Bài học

GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số liên tục trên một đoạn $[a;b]$ cho trước, bằng cách so sánh giá trị hàm số tại các điểm tới hạn với giá trị tại hai đầu mút.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước dạy em tìm cực trị — giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các điểm lân cận (same-grade bridge). Bài này đặt thêm một ràng buộc: xét hàm số trên một đoạn $[a;b]$ cụ thể, và hỏi giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thật sự trên toàn đoạn đó, không chỉ so với lân cận.

Khởi động

Nhiệt độ ngoài trời là một hàm liên tục theo thời gian trong ngày. Nếu chỉ quan tâm khung giờ làm việc từ 6 giờ sáng đến 6 giờ chiều, thời điểm nóng nhất trong khung giờ đó có nhất thiết là thời điểm nhiệt độ đạt cực đại trong ngày không? Nếu nhiệt độ còn đang tăng lúc 6 giờ chiều — đúng lúc khung giờ kết thúc — thời điểm nóng nhất của khung giờ nằm ở đâu?

Kiến thức trọng tâm

Một kết quả nền tảng (định lí Weierstrass, thừa nhận không chứng minh ở chương trình phổ thông): mọi hàm số liên tục trên một đoạn $[a;b]$ đều đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Câu hỏi còn lại chỉ là tìm chúng ở đâu — và câu trả lời là: chỉ có thể ở một điểm tới hạn nằm trong khoảng $(a;b)$ , hoặc ở một trong hai đầu mút $a$ , $b$ . Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với bài cực trị: đầu mút không bao giờ là điểm cực trị (vì cực trị cần khoảng lân cận về cả hai phía, còn đầu mút chỉ có lân cận một phía), nhưng đầu mút hoàn toàn có thể là nơi đạt GTLN hoặc GTNN của cả đoạn.

Một kết quả nền tảng (định lí Weierstrass, thừa nhận không chứng minh ở chương trình phổ thông): mọi hàm số liên tục trên một đoạn $[a;b]$ đều đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Câu hỏi còn lại chỉ là tìm chúng ở đâu — và câu trả lời là: chỉ có thể ở một điểm tới hạn nằm trong khoảng $(a;b)$, hoặc ở một trong hai đầu mút $a$, $b$. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với bài cực trị: đầu mút không bao giờ là điểm cực trị (vì cực trị cần khoảng lân cận về cả hai phía, còn đầu mút chỉ có lân cận một phía), nhưng đầu mút hoàn toàn có thể là nơi đạt GTLN hoặc GTNN của cả đoạn.

Quay lại câu hỏi khởi động: nếu nhiệt độ còn đang tăng lúc 6 giờ chiều, thời điểm nóng nhất trong khung giờ làm việc chính là 6 giờ chiều — một đầu mút của khung giờ — chứ không phải một điểm cực đại nào của cả ngày, vì đơn giản là chưa tới lúc nhiệt độ ngừng tăng. Đây chính là lý do định lí không cho phép bỏ qua đầu mút: giá trị lớn nhất trên một đoạn có thể nằm ở nơi hàm số còn đang biến thiên, chỉ là đoạn xét đã hết.

Cũng cần lưu ý điều kiện "đoạn kín $[a;b]$ " trong định lí Weierstrass — nếu thay bằng khoảng mở $(a;b)$ , kết luận có thể không còn đúng: hàm $f(x)=x$ trên khoảng mở $(0;1)$ không đạt giá trị lớn nhất, vì với bất kỳ giá trị nào gần 1 bao nhiêu, luôn còn một giá trị khác gần 1 hơn nữa mà vẫn thuộc khoảng — không có điểm nào là "gần 1 nhất". Đầu mút phải thực sự thuộc miền xét thì mới có thể là nơi đạt GTLN, GTNN.

Cũng cần lưu ý điều kiện "đoạn kín $[a;b]$" trong định lí Weierstrass — nếu thay bằng khoảng mở $(a;b)$, kết luận có thể không còn đúng: hàm $f(x)=x$ trên khoảng mở $(0;1)$ không đạt giá trị lớn nhất, vì với bất kỳ giá trị nào gần 1 bao nhiêu, luôn còn một giá trị khác gần 1 hơn nữa mà vẫn thuộc khoảng — không có điểm nào là "gần 1 nhất". Đầu mút phải thực sự thuộc miền xét thì mới có thể là nơi đạt GTLN, GTNN.

Ví dụ

Tìm GTLN, GTNN của f(x)=x³-3x trên [-2;2]

1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x$ trên đoạn $[-2;2]$ .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^3-3x$ trên đoạn $[-2;2]$.
2
Hàm đa thức $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , nên liên tục trên $[-2;2]$ .
Hàm đa thức $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, nên liên tục trên $[-2;2]$.
3
Ta có $f'(x)=3x^2-3$ . Xét $f'(x)=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1$ . Cả hai điểm $x=-1$ và $x=1$ đều thuộc khoảng $(-2;2)$ . (1)
Ta có $f'(x)=3x^2-3$. Xét $f'(x)=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1$. Cả hai điểm $x=-1$ và $x=1$ đều thuộc khoảng $(-2;2)$. (1)
4
Từ (1) và hai đầu mút, ta tính: $f(-2)=-8+6=-2$ ; $f(-1)=-1+3=2$ ; $f(1)=1-3=-2$ ; $f(2)=8-6=2$ .
Từ (1) và hai đầu mút, ta tính: $f(-2)=-8+6=-2$; $f(-1)=-1+3=2$; $f(1)=1-3=-2$; $f(2)=8-6=2$.
5
So sánh bốn giá trị $-2;\,2;\,-2;\,2$ , ta có giá trị lớn nhất là $2$ (đạt tại $x=-1$ và $x=2$ ), giá trị nhỏ nhất là $-2$ (đạt tại $x=-2$ và $x=1$ ). Vậy $\max_{[-2;2]} f(x)=2$ , $\min_{[-2;2]} f(x)=-2$ .
So sánh bốn giá trị $-2;\,2;\,-2;\,2$, ta có giá trị lớn nhất là $2$ (đạt tại $x=-1$ và $x=2$), giá trị nhỏ nhất là $-2$ (đạt tại $x=-2$ và $x=1$). Vậy $\max_{[-2;2]} f(x)=2$, $\min_{[-2;2]} f(x)=-2$.

GTLN=2 và GTNN=-2 đều đạt được ở hai điểm khác nhau — một điểm tới hạn và một đầu mút — đúng như quy trình dự đoán.

Ví dụ trên là trường hợp "đẹp": GTLN và GTNN đều trùng giá trị ở một điểm tới hạn và một đầu mút. Nhưng với hàm phân thức, có thể xảy ra trường hợp hai đầu mút cho cùng một giá trị, trong khi điểm tới hạn ở giữa lại là nơi đạt giá trị còn lại — khi đó việc kiểm tra cả hai đầu mút, không chỉ một, là bắt buộc.

Ví dụ

Tìm GTLN của f(x)=(x²+3)/(x-1) trên [2;5]

1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;5]$ .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;5]$.
2
Hàm số không xác định tại $x=1$ , nhưng $1 \notin [2;5]$ , nên $f$ liên tục trên toàn đoạn $[2;5]$ .
Hàm số không xác định tại $x=1$, nhưng $1 \notin [2;5]$, nên $f$ liên tục trên toàn đoạn $[2;5]$.
3
Áp dụng đạo hàm thương: $f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$ .
Áp dụng đạo hàm thương: $f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$.
4
Xét tử số $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \iff x=3$ hoặc $x=-1$ . Chỉ $x=3$ thuộc khoảng $(2;5)$ , còn $x=-1$ bị loại vì nằm ngoài đoạn. (1)
Xét tử số $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \iff x=3$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=3$ thuộc khoảng $(2;5)$, còn $x=-1$ bị loại vì nằm ngoài đoạn. (1)
5
Từ (1) và hai đầu mút: $f(2)=\dfrac{4+3}{2-1}=7$ ; $f(3)=\dfrac{9+3}{3-1}=6$ ; $f(5)=\dfrac{25+3}{5-1}=7$ .
Từ (1) và hai đầu mút: $f(2)=\dfrac{4+3}{2-1}=7$; $f(3)=\dfrac{9+3}{3-1}=6$; $f(5)=\dfrac{25+3}{5-1}=7$.
6
So sánh $7;\,6;\,7$ , giá trị lớn nhất là $7$ , đạt tại CẢ HAI đầu mút $x=2$ và $x=5$ ; giá trị nhỏ nhất là $6$ , đạt tại điểm tới hạn $x=3$ . Vậy $\max_{[2;5]} f(x)=7$ , $\min_{[2;5]} f(x)=6$ .
So sánh $7;\,6;\,7$, giá trị lớn nhất là $7$, đạt tại CẢ HAI đầu mút $x=2$ và $x=5$; giá trị nhỏ nhất là $6$, đạt tại điểm tới hạn $x=3$. Vậy $\max_{[2;5]} f(x)=7$, $\min_{[2;5]} f(x)=6$.
7
Thử dấu $f'(x)$ hai bên $x=3$ : tại $x=2{,}5$ , tử số $x^2-2x-3=6{,}25-5-3=-1{,}75<0$ ; tại $x=4$ , tử số $=16-8-3=5>0$ . Vậy $f'(x)$ đổi dấu âm sang dương khi qua $x=3$ , đúng nghĩa $x=3$ là điểm cực tiểu của $f$ trên $(2;5)$ — khớp với việc $f(3)=6$ là giá trị nhỏ nhất trong bảng so sánh.
Thử dấu $f'(x)$ hai bên $x=3$: tại $x=2{,}5$, tử số $x^2-2x-3=6{,}25-5-3=-1{,}75<0$; tại $x=4$, tử số $=16-8-3=5>0$. Vậy $f'(x)$ đổi dấu âm sang dương khi qua $x=3$, đúng nghĩa $x=3$ là điểm cực tiểu của $f$ trên $(2;5)$ — khớp với việc $f(3)=6$ là giá trị nhỏ nhất trong bảng so sánh.

Cả hai đầu mút cùng cho giá trị 7 — nếu chỉ kiểm tra một đầu mút, em sẽ bỏ sót việc GTLN đạt ở cả hai vị trí.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này là chỉ so sánh giá trị tại các điểm tới hạn với nhau, quên mất phải đưa cả hai đầu mút $a$ , $b$ vào danh sách so sánh. Một sai lầm khác là giữ lại điểm tới hạn nằm NGOÀI đoạn $[a;b]$ — như $x=-1$ trong ví dụ trên — điểm đó không được tính vào bảng so sánh dù là nghiệm hợp lệ của $f'(x)=0$ , vì nó không thuộc đoạn đang xét.

Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này là chỉ so sánh giá trị tại các điểm tới hạn với nhau, quên mất phải đưa cả hai đầu mút $a$, $b$ vào danh sách so sánh. Một sai lầm khác là giữ lại điểm tới hạn nằm NGOÀI đoạn $[a;b]$ — như $x=-1$ trong ví dụ trên — điểm đó không được tính vào bảng so sánh dù là nghiệm hợp lệ của $f'(x)=0$, vì nó không thuộc đoạn đang xét.

Một điểm về cách trình bày: khi GTLN hoặc GTNN đạt được ở nhiều hơn một vị trí — như $7$ ở cả $x=2$ và $x=5$ trong ví dụ trên — câu trả lời đầy đủ phải nêu tất cả các vị trí đó, không chỉ một. Đề thi tốt nghiệp THPT thường hỏi "giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu" (chỉ cần con số), nhưng nếu đề hỏi thêm "đạt được tại giá trị nào của $x$ ", bỏ sót một vị trí là bỏ sót một phần điểm của bài, dù con số GTLN đã đúng.

Một điểm về cách trình bày: khi GTLN hoặc GTNN đạt được ở nhiều hơn một vị trí — như $7$ ở cả $x=2$ và $x=5$ trong ví dụ trên — câu trả lời đầy đủ phải nêu tất cả các vị trí đó, không chỉ một. Đề thi tốt nghiệp THPT thường hỏi "giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu" (chỉ cần con số), nhưng nếu đề hỏi thêm "đạt được tại giá trị nào của $x$", bỏ sót một vị trí là bỏ sót một phần điểm của bài, dù con số GTLN đã đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tìm GTLN, GTNN trên $[a;b]$ : kiểm tra liên tục, tính $f'(x)$ và tìm điểm tới hạn trong $(a;b)$ , tính $f$ tại các điểm đó và tại $a$ , $b$ , rồi so sánh tất cả. GTLN–GTNN có thể đạt tại đầu mút, dù đầu mút không bao giờ là điểm cực trị.

Tìm GTLN, GTNN trên $[a;b]$: kiểm tra liên tục, tính $f'(x)$ và tìm điểm tới hạn trong $(a;b)$, tính $f$ tại các điểm đó và tại $a$, $b$, rồi so sánh tất cả. GTLN–GTNN có thể đạt tại đầu mút, dù đầu mút không bao giờ là điểm cực trị.

Bài tiếp theo dùng đúng kỹ năng này để giải một bài toán không cho sẵn công thức hàm số, mà bắt em tự đặt ẩn và dựng công thức từ một tình huống thực tế — rồi mới áp dụng GTLN–GTNN để tìm phương án tối ưu.