Bài học

Hình thoi và hình thang cân

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được chu vi và diện tích hình thoi từ hai đường chéo, tính được chu vi và diện tích hình thang cân từ hai đáy và chiều cao.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã có công thức diện tích hình chữ nhật và hình bình hành. Bài này thêm hai hình tứ giác nữa vào bộ công cụ đó — hình thoi và hình thang cân — mỗi hình có một công thức diện tích riêng, không dùng lại công thức của hình bình hành.

Hình thoi và hình thang cân đều là những tứ giác đặc biệt, nhưng đặc biệt theo cách khác nhau: hình thoi đặc biệt ở bốn cạnh bằng nhau (giống hình vuông, nhưng góc không nhất thiết vuông), còn hình thang cân đặc biệt ở chỉ một cặp cạnh song song (khác hẳn hình chữ nhật và hình bình hành, vốn có cả hai cặp cạnh song song). Nhớ đúng đặc điểm riêng của từng hình giúp em không nhầm công thức khi gặp một bài toán trộn nhiều hình.

Khởi động

Diều giấy các bạn thường thả có hình thoi, còn mái nhà nhìn từ trước thường có dạng hình thang cân. Hai hình này không có góc vuông như hình chữ nhật, vậy làm sao tính được diện tích của chúng?

Kiến thức trọng tâm

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi cạnh hình thoi là $a$ , chu vi là $C = 4a$ — giống công thức chu vi hình vuông, vì hình vuông thực ra là một hình thoi đặc biệt có thêm bốn góc vuông. Diện tích hình thoi tính theo hai đường chéo $d_1, d_2$ : $S = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ .

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi cạnh hình thoi là $a$, chu vi là $C = 4a$ — giống công thức chu vi hình vuông, vì hình vuông thực ra là một hình thoi đặc biệt có thêm bốn góc vuông. Diện tích hình thoi tính theo hai đường chéo $d_1, d_2$: $S = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$.

Hình thang cân là tứ giác có hai cạnh đối song song (gọi là hai đáy — đáy lớn và đáy nhỏ) và hai cạnh bên bằng nhau. Chu vi hình thang cân là tổng bốn cạnh: hai đáy cộng hai cạnh bên. Diện tích tính theo công thức $S = \dfrac{(a+b) \times h}{2}$ , trong đó $a, b$ là hai đáy và $h$ là chiều cao — khoảng cách vuông góc giữa hai đáy, không phải cạnh bên xiên.

Hình thang cân là tứ giác có hai cạnh đối song song (gọi là hai đáy — đáy lớn và đáy nhỏ) và hai cạnh bên bằng nhau. Chu vi hình thang cân là tổng bốn cạnh: hai đáy cộng hai cạnh bên. Diện tích tính theo công thức $S = \dfrac{(a+b) \times h}{2}$, trong đó $a, b$ là hai đáy và $h$ là chiều cao — khoảng cách vuông góc giữa hai đáy, không phải cạnh bên xiên.

Cả hai công thức diện tích trên đều có mẫu số 2: hình thoi được ghép từ hai hình chữ nhật lồng hai đường chéo, còn hình thang cân bằng đúng một nửa hình bình hành có đáy bằng tổng hai đáy và cùng chiều cao. Em chưa cần chứng minh điều này ở lớp 6, chỉ cần nhớ đúng công thức và áp dụng đúng số liệu.

Một điểm dễ nhầm là chữ "cân" trong tên gọi hình thang cân không có nghĩa cân nặng, mà chỉ tính đối xứng: nếu gấp đôi hình thang cân theo đường thẳng đứng đi qua trung điểm hai đáy, hai cạnh bên sẽ trùng khít lên nhau. Chính sự đối xứng này khiến hai cạnh bên luôn bằng nhau, và cũng là lí do hình thang cân trông cân đối hơn một hình thang thường. Nếu chỉ có một cặp cạnh song song mà hai cạnh bên KHÔNG bằng nhau, hình đó vẫn là hình thang, nhưng không còn "cân" nữa, và công thức chu vi lúc này phải cộng đủ bốn cạnh khác nhau chứ không thể viết gọn thành hai lần cạnh bên.

Lời giải có hình

Hình thoi: hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường

Bước 1

Vẽ hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Lời giải có hình

Hình thang cân: hai cạnh bên bằng nhau, đường cao vuông góc với hai đáy

Bước 1

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, DC song song và hai cạnh bên AD, BC.

Ví dụ minh hoạ

Bốn ví dụ dưới đây đi từ tính trực tiếp đến bài toán ngược, gắn với đồ vật quen thuộc quanh sân trường.

Ví dụ

Chu vi và diện tích hình thoi

1
Một chiếc diều giấy hình thoi có hai đường chéo dài 6cm và 8cm, cạnh diều dài 5cm. Tính chu vi và diện tích chiếc diều.
2
Áp dụng công thức: $C = 4a = 4 \times 5 = 20$ (cm).
Áp dụng công thức: $C = 4a = 4 \times 5 = 20$ (cm).
3
Áp dụng công thức: $S = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$ (cm²).
Áp dụng công thức: $S = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$ (cm²).
4
Vậy chiếc diều có chu vi 20cm và diện tích 24 cm².

Ví dụ

Chu vi và diện tích hình thang cân

1
Một tấm biển hình thang cân có đáy lớn 10m, đáy nhỏ 6m, chiều cao 4m, cạnh bên dài 5m. Tính chu vi và diện tích tấm biển.
2
Áp dụng công thức: $C = 10 + 6 + 5 + 5 = 26$ (m).
Áp dụng công thức: $C = 10 + 6 + 5 + 5 = 26$ (m).
3
Áp dụng công thức: $S = \dfrac{(10+6) \times 4}{2} = \dfrac{16 \times 4}{2} = \dfrac{64}{2} = 32$ (m²).
Áp dụng công thức: $S = \dfrac{(10+6) \times 4}{2} = \dfrac{16 \times 4}{2} = \dfrac{64}{2} = 32$ (m²).
4
Vậy tấm biển có chu vi 26m và diện tích 32 m².

Ví dụ

Diện tích hình thoi từ tỉ lệ hai đường chéo (dạng thi)

1
Một tấm bạt che nắng sân trường hình thoi có đường chéo dài gấp đôi đường chéo ngắn. Đường chéo ngắn dài 5m. Tính diện tích tấm bạt.
2
Đường chéo dài gấp đôi đường chéo ngắn nên bằng $5 \times 2 = 10$ (m).
Đường chéo dài gấp đôi đường chéo ngắn nên bằng $5 \times 2 = 10$ (m).
3
Áp dụng công thức: $S = \dfrac{5 \times 10}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$ (m²).
Áp dụng công thức: $S = \dfrac{5 \times 10}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$ (m²).
4
Vậy diện tích tấm bạt hình thoi là 25 m².

Ví dụ

Tìm chiều cao khi biết diện tích (dạng thi)

1
Một mảnh vườn hình thang cân có đáy lớn 20m, đáy nhỏ 12m và diện tích 128 m². Tính chiều cao mảnh vườn.
2
Từ $S = \dfrac{(a+b) \times h}{2}$ suy ra $h = S \times 2 : (a+b)$ .
Từ $S = \dfrac{(a+b) \times h}{2}$ suy ra $h = S \times 2 : (a+b)$.
3
$h = 128 \times 2 : (20+12) = 256 : 32 = 8$ (m).
$h = 128 \times 2 : (20+12) = 256 : 32 = 8$ (m).
4
Vậy chiều cao mảnh vườn là 8m.

Hai ví dụ dạng thi ở trên không cho đủ số liệu để thay thẳng vào công thức — em phải tìm thêm một đại lượng còn thiếu trước (đường chéo dài, hoặc chiều cao) rồi mới tính ra kết quả cuối. Đây chính là điểm khác giữa một bài toán "áp dụng công thức" và một bài toán "dạng thi": đề không đưa số liệu sẵn theo đúng thứ tự công thức cần, mà bắt em suy luận thêm một bước.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn dùng cạnh nhân cạnh cho diện tích hình thoi, giống hình vuông — nhưng hình thoi phải dùng hai đường chéo và chia 2. Một lỗi khác là quên chia 2 khi tính diện tích hình thang cân, ra kết quả gấp đôi đáp án đúng. Cả hai lỗi đều xuất phát từ việc nhớ nhầm công thức của hình này sang hình khác, nên khi làm bài, em nên viết rõ công thức ra giấy nháp trước khi thay số.

Ghi nhớ

Hình thoi: $C=4a$ , $S=\dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ . Hình thang cân: $C=$ tổng 4 cạnh, $S=\dfrac{(a+b)\times h}{2}$ với $h$ vuông góc với hai đáy.

Hình thoi: $C=4a$, $S=\dfrac{d_1 \times d_2}{2}$. Hình thang cân: $C=$ tổng 4 cạnh, $S=\dfrac{(a+b)\times h}{2}$ với $h$ vuông góc với hai đáy.

Khép lại chương hình phẳng, bài sau bắt đầu chương hình khối — chuyển từ đo trên mặt phẳng sang đo cả không gian ba chiều, bắt đầu với hình hộp chữ nhật và hình lập phương.