Bài học

Hình lăng trụ đứng tam giác và tứ giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác, và đổi được đơn vị thể tích sang lít.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã có công thức tính hình hộp chữ nhật — một trường hợp riêng có đáy hình chữ nhật. Bài này tổng quát hoá: đáy có thể là tam giác hoặc một tứ giác khác, miễn các cạnh bên của khối vuông góc với mặt đáy.

Điểm mấu chốt của "lăng trụ đứng" nằm ở chữ "đứng": các cạnh bên phải vuông góc với mặt đáy, giống cột nhà dựng thẳng đứng trên nền. Nếu cạnh bên xiên chứ không vuông góc, khối hình đó gọi là lăng trụ xiên và các công thức dưới đây không còn áp dụng được — nhưng lăng trụ xiên nằm ngoài chương trình lớp 6, em chỉ cần nhận diện đúng lăng trụ đứng qua đặc điểm này.

Khởi động

Một chiếc lều trại nhìn ngang có mặt cắt hình tam giác, còn một chậu hoa nhìn ngang có mặt cắt hình thang cân. Cả hai đều là hình lăng trụ đứng, chỉ khác nhau ở hình dạng đáy. Công thức nào của bài trước còn dùng được, công thức nào cần thay đổi?

Kiến thức trọng tâm

Hình lăng trụ đứng là khối hình có hai mặt đáy song song và bằng nhau, các mặt bên là hình chữ nhật vuông góc với hai đáy. Tên gọi theo hình dạng đáy: đáy tam giác gọi là lăng trụ đứng tam giác, đáy tứ giác gọi là lăng trụ đứng tứ giác — hình hộp chữ nhật ở bài trước chính là một lăng trụ đứng tứ giác đặc biệt, có đáy là hình chữ nhật.

Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân chiều cao lăng trụ: $S_{xq} = C_{đáy} \times h$ — công thức này giữ nguyên cho mọi hình lăng trụ đứng, không phụ thuộc đáy là hình gì, vì các mặt bên luôn trải phẳng thành một dải hình chữ nhật dài bằng chu vi đáy. Diện tích toàn phần cộng thêm diện tích hai mặt đáy: $S_{tp} = S_{xq} + 2 \times S_{đáy}$ .

Thể tích lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V = S_{đáy} \times h$ . Vì diện tích đáy $S_{đáy}$ thay đổi theo hình dạng đáy — dùng công thức diện tích tam giác, hình thang cân hay hình chữ nhật đã học — nên bước đầu tiên khi giải một bài lăng trụ đứng luôn là xác định đúng hình đáy và tính $S_{đáy}$ trước, rồi mới nhân với chiều cao.

Thể tích lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V = S_{đáy} \times h$. Vì diện tích đáy $S_{đáy}$ thay đổi theo hình dạng đáy — dùng công thức diện tích tam giác, hình thang cân hay hình chữ nhật đã học — nên bước đầu tiên khi giải một bài lăng trụ đứng luôn là xác định đúng hình đáy và tính $S_{đáy}$ trước, rồi mới nhân với chiều cao.

Ba công thức $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ ở đây thực chất chỉ là công thức của hình hộp chữ nhật bài trước, viết lại theo ngôn ngữ tổng quát hơn: thay "chu vi đáy hình chữ nhật $2(a+b)$ " bằng "chu vi đáy $C_{đáy}$ " bất kì, và thay "diện tích đáy $a \times b$ " bằng "diện tích đáy $S_{đáy}$ " bất kì. Nắm được sự tổng quát hoá này, em không cần học ba công thức mới hoàn toàn mà chỉ cần học cách tính đúng $C_{đáy}$ và $S_{đáy}$ cho từng hình đáy khác nhau.

Ba công thức $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$ ở đây thực chất chỉ là công thức của hình hộp chữ nhật bài trước, viết lại theo ngôn ngữ tổng quát hơn: thay "chu vi đáy hình chữ nhật $2(a+b)$" bằng "chu vi đáy $C_{đáy}$" bất kì, và thay "diện tích đáy $a \times b$" bằng "diện tích đáy $S_{đáy}$" bất kì. Nắm được sự tổng quát hoá này, em không cần học ba công thức mới hoàn toàn mà chỉ cần học cách tính đúng $C_{đáy}$ và $S_{đáy}$ cho từng hình đáy khác nhau.

Lời giải có hình

Mặt đáy của lăng trụ đứng — tam giác vuông

Bước 1

Đáy của lăng trụ là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm, cạnh huyền 5 cm.

Ví dụ minh hoạ

Bốn ví dụ sau đi từ đáy tam giác vuông cơ bản đến đáy hình thang cân và bài toán đổi đơn vị.

Ví dụ

Thể tích lăng trụ đứng đáy tam giác

1
Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với ba cạnh 3cm, 4cm, 5cm (góc vuông giữa hai cạnh 3cm và 4cm), chiều cao lăng trụ 10cm. Tính thể tích lăng trụ.
2
Đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3cm và 4cm, nên $S_{đáy} = \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ (cm²).
Đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3cm và 4cm, nên $S_{đáy} = \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ (cm²).
3
Ta có $V = S_{đáy} \times h = 6 \times 10$ .
Ta có $V = S_{đáy} \times h = 6 \times 10$.
4
$6 \times 10 = 60$ .
$6 \times 10 = 60$.
5
Vậy thể tích lăng trụ là 60 cm³.

Ví dụ

Diện tích xung quanh và toàn phần của cùng lăng trụ

1
Với lăng trụ ở ví dụ trên (đáy 3cm, 4cm, 5cm; chiều cao 10cm), tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.
2
$C_{đáy} = 3+4+5 = 12$ (cm).
$C_{đáy} = 3+4+5 = 12$ (cm).
3
$S_{xq} = C_{đáy} \times h = 12 \times 10 = 120$ (cm²).
$S_{xq} = C_{đáy} \times h = 12 \times 10 = 120$ (cm²).
4
$S_{tp} = S_{xq} + 2 \times S_{đáy} = 120 + 2 \times 6 = 120+12=132$ (cm²).
$S_{tp} = S_{xq} + 2 \times S_{đáy} = 120 + 2 \times 6 = 120+12=132$ (cm²).
5
Vậy diện tích xung quanh là 120 cm², diện tích toàn phần là 132 cm².

Ví dụ

Thể tích lăng trụ đứng đáy hình thang cân (dạng thi)

1
Một chậu hoa hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang cân với đáy lớn 30cm, đáy nhỏ 20cm, chiều cao đáy 12cm; chiều cao chậu là 25cm. Tính thể tích chậu hoa.
2
Đáy hình thang cân: $S_{đáy} = \dfrac{(30+20) \times 12}{2} = \dfrac{50 \times 12}{2} = \dfrac{600}{2} = 300$ (cm²).
Đáy hình thang cân: $S_{đáy} = \dfrac{(30+20) \times 12}{2} = \dfrac{50 \times 12}{2} = \dfrac{600}{2} = 300$ (cm²).
3
$V = S_{đáy} \times h = 300 \times 25 = 7500$ .
$V = S_{đáy} \times h = 300 \times 25 = 7500$.
4
Vậy chậu hoa chứa được tối đa 7500 cm³ đất.

Ví dụ

Đổi thể tích sang lít (dạng thi)

1
Một thùng chứa hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật 40cm×25cm, chiều cao thùng 30cm. Thùng chứa được bao nhiêu lít nước?
2
$S_{đáy} = 40 \times 25 = 1000$ (cm²).
$S_{đáy} = 40 \times 25 = 1000$ (cm²).
3
$V = S_{đáy} \times h = 1000 \times 30 = 30000$ (cm³).
$V = S_{đáy} \times h = 1000 \times 30 = 30000$ (cm³).
4
Vì 1 lít = 1000 cm³, số lít là $30000 : 1000 = 30$ (lít).
Vì 1 lít = 1000 cm³, số lít là $30000 : 1000 = 30$ (lít).
5
Vậy thùng chứa được tối đa 30 lít nước.

Bốn ví dụ trên dùng bốn hình đáy khác nhau — tam giác vuông, lại tam giác vuông đó nhưng đổi câu hỏi, hình thang cân, rồi hình chữ nhật — để luyện đúng kĩ năng cốt lõi của bài: mỗi lần gặp một hình đáy mới, việc đầu tiên luôn là quay lại công thức chu vi và diện tích của chính hình đáy đó, không phải đoán mò hay áp dụng nhầm công thức của hình khác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm dùng diện tích đáy thay chu vi đáy khi tính $S_{xq}$ (hoặc ngược lại). Chu vi đáy đo độ dài quanh đáy (đơn vị cm), diện tích đáy đo phần mặt đáy (đơn vị cm²) — hai đại lượng khác bản chất, chỉ đúng công thức khi dùng đúng đại lượng.

Ghi nhớ

$S_{xq}=C_{đáy}\times h$ , $S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}$ , $V=S_{đáy}\times h$ — nhớ tính đúng $S_{đáy}$ theo hình dạng đáy trước khi thay vào.

$S_{xq}=C_{đáy}\times h$, $S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}$, $V=S_{đáy}\times h$ — nhớ tính đúng $S_{đáy}$ theo hình dạng đáy trước khi thay vào.

Bài ôn tập cuối khép lại toàn bộ chương hình phẳng và hình khối, phối hợp cả bảy công thức đã học vào những bài toán tổng hợp đúng dạng đề kiểm tra.