$ , GTNN của $f$ trên $[0;3]$ là $-4+m$ . Theo đề, $-4+m=-5 \iff m=-1$ .
Vì $f(x)=g(x)+m$, GTNN của $f$ trên $[0;3]$ là $-4+m$. Theo đề, $-4+m=-5 \iff m=-1$.
5
Với $m=-1$ : $f(0)=0-1=-1$ , $f(2)=-4-1=-5$ , $f(3)=0-1=-1$ . So sánh $-1;\,-5;\,-1$ , GTNN đúng bằng $-5$ , đạt tại $x=2$ — khớp với đề bài.
Với $m=-1$: $f(0)=0-1=-1$, $f(2)=-4-1=-5$, $f(3)=0-1=-1$. So sánh $-1;\,-5;\,-1$, GTNN đúng bằng $-5$, đạt tại $x=2$ — khớp với đề bài.
6
Giá trị cần tìm là $m=-1$ .
Giá trị cần tìm là $m=-1$.

Đồ thị của f chỉ là đồ thị của g=x^3-3x^2 tịnh tiến xuống 1 đơn vị — mọi điểm tới hạn và thứ tự so sánh giữ nguyên, chỉ cộng thêm m=-1 vào từng giá trị.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến ở dạng này là lập lại toàn bộ đạo hàm của $f(x)=g(x)+m$ mà quên rằng $m$ là hằng số nên không ảnh hưởng đến $f'(x)=g'(x)$ — điểm tới hạn của $f$ luôn trùng điểm tới hạn của $g$ . Một sai lầm khác là cộng $m$ vào GTLN thay vì GTNN (hoặc ngược lại) khi đề hỏi đại lượng không phải GTNN — luôn đọc kỹ đề đang hỏi GTLN hay GTNN trước khi đối chiếu.

Sai lầm phổ biến ở dạng này là lập lại toàn bộ đạo hàm của $f(x)=g(x)+m$ mà quên rằng $m$ là hằng số nên không ảnh hưởng đến $f'(x)=g'(x)$ — điểm tới hạn của $f$ luôn trùng điểm tới hạn của $g$. Một sai lầm khác là cộng $m$ vào GTLN thay vì GTNN (hoặc ngược lại) khi đề hỏi đại lượng không phải GTNN — luôn đọc kỹ đề đang hỏi GTLN hay GTNN trước khi đối chiếu.

Dạng 2 — Bài toán tối ưu thực tế: hình trụ kín

Bài toán tối ưu ở Chương 4 dùng hình hộp chữ nhật và hình chữ nhật phẳng. Đề thi thật cũng thường dùng hình trụ — một chiếc lon, hộp sữa, hay thùng chứa hình trụ kín (có cả đáy và nắp) — với đúng quy trình năm bước đã học, chỉ khác công thức thể tích và diện tích.

Ví dụ

Hộp sữa hình trụ kín, thể tích 16π — tối thiểu vật liệu

1
Một hộp sữa hình trụ kín (có cả đáy và nắp) cần chứa thể tích $16\pi\,\text{cm}^3$ . Vật liệu làm đáy, nắp và mặt bên cùng một đơn giá trên mỗi $\text{cm}^2$ . Tìm bán kính đáy để lượng vật liệu nhỏ nhất.
Một hộp sữa hình trụ kín (có cả đáy và nắp) cần chứa thể tích $16\pi\,\text{cm}^3$. Vật liệu làm đáy, nắp và mặt bên cùng một đơn giá trên mỗi $\text{cm}^2$. Tìm bán kính đáy để lượng vật liệu nhỏ nhất.
2
Gọi $r$ (cm, $r>0$ ) là bán kính đáy, $h$ (cm) là chiều cao. Từ thể tích $\pi r^2 h=16\pi$ , ta có $h=\dfrac{16}{r^2}$ . (1)
Gọi $r$ (cm, $r>0$) là bán kính đáy, $h$ (cm) là chiều cao. Từ thể tích $\pi r^2 h=16\pi$, ta có $h=\dfrac{16}{r^2}$. (1)
3
Diện tích toàn phần gồm hai đáy tròn và mặt bên: $S(r)=2\pi r^2+2\pi rh$ . Thay (1): $S(r)=2\pi r^2+2\pi r \cdot \dfrac{16}{r^2}=2\pi r^2+\dfrac{32\pi}{r}$ , với $r>0$ .
Diện tích toàn phần gồm hai đáy tròn và mặt bên: $S(r)=2\pi r^2+2\pi rh$. Thay (1): $S(r)=2\pi r^2+2\pi r \cdot \dfrac{16}{r^2}=2\pi r^2+\dfrac{32\pi}{r}$, với $r>0$.
4
$S'(r)=4\pi r-\dfrac{32\pi}{r^2}$ . Xét $S'(r)=0 \iff 4\pi r=\dfrac{32\pi}{r^2} \iff 4r^3=32 \iff r^3=8 \iff r=2$ .
$S'(r)=4\pi r-\dfrac{32\pi}{r^2}$. Xét $S'(r)=0 \iff 4\pi r=\dfrac{32\pi}{r^2} \iff 4r^3=32 \iff r^3=8 \iff r=2$.
5
Với $0<r<2$ : thử $r=1$ , $S'(1)=4\pi-32\pi=-28\pi<0$ . Với $r>2$ : thử $r=3$ , $S'(3)=12\pi-\dfrac{32\pi}{9}>0$ . $S'(r)$ đổi dấu âm sang dương qua $r=2$ ; vì đây là điểm tới hạn duy nhất trên $(0;+\infty)$ và $S(r) \to +\infty$ ở cả hai đầu miền, $r=2$ là điểm đạt GTNN toàn cục.
Với $0<r<2$: thử $r=1$, $S'(1)=4\pi-32\pi=-28\pi<0$. Với $r>2$: thử $r=3$, $S'(3)=12\pi-\dfrac{32\pi}{9}>0$. $S'(r)$ đổi dấu âm sang dương qua $r=2$; vì đây là điểm tới hạn duy nhất trên $(0;+\infty)$ và $S(r) \to +\infty$ ở cả hai đầu miền, $r=2$ là điểm đạt GTNN toàn cục.
6
$S(2)=2\pi(4)+\dfrac{32\pi}{2}=8\pi+16\pi=24\pi$ . Từ (1), $h=\dfrac{16}{4}=4$ . Vậy bán kính đáy nên là $2$ cm, chiều cao $4$ cm, khi đó vật liệu nhỏ nhất là $24\pi\,\text{cm}^2$ .
$S(2)=2\pi(4)+\dfrac{32\pi}{2}=8\pi+16\pi=24\pi$. Từ (1), $h=\dfrac{16}{4}=4$. Vậy bán kính đáy nên là $2$ cm, chiều cao $4$ cm, khi đó vật liệu nhỏ nhất là $24\pi\,\text{cm}^2$.

Cùng hình dạng chữ U như bài toán hộp ở Chương 4 — chỉ khác công thức, vì hình khối đổi từ hộp chữ nhật sang hình trụ, nhưng quy trình năm bước không đổi.

Quan sát: quy trình dùng ở đây — đặt ẩn, biểu diễn chiều cao qua thể tích, viết hàm diện tích theo một biến, tìm điểm tới hạn, xét dấu để xác nhận GTNN toàn cục — hệt như bài toán hộp không nắp ở Chương 4, chỉ thay công thức thể tích hình hộp $x^2h$ bằng công thức thể tích hình trụ $\pi r^2h$ , và công thức diện tích cũng đổi theo. Nắm chắc quy trình quan trọng hơn nhớ công thức của từng hình khối riêng lẻ.

Quan sát: quy trình dùng ở đây — đặt ẩn, biểu diễn chiều cao qua thể tích, viết hàm diện tích theo một biến, tìm điểm tới hạn, xét dấu để xác nhận GTNN toàn cục — hệt như bài toán hộp không nắp ở Chương 4, chỉ thay công thức thể tích hình hộp $x^2h$ bằng công thức thể tích hình trụ $\pi r^2h$, và công thức diện tích cũng đổi theo. Nắm chắc quy trình quan trọng hơn nhớ công thức của từng hình khối riêng lẻ.

Một điểm đáng chú ý cho định dạng Phần III (trả lời ngắn) của đề thi tốt nghiệp THPT 2025: kết quả $24\pi\,\text{cm}^2$ là dạng biểu thức đúng và gọn nhất, nhưng nếu đề yêu cầu "làm tròn đến hàng phần trăm", em phải đổi sang số thập phân trước khi nộp đáp án: $24\pi \approx 75{,}3982...$ , làm tròn đến hàng phần trăm là $75{,}40\,\text{cm}^2$ . Phần III chấm đúng/sai theo giá trị số cụ thể, nên nộp $24\pi$ khi đề đòi hỏi một số thập phân đã làm tròn là sai định dạng, dù bản chất phép tính hoàn toàn đúng.

Một điểm đáng chú ý cho định dạng Phần III (trả lời ngắn) của đề thi tốt nghiệp THPT 2025: kết quả $24\pi\,\text{cm}^2$ là dạng biểu thức đúng và gọn nhất, nhưng nếu đề yêu cầu "làm tròn đến hàng phần trăm", em phải đổi sang số thập phân trước khi nộp đáp án: $24\pi \approx 75{,}3982...$, làm tròn đến hàng phần trăm là $75{,}40\,\text{cm}^2$. Phần III chấm đúng/sai theo giá trị số cụ thể, nên nộp $24\pi$ khi đề đòi hỏi một số thập phân đã làm tròn là sai định dạng, dù bản chất phép tính hoàn toàn đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khi $f(x)=g(x)+m$ , GTLN/GTNN của $f$ trên một đoạn bằng GTLN/GTNN tương ứng của $g$ cộng thêm $m$ — không cần lập lại bảng so sánh. Bài toán tối ưu thực tế với hình trụ dùng đúng quy trình năm bước của bài toán hình hộp, chỉ đổi công thức thể tích và diện tích theo hình khối.

Khi $f(x)=g(x)+m$, GTLN/GTNN của $f$ trên một đoạn bằng GTLN/GTNN tương ứng của $g$ cộng thêm $m$ — không cần lập lại bảng so sánh. Bài toán tối ưu thực tế với hình trụ dùng đúng quy trình năm bước của bài toán hình hộp, chỉ đổi công thức thể tích và diện tích theo hình khối.

Khoá học đã đi trọn một vòng: từ xét dấu đạo hàm, tới cực trị, tới GTLN–GTNN, tới bài toán tối ưu thực tế, và cuối cùng là các dạng tham số tổng hợp đúng như đề thi tốt nghiệp THPT yêu cầu. Ba kỹ năng cốt lõi — lập bảng biến thiên, nhận diện cực trị, và so sánh giá trị tại điểm tới hạn cùng đầu mút — đều quay lại trong bài kiểm tra cuối chương dưới dạng phối hợp, đúng như cách đề thi thật kết hợp nhiều ý nhỏ vào một câu hỏi lớn. Khoá tiếp theo dùng chính những kết quả về đơn điệu và cực trị ở đây để dựng đồ thị hoàn chỉnh của hàm số.