Tập con, giao và hợp của hai tập hợp

Em cần vững lại bài trước: cách viết một tập hợp bằng liệt kê, và kí hiệu $\in$, $\notin$ để kiểm tra một phần tử có mặt trong tập hợp hay không. Bài này không thêm cách viết tập hợp mới, mà đặt hai tập hợp cạnh nhau để so sánh chúng — kỹ năng so sánh từng phần tử một là chỗ em dùng lại nhiều nhất trong suốt bài.

Tập hợp $X$ được gọi là tập con của tập hợp $Y$, viết $X \subset Y$, khi mọi phần tử của $X$ đều là phần tử của $Y$. Chẳng hạn với $A = \{1;2;3;4\}$, tập $C = \{1;2\}$ là tập con của $A$ vì cả 1 và 2 đều thuộc $A$; kí hiệu $\subset$ đọc là "chứa trong" hoặc "là tập con của".

Hai tập hợp $X$ và $Y$ được gọi là bằng nhau, viết $X = Y$, khi $X \subset Y$ và $Y \subset X$ — tức mọi phần tử của $X$ đều thuộc $Y$, và ngược lại mọi phần tử của $Y$ cũng đều thuộc $X$. Nói cách khác, hai tập hợp bằng nhau khi chúng có đúng cùng các phần tử, bất kể thứ tự liệt kê.

Giao của hai tập hợp $A$ và $B$, kí hiệu $A \cap B$, là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$. Với $A = \{1;2;3;4\}$ và $B = \{2;4;6\}$, ta có $A \cap B = \{2;4\}$ vì chỉ 2 và 4 xuất hiện ở cả hai tập. Hợp của $A$ và $B$, kí hiệu $A \cup B$, là tập hợp gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (kể cả thuộc cả hai, nhưng mỗi phần tử chỉ viết một lần): $A \cup B = \{1;2;3;4;6\}$.

Khi hai tập hợp không có phần tử chung nào, giao của chúng là tập hợp rỗng, kí hiệu $\emptyset$ — tập hợp không có phần tử nào cả. Ví dụ với $P = \{1;2\}$ và $Q = \{3;4\}$, không có số nào vừa thuộc $P$ vừa thuộc $Q$, nên $P \cap Q = \emptyset$.

Có một trường hợp riêng đáng nhớ: khi một tập hợp là tập con của tập còn lại, chẳng hạn $C = \{1;2\}$ là tập con của $A = \{1;2;3;4\}$, thì $C \cap A = C$ (tập nhỏ hơn) và $C \cup A = A$ (tập lớn hơn). Nói chung, giao của hai tập hợp luôn có số phần tử ít hơn hoặc bằng cả hai tập ban đầu, còn hợp luôn có số phần tử nhiều hơn hoặc bằng cả hai tập ban đầu.