Bài học

Bốn phép tính với số tự nhiên và thứ tự thực hiện

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng đúng các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối để tính nhanh, và thực hiện đúng thứ tự các phép tính trong một biểu thức có ngoặc lẫn không ngoặc.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã thành thạo bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia với số tự nhiên từ tiểu học, và vừa học cách so sánh hai số tự nhiên ở bài trước. Bài này ghép chúng lại: khi một biểu thức có nhiều phép tính trộn lẫn, phải làm phép tính nào trước để luôn ra đúng một kết quả duy nhất, chứ không phải mạnh ai nấy tính theo ý mình.

Khởi động

Hai bạn cùng tính biểu thức $2 + 3 \times 4$ . Bạn Lan tính cộng trước: $2+3=5$ , rồi $5 \times 4 = 20$ . Bạn Khang tính nhân trước: $3 \times 4 = 12$ , rồi $2 + 12 = 14$ . Hai bạn ra hai đáp số khác nhau cho cùng một biểu thức — vậy ai đúng, và vì sao Toán học cần một quy tắc chung để không xảy ra tình huống này?

Hai bạn cùng tính biểu thức $2 + 3 \times 4$. Bạn Lan tính cộng trước: $2+3=5$, rồi $5 \times 4 = 20$. Bạn Khang tính nhân trước: $3 \times 4 = 12$, rồi $2 + 12 = 14$. Hai bạn ra hai đáp số khác nhau cho cùng một biểu thức — vậy ai đúng, và vì sao Toán học cần một quy tắc chung để không xảy ra tình huống này?

Kiến thức trọng tâm

Ba tính chất sau đúng với phép cộng và phép nhân số tự nhiên. Giao hoán: $a+b=b+a$ và $a \times b = b \times a$ — đổi chỗ hai số hạng hay hai thừa số không đổi kết quả. Kết hợp: $(a+b)+c=a+(b+c)$ và $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ — nhóm lại theo cách nào cũng ra cùng kết quả. Phân phối của phép nhân với phép cộng: $a \times (b+c) = a \times b + a \times c$ — nhân một số với một tổng bằng tổng của các tích riêng lẻ.

Với một biểu thức KHÔNG có ngoặc, thứ tự thực hiện là: lũy thừa (em sẽ định nghĩa kỹ ở bài sau, tạm hiểu là được tính trước nhân/chia) rồi đến nhân/chia (theo thứ tự từ trái sang phải), sau cùng mới đến cộng/trừ (cũng từ trái sang phải). Với biểu thức CÓ ngoặc, luôn làm trong ngoặc trước: thứ tự ưu tiên là ngoặc tròn $(\ )$ , rồi ngoặc vuông $[\ ]$ , rồi ngoặc nhọn $\{\ \}$ ; trong mỗi cặp ngoặc lại áp dụng đúng thứ tự lũy thừa → nhân/chia → cộng/trừ như trên.

Với một biểu thức KHÔNG có ngoặc, thứ tự thực hiện là: lũy thừa (em sẽ định nghĩa kỹ ở bài sau, tạm hiểu là được tính trước nhân/chia) rồi đến nhân/chia (theo thứ tự từ trái sang phải), sau cùng mới đến cộng/trừ (cũng từ trái sang phải). Với biểu thức CÓ ngoặc, luôn làm trong ngoặc trước: thứ tự ưu tiên là ngoặc tròn $(\ )$, rồi ngoặc vuông $[\ ]$, rồi ngoặc nhọn $\{\ \}$; trong mỗi cặp ngoặc lại áp dụng đúng thứ tự lũy thừa → nhân/chia → cộng/trừ như trên.

Tính chất phân phối rất hữu ích khi tính nhanh với những số gần một số tròn chục, tròn trăm. Muốn tính $37 \times 99$ , thay vì nhân trực tiếp, em viết $99 = 100 - 1$ rồi phân phối: $37 \times 99 = 37 \times (100-1) = 37 \times 100 - 37 \times 1 = 3700 - 37 = 3663$ — nhẩm được mà không cần đặt tính nhân dài dòng.

Tính chất phân phối rất hữu ích khi tính nhanh với những số gần một số tròn chục, tròn trăm. Muốn tính $37 \times 99$, thay vì nhân trực tiếp, em viết $99 = 100 - 1$ rồi phân phối: $37 \times 99 = 37 \times (100-1) = 37 \times 100 - 37 \times 1 = 3700 - 37 = 3663$ — nhẩm được mà không cần đặt tính nhân dài dòng.

Với các phép cùng mức ưu tiên như nhân và chia (hoặc cộng và trừ) đứng cạnh nhau mà không có ngoặc phân tách, ta luôn làm từ trái sang phải, KHÔNG được tùy ý làm phép nào trước. Ví dụ $20 - 5 + 3$ phải tính $20-5=15$ trước rồi $15+3=18$ ; nếu lỡ cộng trước ( $5+3=8$ rồi $20-8=12$ ) sẽ ra một kết quả khác — và đó là kết quả sai.

Với các phép cùng mức ưu tiên như nhân và chia (hoặc cộng và trừ) đứng cạnh nhau mà không có ngoặc phân tách, ta luôn làm từ trái sang phải, KHÔNG được tùy ý làm phép nào trước. Ví dụ $20 - 5 + 3$ phải tính $20-5=15$ trước rồi $15+3=18$; nếu lỡ cộng trước ($5+3=8$ rồi $20-8=12$) sẽ ra một kết quả khác — và đó là kết quả sai.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính giá trị biểu thức có ngoặc

1
Tính giá trị biểu thức $25 + 5 \times (18 - 12)$ .
Tính giá trị biểu thức $25 + 5 \times (18 - 12)$.
2
Theo thứ tự thực hiện phép tính, làm trong ngoặc trước: $18 - 12 = 6$ .
Theo thứ tự thực hiện phép tính, làm trong ngoặc trước: $18 - 12 = 6$.
3
Thay vào biểu thức: $25 + 5 \times 6$ . Nhân trước cộng: $5 \times 6 = 30$ .
Thay vào biểu thức: $25 + 5 \times 6$. Nhân trước cộng: $5 \times 6 = 30$.
4
Cuối cùng thực hiện phép cộng còn lại: $25 + 30 = 55$ .
Cuối cùng thực hiện phép cộng còn lại: $25 + 30 = 55$.
5
Vậy giá trị của biểu thức $25 + 5 \times (18-12)$ là 55.
Vậy giá trị của biểu thức $25 + 5 \times (18-12)$ là 55.

Ví dụ

Tính nhanh bằng tính chất phân phối

1
Tính nhanh giá trị của tích $37 \times 99$ .
Tính nhanh giá trị của tích $37 \times 99$.
2
Viết $99 = 100 - 1$ để đưa về một số tròn trăm, dễ nhân nhẩm.
Viết $99 = 100 - 1$ để đưa về một số tròn trăm, dễ nhân nhẩm.
3
$37 \times 99 = 37 \times (100-1) = 37 \times 100 - 37 \times 1$ (theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ, cùng bản chất với phân phối đối với phép cộng).
$37 \times 99 = 37 \times (100-1) = 37 \times 100 - 37 \times 1$ (theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ, cùng bản chất với phân phối đối với phép cộng).
4
$37 \times 100 = 3700$ ; $37 \times 1 = 37$ ; nên $3700 - 37 = 3663$ .
$37 \times 100 = 3700$; $37 \times 1 = 37$; nên $3700 - 37 = 3663$.
5
Vậy $37 \times 99 = 3663$ , tính nhanh hơn nhiều so với đặt tính nhân trực tiếp hai số ba chữ số.
Vậy $37 \times 99 = 3663$, tính nhanh hơn nhiều so với đặt tính nhân trực tiếp hai số ba chữ số.

Ví dụ

Tính tổng tiền mua sắm (dạng thi)

1
Mẹ mua 3 kg cam giá 35 000 đồng/kg và 2 kg táo giá 45 000 đồng/kg. Viết biểu thức tính tổng số tiền mẹ phải trả, rồi tính giá trị.
2
Tiền mua cam là $3 \times 35\,000$ , tiền mua táo là $2 \times 45\,000$ . Tổng số tiền là $3 \times 35\,000 + 2 \times 45\,000$ .
Tiền mua cam là $3 \times 35\,000$, tiền mua táo là $2 \times 45\,000$. Tổng số tiền là $3 \times 35\,000 + 2 \times 45\,000$.
3
$3 \times 35\,000 = 105\,000$ ; $2 \times 45\,000 = 90\,000$ (nhân được làm trước cộng, dù không có ngoặc).
$3 \times 35\,000 = 105\,000$; $2 \times 45\,000 = 90\,000$ (nhân được làm trước cộng, dù không có ngoặc).
4
Cộng hai khoản tiền lại: $105\,000 + 90\,000 = 195\,000$ .
Cộng hai khoản tiền lại: $105\,000 + 90\,000 = 195\,000$.
5
Vậy mẹ phải trả tổng cộng 195 000 đồng cho cả cam và táo.

Ví dụ

Tính biểu thức có nhiều phép tính trộn lẫn (dạng thi)

1
Tính giá trị biểu thức $200 - 3 \times (15+25) : 8$ .
Tính giá trị biểu thức $200 - 3 \times (15+25) : 8$.
2
Theo thứ tự thực hiện phép tính, làm trong ngoặc trước: $15 + 25 = 40$ .
Theo thứ tự thực hiện phép tính, làm trong ngoặc trước: $15 + 25 = 40$.
3
Thay vào: $200 - 3 \times 40 : 8$ . Nhân và chia cùng mức ưu tiên, làm từ trái sang phải: $3 \times 40 = 120$ , rồi $120 : 8 = 15$ .
Thay vào: $200 - 3 \times 40 : 8$. Nhân và chia cùng mức ưu tiên, làm từ trái sang phải: $3 \times 40 = 120$, rồi $120 : 8 = 15$.
4
Đến đây chỉ còn lại phép trừ: $200 - 15 = 185$ .
Đến đây chỉ còn lại phép trừ: $200 - 15 = 185$.
5
Vậy giá trị của biểu thức $200 - 3 \times (15+25) : 8$ là 185.
Vậy giá trị của biểu thức $200 - 3 \times (15+25) : 8$ là 185.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là cộng/trừ trước khi nhân/chia trong một biểu thức không có ngoặc, như tính $2+3\times4$ thành $5\times4=20$ thay vì đúng là $2+12=14$ . Một lỗi khác là khi gặp nhiều phép nhân và chia liên tiếp, lại làm phép chia trước bất kể vị trí, quên rằng nhân và chia phải thực hiện THEO ĐÚNG THỨ TỰ TỪ TRÁI SANG PHẢI, không phải nhân luôn được ưu tiên hơn chia.

Lỗi phổ biến nhất là cộng/trừ trước khi nhân/chia trong một biểu thức không có ngoặc, như tính $2+3\times4$ thành $5\times4=20$ thay vì đúng là $2+12=14$. Một lỗi khác là khi gặp nhiều phép nhân và chia liên tiếp, lại làm phép chia trước bất kể vị trí, quên rằng nhân và chia phải thực hiện THEO ĐÚNG THỨ TỰ TỪ TRÁI SANG PHẢI, không phải nhân luôn được ưu tiên hơn chia.

Có thể hình dung thứ tự thực hiện phép tính giống một công thức nấu ăn: các bước phải làm đúng trình tự — sơ chế trước, nêm gia vị sau — thì món ăn mới đúng vị; đổi thứ tự tùy tiện sẽ cho ra một kết quả khác hẳn, dù nguyên liệu (các số trong biểu thức) không hề thay đổi.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Thứ tự thực hiện phép tính: trong ngoặc trước, rồi lũy thừa, rồi nhân/chia (trái sang phải), sau cùng cộng/trừ (trái sang phải). Ba tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối giúp tính nhanh, nhất là khi gặp số gần một số tròn chục, tròn trăm.

Bài học tiếp theo giải thích chính xác khái niệm "lũy thừa" mà bài này mới chỉ nhắc tên trong quy tắc thứ tự thực hiện phép tính — từ định nghĩa cơ số, số mũ, đến cách nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số.