Bài học

Định nghĩa xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$ từ một bảng số liệu hai chiều, và dùng công thức nhân xác suất $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ để tính xác suất giao của hai biến cố khi đề bài chỉ cho sẵn hai xác suất tách rời.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 11, em đã học biến cố giao $A \cap B$ — biến cố cả A và B cùng xảy ra — và cách tính xác suất một biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả có thể xảy ra, khi các kết quả đồng khả năng (prior-grade review). Em cũng đã biết hai biến cố độc lập là hai biến cố mà việc biến cố này xảy ra không làm thay đổi khả năng biến cố kia xảy ra. Bài học hôm nay dùng lại đúng những công cụ đó, nhưng đặt thêm một câu hỏi mới: nếu em ĐÃ BIẾT một biến cố nào đó xảy ra rồi, xác suất của một biến cố khác có còn giữ nguyên như trước không?

Một ví dụ nhỏ trước khi vào bảng số liệu thật. Gieo một con xúc xắc cân đối, không gian mẫu có 6 kết quả đồng khả năng: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Xét A = “ra số chẵn”, B = “ra số lớn hơn 3”. Nếu biết B đã xảy ra — tức kết quả chỉ có thể là 4, 5 hoặc 6 — không gian mẫu thu hẹp còn đúng 3 kết quả đó, trong đó 2 kết quả chẵn (4 và 6). Vậy $P(A \mid B) = \frac{2}{3}$ , khác với $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ tính trên toàn bộ 6 kết quả ban đầu. Điều kiện hóa đã thu hẹp không gian mẫu, và tỉ lệ các kết quả thuận lợi trong không gian mới đó chưa chắc giống tỉ lệ ban đầu.

Một ví dụ nhỏ trước khi vào bảng số liệu thật. Gieo một con xúc xắc cân đối, không gian mẫu có 6 kết quả đồng khả năng: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Xét A = “ra số chẵn”, B = “ra số lớn hơn 3”. Nếu biết B đã xảy ra — tức kết quả chỉ có thể là 4, 5 hoặc 6 — không gian mẫu thu hẹp còn đúng 3 kết quả đó, trong đó 2 kết quả chẵn (4 và 6). Vậy $P(A \mid B) = \frac{2}{3}$, khác với $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ tính trên toàn bộ 6 kết quả ban đầu. Điều kiện hóa đã thu hẹp không gian mẫu, và tỉ lệ các kết quả thuận lợi trong không gian mới đó chưa chắc giống tỉ lệ ban đầu.

Khởi động

Một lớp 12 có 40 học sinh chuẩn bị kiểm tra một tiết. Cô giáo nhận thấy: trong số những bạn đã ôn bài kỹ ở nhà, phần lớn đạt điểm khá giỏi. Nếu chỉ biết một bạn thuộc nhóm “đã ôn bài kỹ”, xác suất bạn đó đạt khá giỏi có bằng đúng tỉ lệ khá giỏi chung của cả lớp không, hay phải tính riêng cho nhóm đó?

Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B của cùng một phép thử, với $P(B) > 0$ . Xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra, kí hiệu $P(A \mid B)$ , được định nghĩa: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ Đọc là xác suất của A với điều kiện B — không phải xác suất A và B cùng xảy ra (đó là $P(A \cap B)$ ), mà là xác suất của A SAU KHI đã thu hẹp không gian mẫu chỉ còn những kết quả thuộc B. Điều kiện $P(B) > 0$ là bắt buộc: nếu B không thể xảy ra thì việc biết B đã xảy ra là vô nghĩa, công thức không xác định.

Cho hai biến cố A và B của cùng một phép thử, với $P(B) > 0$. Xác suất có điều kiện của A khi biết B đã xảy ra, kí hiệu $P(A \mid B)$, được định nghĩa: $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Đọc là xác suất của A với điều kiện B — không phải xác suất A và B cùng xảy ra (đó là $P(A \cap B)$), mà là xác suất của A SAU KHI đã thu hẹp không gian mẫu chỉ còn những kết quả thuộc B. Điều kiện $P(B) > 0$ là bắt buộc: nếu B không thể xảy ra thì việc biết B đã xảy ra là vô nghĩa, công thức không xác định.

Có thể hình dung như sau. Ban đầu, không gian mẫu gồm mọi kết quả có thể của phép thử. Khi biết B đã xảy ra, mọi kết quả không thuộc B bị loại bỏ hoàn toàn — không gian mẫu “mới” chỉ còn đúng các kết quả thuộc B. Xác suất của A trong không gian mẫu mới đó chính là tỉ lệ giữa phần của A còn nằm trong B, tức $A \cap B$ , so với toàn bộ B. Đó là lý do mẫu số của công thức là $P(B)$ chứ không phải $1$ .

Có thể hình dung như sau. Ban đầu, không gian mẫu gồm mọi kết quả có thể của phép thử. Khi biết B đã xảy ra, mọi kết quả không thuộc B bị loại bỏ hoàn toàn — không gian mẫu “mới” chỉ còn đúng các kết quả thuộc B. Xác suất của A trong không gian mẫu mới đó chính là tỉ lệ giữa phần của A còn nằm trong B, tức $A \cap B$, so với toàn bộ B. Đó là lý do mẫu số của công thức là $P(B)$ chứ không phải $1$.

Nhân cả hai vế của định nghĩa với $P(B)$ , ta được công thức nhân xác suất: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ Công thức này hữu ích theo chiều ngược: khi đề bài cho sẵn $P(B)$ và $P(A \mid B)$ — hai xác suất tách rời, thường dễ ước lượng hơn là dựng cả bảng số liệu — ta tính được xác suất giao $P(A \cap B)$ mà không cần liệt kê hết không gian mẫu.

Nhân cả hai vế của định nghĩa với $P(B)$, ta được công thức nhân xác suất: $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$$ Công thức này hữu ích theo chiều ngược: khi đề bài cho sẵn $P(B)$ và $P(A \mid B)$ — hai xác suất tách rời, thường dễ ước lượng hơn là dựng cả bảng số liệu — ta tính được xác suất giao $P(A \cap B)$ mà không cần liệt kê hết không gian mẫu.

Khi nào dùng định nghĩa, khi nào dùng công thức nhân? Nếu đề cho một bảng số liệu đầy đủ, như ví dụ 40 học sinh sắp tới, tính trực tiếp $P(A \cap B)$ và $P(B)$ từ bảng rồi chia — đó là dùng định nghĩa. Nếu đề chỉ mô tả tình huống bằng lời và cho sẵn hai xác suất tách rời (một xác suất gốc và một xác suất có điều kiện), nhân chúng lại để ra xác suất giao, không cần dựng bảng. Phân biệt đúng hai tình huống này là kỹ năng đọc đề quan trọng nhất của bài học.

Bảng hai chiều dùng cho ví dụ tính

P(\text{đậu} \mid \text{đã ôn})

Bảng hai chiều dùng cho ví dụ tính $P(\text{đậu} \mid \text{đã ôn})$

Ví dụ

Tính xác suất có điều kiện từ bảng số liệu

1
Một lớp 12 có 40 học sinh. Kết quả kiểm tra một tiết được thống kê: 25 bạn đã ôn bài kỹ trước khi thi (trong đó 21 bạn đạt khá giỏi, 4 bạn không đạt), 15 bạn chưa ôn kỹ (trong đó 6 bạn đạt khá giỏi, 9 bạn không đạt). Gọi A là biến cố “học sinh được chọn ngẫu nhiên đạt khá giỏi”, B là biến cố “học sinh được chọn ngẫu nhiên đã ôn bài kỹ”. Tính $P(A \mid B)$ và so sánh với $P(A)$ .
Một lớp 12 có 40 học sinh. Kết quả kiểm tra một tiết được thống kê: 25 bạn đã ôn bài kỹ trước khi thi (trong đó 21 bạn đạt khá giỏi, 4 bạn không đạt), 15 bạn chưa ôn kỹ (trong đó 6 bạn đạt khá giỏi, 9 bạn không đạt). Gọi A là biến cố “học sinh được chọn ngẫu nhiên đạt khá giỏi”, B là biến cố “học sinh được chọn ngẫu nhiên đã ôn bài kỹ”. Tính $P(A \mid B)$ và so sánh với $P(A)$.
2
Ta có $P(B) = \frac{25}{40} = 0{,}625$ — 25 trong 40 bạn đã ôn bài kỹ. Biến cố giao $A \cap B$ — vừa đạt khá giỏi, vừa đã ôn bài kỹ — đúng là ô 21 của bảng, nên $P(A \cap B) = \frac{21}{40} = 0{,}525$ .
Ta có $P(B) = \frac{25}{40} = 0{,}625$ — 25 trong 40 bạn đã ôn bài kỹ. Biến cố giao $A \cap B$ — vừa đạt khá giỏi, vừa đã ôn bài kỹ — đúng là ô 21 của bảng, nên $P(A \cap B) = \frac{21}{40} = 0{,}525$.
3
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{21/40}{25/40} = \frac{21}{25} = 0{,}84$
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{21/40}{25/40} = \frac{21}{25} = 0{,}84$$
4
Kiểm tra ngược: $P(B) \cdot P(A \mid B) = 0{,}625 \times 0{,}84 = 0{,}525$ , đúng bằng $P(A \cap B)$ đã tính ở trên. (1)
Kiểm tra ngược: $P(B) \cdot P(A \mid B) = 0{,}625 \times 0{,}84 = 0{,}525$, đúng bằng $P(A \cap B)$ đã tính ở trên. (1)
5
Tổng số bạn đạt khá giỏi trong cả lớp là $21 + 6 = 27$ , nên xác suất chung (không điều kiện) là $P(A) = \frac{27}{40} = 0{,}675$ . Trong khi đó $P(A \mid B) = 0{,}84$ — cao hơn hẳn. Vậy biết thêm thông tin “đã ôn bài kỹ” làm thay đổi hẳn xác suất đạt khá giỏi, từ $67{,}5\%$ lên $84\%$ : đây chính là lý do xác suất có điều kiện tồn tại như một khái niệm riêng, không thể thay bằng xác suất chung.
Tổng số bạn đạt khá giỏi trong cả lớp là $21 + 6 = 27$, nên xác suất chung (không điều kiện) là $P(A) = \frac{27}{40} = 0{,}675$. Trong khi đó $P(A \mid B) = 0{,}84$ — cao hơn hẳn. Vậy biết thêm thông tin “đã ôn bài kỹ” làm thay đổi hẳn xác suất đạt khá giỏi, từ $67{,}5\%$ lên $84\%$: đây chính là lý do xác suất có điều kiện tồn tại như một khái niệm riêng, không thể thay bằng xác suất chung.

Ví dụ

Dùng công thức nhân theo chiều ngược

1
Vào một ngày cuối tuần, xác suất trời mưa là $P(M) = 0{,}3$ . Một cửa hàng trà sữa ước tính: nếu trời mưa, xác suất cửa hàng bán được trên 50 ly trong ngày là $P(B \mid M) = 0{,}7$ (khách tránh mưa hay ghé quán gần). Tính xác suất “trời mưa và cửa hàng bán được trên 50 ly”.
Vào một ngày cuối tuần, xác suất trời mưa là $P(M) = 0{,}3$. Một cửa hàng trà sữa ước tính: nếu trời mưa, xác suất cửa hàng bán được trên 50 ly trong ngày là $P(B \mid M) = 0{,}7$ (khách tránh mưa hay ghé quán gần). Tính xác suất “trời mưa và cửa hàng bán được trên 50 ly”.
2
Đề bài cho trực tiếp $P(M)$ và $P(B \mid M)$ — hai xác suất tách rời — nên dùng công thức nhân thay vì định nghĩa gốc, vì không có bảng số liệu để tính $P(M \cap B)$ trực tiếp.
Đề bài cho trực tiếp $P(M)$ và $P(B \mid M)$ — hai xác suất tách rời — nên dùng công thức nhân thay vì định nghĩa gốc, vì không có bảng số liệu để tính $P(M \cap B)$ trực tiếp.
3
$P(M \cap B) = P(M) \cdot P(B \mid M) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$
$$P(M \cap B) = P(M) \cdot P(B \mid M) = 0{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}21$$
4
Vậy xác suất trời mưa và cửa hàng bán được trên 50 ly trong cùng một ngày là $0{,}21$ , tức $21\%$ .
Vậy xác suất trời mưa và cửa hàng bán được trên 50 ly trong cùng một ngày là $0{,}21$, tức $21\%$.

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn viết luôn $P(A \mid B) = P(A \cap B)$ — quên chia cho $P(B)$ , coi xác suất có điều kiện giống hệt xác suất giao. Hai đại lượng này khác nhau về bản chất: $P(A \cap B)$ đo trên TOÀN BỘ không gian mẫu ban đầu (cả 40 học sinh), còn $P(A \mid B)$ đo trên không gian mẫu đã thu hẹp (chỉ 25 học sinh đã ôn bài kỹ). Luôn kiểm tra: mẫu số của công thức phải là xác suất của biến cố đứng sau dấu gạch đứng.

Nhiều bạn viết luôn $P(A \mid B) = P(A \cap B)$ — quên chia cho $P(B)$, coi xác suất có điều kiện giống hệt xác suất giao. Hai đại lượng này khác nhau về bản chất: $P(A \cap B)$ đo trên TOÀN BỘ không gian mẫu ban đầu (cả 40 học sinh), còn $P(A \mid B)$ đo trên không gian mẫu đã thu hẹp (chỉ 25 học sinh đã ôn bài kỹ). Luôn kiểm tra: mẫu số của công thức phải là xác suất của biến cố đứng sau dấu gạch đứng.

Xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$ đo xác suất của A trong không gian mẫu đã thu hẹp thành B, tính bằng $P(A \cap B) / P(B)$ . Công thức nhân $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ là chính công thức đó viết theo chiều ngược, dùng khi đề bài cho hai xác suất tách rời thay vì bảng số liệu đầy đủ.

Xác suất có điều kiện $P(A \mid B)$ đo xác suất của A trong không gian mẫu đã thu hẹp thành B, tính bằng $P(A \cap B) / P(B)$. Công thức nhân $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ là chính công thức đó viết theo chiều ngược, dùng khi đề bài cho hai xác suất tách rời thay vì bảng số liệu đầy đủ.

Bài tiếp theo dùng đúng định nghĩa này để trả lời một câu hỏi khác: làm sao biết hai biến cố có thật sự độc lập hay không nếu chỉ có một bảng số liệu trong tay — không được đoán bằng cảm giác.