Bài học

Công thức xác suất toàn phần và sơ đồ cây xác suất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được xác suất của một biến cố khi nó có thể xảy ra theo nhiều “nhánh nguyên nhân” khác nhau, bằng công thức xác suất toàn phần, và trình bày quá trình tính đó qua sơ đồ cây xác suất.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài 1 của khoá học đã cho công thức nhân $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ . Bài hôm nay dùng đúng công thức đó, lặp lại nhiều lần — một lần cho mỗi “nguyên nhân” có thể dẫn tới A — rồi cộng tất cả lại với nhau.

Bài 1 của khoá học đã cho công thức nhân $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$. Bài hôm nay dùng đúng công thức đó, lặp lại nhiều lần — một lần cho mỗi “nguyên nhân” có thể dẫn tới A — rồi cộng tất cả lại với nhau.

Khởi động

Trong kho có hai loại hộp linh kiện trông giống hệt nhau bên ngoài, tỉ lệ hàng đạt chuẩn khác nhau giữa hai loại hộp. Nếu lấy ngẫu nhiên một hộp rồi rút ngẫu nhiên một linh kiện từ hộp đó, làm sao tính xác suất linh kiện rút ra đạt chuẩn — khi còn chưa biết đã lấy đúng hộp nào?

Công thức xác suất toàn phần

Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \ldots, B_n$ đôi một xung khắc và hợp của chúng là toàn bộ không gian mẫu — mỗi kết quả của phép thử thuộc đúng một $B_i$ , ta gọi đó là một PHÂN HOẠCH của không gian mẫu. Khi đó, với biến cố A bất kỳ: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ Đây gọi là công thức xác suất toàn phần: xác suất của A được phân rã theo từng nguyên nhân $B_i$ có thể dẫn tới nó, mỗi phần đóng góp đúng $P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ — chính là công thức nhân của bài trước, áp dụng riêng cho từng $B_i$ rồi cộng lại.

Giả sử các biến cố $B_1, B_2, \ldots, B_n$ đôi một xung khắc và hợp của chúng là toàn bộ không gian mẫu — mỗi kết quả của phép thử thuộc đúng một $B_i$, ta gọi đó là một PHÂN HOẠCH của không gian mẫu. Khi đó, với biến cố A bất kỳ: $$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$$ Đây gọi là công thức xác suất toàn phần: xác suất của A được phân rã theo từng nguyên nhân $B_i$ có thể dẫn tới nó, mỗi phần đóng góp đúng $P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)$ — chính là công thức nhân của bài trước, áp dụng riêng cho từng $B_i$ rồi cộng lại.

Cách trình bày trực quan nhất là sơ đồ cây xác suất. Nhánh gốc tách theo từng nguyên nhân $B_i$ , mỗi nhánh mang xác suất $P(B_i)$ . Mỗi nhánh gốc lại tách tiếp thành các nhánh con theo việc A có xảy ra hay không, mang xác suất có điều kiện $P(A \mid B_i)$ . Nhân xác suất DỌC mỗi nhánh lá cho ra đúng $P(B_i \cap A)$ . Cộng mọi nhánh lá cùng dẫn tới “A xảy ra” cho ra $P(A)$ .

Cách trình bày trực quan nhất là sơ đồ cây xác suất. Nhánh gốc tách theo từng nguyên nhân $B_i$, mỗi nhánh mang xác suất $P(B_i)$. Mỗi nhánh gốc lại tách tiếp thành các nhánh con theo việc A có xảy ra hay không, mang xác suất có điều kiện $P(A \mid B_i)$. Nhân xác suất DỌC mỗi nhánh lá cho ra đúng $P(B_i \cap A)$. Cộng mọi nhánh lá cùng dẫn tới “A xảy ra” cho ra $P(A)$.

Vì sao lại nhân với $P(B_i)$ — tức “trọng số” theo khả năng xảy ra của từng nguyên nhân — thay vì cộng trực tiếp các $P(A \mid B_i)$ lại với nhau? Vì nguyên nhân nào xảy ra thường xuyên hơn thì đóng góp nhiều hơn vào xác suất chung của A, còn nguyên nhân hiếm gặp đóng góp ít hơn, dù xác suất có điều kiện của nó có lớn đến đâu. Cộng trực tiếp mà không nhân trọng số sẽ coi mọi nguyên nhân quan trọng như nhau — sai ngay từ gốc, dù các bước tính sau đó có đúng đến mấy.

Sơ đồ cây thay cho hình vẽ cây phân nhánh — mỗi bước là một nhánh của quá trình chọn hộp rồi rút bi

Ví dụ

Sơ đồ cây: rút bi từ một trong hai hộp

1
Có hai hộp bi giống hệt nhau bên ngoài. Hộp 1 có 7 bi đỏ và 3 bi xanh. Hộp 2 có 2 bi đỏ và 8 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp (khả năng như nhau), rồi rút ngẫu nhiên một bi từ hộp đã chọn. Tính xác suất bi rút ra là bi đỏ.
2
Gọi $B_1$ = “chọn hộp 1”, $B_2$ = “chọn hộp 2” — đây là một phân hoạch vì đúng một trong hai hộp được chọn. $P(B_1) = P(B_2) = \frac12$ . Gọi A = “rút được bi đỏ”. Trong hộp 1, $P(A \mid B_1) = \frac{7}{10}$ ; trong hộp 2, $P(A \mid B_2) = \frac{2}{10}$ .
Gọi $B_1$ = “chọn hộp 1”, $B_2$ = “chọn hộp 2” — đây là một phân hoạch vì đúng một trong hai hộp được chọn. $P(B_1) = P(B_2) = \frac12$. Gọi A = “rút được bi đỏ”. Trong hộp 1, $P(A \mid B_1) = \frac{7}{10}$; trong hộp 2, $P(A \mid B_2) = \frac{2}{10}$.
3
Nhánh hộp 1 → đỏ: $P(B_1) \cdot P(A \mid B_1) = \frac12 \times \frac{7}{10} = \frac{7}{20}$ . Nhánh hộp 2 → đỏ: $P(B_2) \cdot P(A \mid B_2) = \frac12 \times \frac{2}{10} = \frac{2}{20}$ .
Nhánh hộp 1 → đỏ: $P(B_1) \cdot P(A \mid B_1) = \frac12 \times \frac{7}{10} = \frac{7}{20}$. Nhánh hộp 2 → đỏ: $P(B_2) \cdot P(A \mid B_2) = \frac12 \times \frac{2}{10} = \frac{2}{20}$.
4
$P(A) = P(B_1) P(A \mid B_1) + P(B_2) P(A \mid B_2) = \frac{7}{20} + \frac{2}{20} = \frac{9}{20} = 0{,}45$
$$P(A) = P(B_1) P(A \mid B_1) + P(B_2) P(A \mid B_2) = \frac{7}{20} + \frac{2}{20} = \frac{9}{20} = 0{,}45$$
5
Vậy xác suất rút được bi đỏ là $0{,}45$ , tức $45\%$ — dù chưa hề biết đã lấy đúng hộp nào, ta vẫn tính được xác suất chung bằng cách cộng đóng góp của cả hai khả năng.
Vậy xác suất rút được bi đỏ là $0{,}45$, tức $45\%$ — dù chưa hề biết đã lấy đúng hộp nào, ta vẫn tính được xác suất chung bằng cách cộng đóng góp của cả hai khả năng.

Ví dụ

Ứng dụng: tỉ lệ sản phẩm lỗi từ hai xưởng cùng cung cấp

1
Một kho hàng nhận sản phẩm từ hai xưởng: Xưởng 1 cung cấp 60% sản lượng, với tỉ lệ lỗi $2\%$ ; Xưởng 2 cung cấp 40% sản lượng, với tỉ lệ lỗi $5\%$ . Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho. Tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi.
Một kho hàng nhận sản phẩm từ hai xưởng: Xưởng 1 cung cấp 60% sản lượng, với tỉ lệ lỗi $2\%$; Xưởng 2 cung cấp 40% sản lượng, với tỉ lệ lỗi $5\%$. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho. Tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi.
2
Gọi $X_1$ = “sản phẩm từ Xưởng 1”, $X_2$ = “sản phẩm từ Xưởng 2” — một phân hoạch vì mỗi sản phẩm chỉ đến từ đúng một xưởng. $P(X_1) = 0{,}6$ , $P(X_2) = 0{,}4$ . Gọi L = “sản phẩm lỗi”: $P(L \mid X_1) = 0{,}02$ , $P(L \mid X_2) = 0{,}05$ .
Gọi $X_1$ = “sản phẩm từ Xưởng 1”, $X_2$ = “sản phẩm từ Xưởng 2” — một phân hoạch vì mỗi sản phẩm chỉ đến từ đúng một xưởng. $P(X_1) = 0{,}6$, $P(X_2) = 0{,}4$. Gọi L = “sản phẩm lỗi”: $P(L \mid X_1) = 0{,}02$, $P(L \mid X_2) = 0{,}05$.
3
$P(L) = P(X_1) P(L \mid X_1) + P(X_2) P(L \mid X_2) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$
$$P(L) = P(X_1) P(L \mid X_1) + P(X_2) P(L \mid X_2) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$$
4
Vậy xác suất một sản phẩm ngẫu nhiên trong kho bị lỗi là $0{,}032$ , tức $3{,}2\%$ — dù mỗi xưởng riêng lẻ có tỉ lệ lỗi khác nhau, tỉ lệ lỗi CHUNG của cả kho là trung bình có trọng số theo sản lượng mỗi xưởng đóng góp.
Vậy xác suất một sản phẩm ngẫu nhiên trong kho bị lỗi là $0{,}032$, tức $3{,}2\%$ — dù mỗi xưởng riêng lẻ có tỉ lệ lỗi khác nhau, tỉ lệ lỗi CHUNG của cả kho là trung bình có trọng số theo sản lượng mỗi xưởng đóng góp.

0{,}6 \times 2\% = 1{,}2\%

và

0{,}4 \times 5\% = 2{,}0\%

, cộng lại đúng bằng

3{,}2\%

$0{,}6 \times 2\% = 1{,}2\%$ và $0{,}4 \times 5\% = 2{,}0\%$, cộng lại đúng bằng $3{,}2\%$

Phân hoạch không nhất thiết chỉ có hai phần — công thức $P(A) = \sum_i P(B_i) P(A \mid B_i)$ đúng với bất kỳ số lượng nguyên nhân $B_1, \ldots, B_n$ nào, miễn chúng đôi một xung khắc và phủ kín không gian mẫu. Ví dụ: một cửa hàng nhập bóng đèn từ BA nhà cung cấp — NCC1 chiếm 50% với tỉ lệ hỏng $1\%$ , NCC2 chiếm 30% với tỉ lệ hỏng $2\%$ , NCC3 chiếm 20% với tỉ lệ hỏng $4\%$ . Cách làm không đổi, chỉ có thêm một số hạng: $P(\text{hỏng}) = 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}02 + 0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}019$ Xác suất một bóng đèn ngẫu nhiên bị hỏng là $1{,}9\%$ — phần luyện tập ở cuối chương sẽ quay lại đúng ví dụ này để hỏi ngược bằng công thức Bayes.

Phân hoạch không nhất thiết chỉ có hai phần — công thức $P(A) = \sum_i P(B_i) P(A \mid B_i)$ đúng với bất kỳ số lượng nguyên nhân $B_1, \ldots, B_n$ nào, miễn chúng đôi một xung khắc và phủ kín không gian mẫu. Ví dụ: một cửa hàng nhập bóng đèn từ BA nhà cung cấp — NCC1 chiếm 50% với tỉ lệ hỏng $1\%$, NCC2 chiếm 30% với tỉ lệ hỏng $2\%$, NCC3 chiếm 20% với tỉ lệ hỏng $4\%$. Cách làm không đổi, chỉ có thêm một số hạng: $$P(\text{hỏng}) = 0{,}5 \times 0{,}01 + 0{,}3 \times 0{,}02 + 0{,}2 \times 0{,}04 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}019$$ Xác suất một bóng đèn ngẫu nhiên bị hỏng là $1{,}9\%$ — phần luyện tập ở cuối chương sẽ quay lại đúng ví dụ này để hỏi ngược bằng công thức Bayes.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên kiểm tra $B_1, \ldots, B_n$ có thật sự là một phân hoạch — đôi một xung khắc VÀ phủ kín không gian mẫu — trước khi cộng. Nếu hai “nguyên nhân” bị trùng lặp nhau (không xung khắc), công thức cộng sẽ đếm lặp phần giao, có thể cho ra $P(A)$ lớn hơn cả $1$ — một dấu hiệu chắc chắn báo sai ngay từ bước xác định phân hoạch, không phải lỗi tính toán ở bước sau.

Công thức xác suất toàn phần $P(A) = \sum_i P(B_i) P(A \mid B_i)$ phân rã xác suất của A theo từng nguyên nhân $B_i$ trong một phân hoạch. Sơ đồ cây trình bày đúng quá trình đó: nhân dọc mỗi nhánh, cộng các nhánh cùng dẫn tới A. Luôn kiểm tra $B_i$ có thật sự là một phân hoạch trước khi cộng.

Bài tiếp theo hỏi ngược lại câu hỏi vừa học: đã thấy bi đỏ được rút ra rồi, xác suất nó đến từ hộp 1 cụ thể là bao nhiêu — đây chính là công thức Bayes, đọc ngược sơ đồ cây từ lá về gốc.