Bài học

Tam giác đều, hình vuông và lục giác đều

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận diện được tam giác đều, hình vuông, lục giác đều qua đặc điểm cạnh và góc, tính được chu vi của cả ba hình, và tính được diện tích hình vuông.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở bài trước, em đã đo và vẽ được góc, biết góc vuông có số đo $90°$ . Bài này dùng lại kĩ năng đo độ dài đoạn thẳng và đo góc để nhận ra ba hình phẳng quen thuộc trong đời sống, rồi tính chu vi — tổng độ dài các cạnh — và diện tích hình vuông.

Ở bài trước, em đã đo và vẽ được góc, biết góc vuông có số đo $90°$. Bài này dùng lại kĩ năng đo độ dài đoạn thẳng và đo góc để nhận ra ba hình phẳng quen thuộc trong đời sống, rồi tính chu vi — tổng độ dài các cạnh — và diện tích hình vuông.

Ba hình học hôm nay đều thuộc nhóm "hình đều" — mọi cạnh dài bằng nhau, mọi góc rộng bằng nhau. Tính chất "đều" này không phải ngẫu nhiên: nó khiến hình trông cân đối, dễ ghép khít với chính nó nhiều lần mà không chừa khe hở, nên rất hay gặp trong kiến trúc và tự nhiên, từ viên gạch lát nền đến tổ ong. Nhận ra một hình có "đều" hay không là bước đầu tiên trước khi chọn đúng công thức chu vi và diện tích cho nó.

Khởi động

Viên gạch lát sân hình vuông, tấm biển báo giao thông hình tam giác đều, và một ô tổ ong hình lục giác đều — ba vật quen thuộc này có điểm chung gì về các cạnh? Nhìn kĩ số đo cạnh và góc của từng hình sẽ trả lời được câu hỏi này.

Kiến thức trọng tâm

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi ba cạnh bằng nhau, ba góc của tam giác cũng bằng nhau, mỗi góc có số đo $60°$ (vì tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng $180°$ , chia đều cho ba góc bằng nhau: $180° : 3 = 60°$ ). Chu vi tam giác đều cạnh $a$ là tổng ba cạnh bằng nhau: $C = 3a$ .

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Khi ba cạnh bằng nhau, ba góc của tam giác cũng bằng nhau, mỗi góc có số đo $60°$ (vì tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng $180°$, chia đều cho ba góc bằng nhau: $180° : 3 = 60°$). Chu vi tam giác đều cạnh $a$ là tổng ba cạnh bằng nhau: $C = 3a$.

Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc đều là góc vuông. Với hình vuông cạnh $a$ , chu vi là $C = 4a$ , còn diện tích là $S = a \times a = a^2$ — cạnh nhân cạnh, vì hình vuông lấp đầy vừa khít bởi $a$ hàng, mỗi hàng $a$ ô vuông đơn vị. Đây là hình duy nhất trong ba hình hôm nay vừa có góc vuông vừa có cạnh bằng nhau, nên vừa tính được diện tích theo cách đếm ô vuông đơn giản này.

Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc đều là góc vuông. Với hình vuông cạnh $a$, chu vi là $C = 4a$, còn diện tích là $S = a \times a = a^2$ — cạnh nhân cạnh, vì hình vuông lấp đầy vừa khít bởi $a$ hàng, mỗi hàng $a$ ô vuông đơn vị. Đây là hình duy nhất trong ba hình hôm nay vừa có góc vuông vừa có cạnh bằng nhau, nên vừa tính được diện tích theo cách đếm ô vuông đơn giản này.

Lục giác đều là hình sáu cạnh bằng nhau, sáu góc bằng nhau, mỗi góc có số đo $120°$ . Tổ ong là hình ảnh quen thuộc nhất của lục giác đều trong tự nhiên: ong xây các ô lục giác khít nhau, không chừa khe hở, tiết kiệm sáp mà vẫn chắc chắn — trong khi hình tròn xếp cạnh nhau luôn để lại khe hở, lục giác đều thì không. Chu vi lục giác đều cạnh $a$ là $C = 6a$ . Chương trình lớp 6 chưa tính diện tích của tam giác đều và lục giác đều — hai công thức đó cần đến kiến thức nâng cao hơn ở lớp trên.

Lục giác đều là hình sáu cạnh bằng nhau, sáu góc bằng nhau, mỗi góc có số đo $120°$. Tổ ong là hình ảnh quen thuộc nhất của lục giác đều trong tự nhiên: ong xây các ô lục giác khít nhau, không chừa khe hở, tiết kiệm sáp mà vẫn chắc chắn — trong khi hình tròn xếp cạnh nhau luôn để lại khe hở, lục giác đều thì không. Chu vi lục giác đều cạnh $a$ là $C = 6a$. Chương trình lớp 6 chưa tính diện tích của tam giác đều và lục giác đều — hai công thức đó cần đến kiến thức nâng cao hơn ở lớp trên.

Ba công thức chu vi $3a$ , $4a$ , $6a$ có chung một quy luật: chu vi của một hình đều luôn bằng số cạnh nhân với độ dài một cạnh, vì mọi cạnh đều bằng nhau nên chỉ cần đếm số cạnh rồi nhân lên. Nhớ quy luật này giúp em không cần học thuộc từng công thức riêng lẻ, mà tự suy ra được chu vi của bất kì hình đều nào khác, kể cả những hình chưa được đặt tên riêng.

Ba công thức chu vi $3a$, $4a$, $6a$ có chung một quy luật: chu vi của một hình đều luôn bằng số cạnh nhân với độ dài một cạnh, vì mọi cạnh đều bằng nhau nên chỉ cần đếm số cạnh rồi nhân lên. Nhớ quy luật này giúp em không cần học thuộc từng công thức riêng lẻ, mà tự suy ra được chu vi của bất kì hình đều nào khác, kể cả những hình chưa được đặt tên riêng.

Lời giải có hình

Ba điểm cách đều nhau trên một đường tròn tạo thành tam giác đều

Bước 1

Vẽ đường tròn tâm O, lấy ba điểm A, B, C cách đều nhau trên đường tròn (mỗi cung cách nhau 120°).

Ví dụ minh hoạ

Bốn ví dụ dưới đây đi từ tính trực tiếp chu vi, diện tích đến bài toán ngược — biết chu vi hoặc diện tích, tìm lại cạnh — đúng dạng câu hỏi hay gặp trong đề kiểm tra.

Ví dụ

Tính chu vi và diện tích hình vuông

1
Một viên gạch lát nền hình vuông có cạnh 5cm. Tính chu vi và diện tích viên gạch.
2
Áp dụng công thức chu vi hình vuông: $C = 4a = 4 \times 5 = 20$ (cm).
Áp dụng công thức chu vi hình vuông: $C = 4a = 4 \times 5 = 20$ (cm).
3
Áp dụng công thức diện tích hình vuông: $S = a^2 = 5 \times 5 = 25$ (cm²).
Áp dụng công thức diện tích hình vuông: $S = a^2 = 5 \times 5 = 25$ (cm²).
4
Vậy viên gạch có chu vi 20cm và diện tích 25 cm².

Ví dụ

Tính chu vi lục giác đều

1
Một ô tổ ong hình lục giác đều có cạnh dài 4mm. Tính chu vi ô tổ ong đó.
2
Theo công thức chu vi lục giác đều, $C = 6a = 6 \times 4 = 24$ (mm).
Theo công thức chu vi lục giác đều, $C = 6a = 6 \times 4 = 24$ (mm).
3
Vậy chu vi ô tổ ong là 24mm.

Ví dụ

Tìm cạnh khi biết diện tích (dạng thi)

1
Một khung tranh hình vuông có diện tích 64 cm². Tính cạnh và chu vi khung tranh.
2
Ta cần tìm số mà nhân với chính nó bằng 64. Vì $8 \times 8 = 64$ , cạnh khung tranh là 8cm.
Ta cần tìm số mà nhân với chính nó bằng 64. Vì $8 \times 8 = 64$, cạnh khung tranh là 8cm.
3
Áp dụng công thức chu vi hình vuông: $C = 4a = 4 \times 8 = 32$ (cm).
Áp dụng công thức chu vi hình vuông: $C = 4a = 4 \times 8 = 32$ (cm).
4
Vậy khung tranh có cạnh 8cm và chu vi 32cm.

Ví dụ

Tìm cạnh khi biết chu vi (dạng thi)

1
Một biển báo giao thông hình tam giác đều có chu vi 90cm. Tính độ dài mỗi cạnh biển báo.
2
Từ $C = 3a$ suy ra $a = C : 3 = 90 : 3 = 30$ (cm).
Từ $C = 3a$ suy ra $a = C : 3 = 90 : 3 = 30$ (cm).
3
Vậy mỗi cạnh biển báo dài 30cm.

Hai ví dụ đầu tính xuôi từ cạnh ra chu vi hoặc diện tích; hai ví dụ dạng thi tính ngược lại, từ diện tích hoặc chu vi tìm về cạnh. Đây là cách đề kiểm tra hay kiểm tra xem em có thật sự hiểu công thức hay chỉ học thuộc một chiều: nếu hiểu $C=4a$ nghĩa là "chu vi gấp 4 lần cạnh", em tự suy ra được cạnh gấp $\dfrac{1}{4}$ chu vi mà không cần nhớ thêm công thức ngược riêng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm chu vi với diện tích, chẳng hạn tính hình vuông cạnh 5cm ra chu vi 25cm (lấy $5\times5$ thay vì $4\times5$ ). Chu vi cộng các cạnh lại nên đơn vị là cm; diện tích nhân hai kích thước vuông góc nên đơn vị là cm². Hai phép tính khác bản chất, không dùng lẫn cho nhau.

Nhiều bạn nhầm chu vi với diện tích, chẳng hạn tính hình vuông cạnh 5cm ra chu vi 25cm (lấy $5\times5$ thay vì $4\times5$). Chu vi cộng các cạnh lại nên đơn vị là cm; diện tích nhân hai kích thước vuông góc nên đơn vị là cm². Hai phép tính khác bản chất, không dùng lẫn cho nhau.

Ghi nhớ

Tam giác đều: 3 cạnh bằng nhau, chu vi $C=3a$ . Hình vuông: 4 cạnh bằng nhau, 4 góc vuông, chu vi $C=4a$ , diện tích $S=a^2$ . Lục giác đều: 6 cạnh bằng nhau, chu vi $C=6a$ .

Tam giác đều: 3 cạnh bằng nhau, chu vi $C=3a$. Hình vuông: 4 cạnh bằng nhau, 4 góc vuông, chu vi $C=4a$, diện tích $S=a^2$. Lục giác đều: 6 cạnh bằng nhau, chu vi $C=6a$.

Bài tiếp theo học hai hình tứ giác khác — hình chữ nhật và hình bình hành — hình nào trong số đó cũng có công thức diện tích riêng, không chỉ dừng ở chu vi như lục giác đều.