Bài học

Tập hợp số tự nhiên, tia số và so sánh số tự nhiên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân biệt được tập hợp $\mathbb{N}$ và $\mathbb{N}^*$ , đọc đúng giá trị các chữ số theo hàng của một số tự nhiên, biểu diễn được số tự nhiên trên tia số, và so sánh được hai số tự nhiên bất kỳ.

Sau bài này, em phân biệt được tập hợp $\mathbb{N}$ và $\mathbb{N}^*$, đọc đúng giá trị các chữ số theo hàng của một số tự nhiên, biểu diễn được số tự nhiên trên tia số, và so sánh được hai số tự nhiên bất kỳ.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã cho em ngôn ngữ tập hợp — liệt kê, tính chất đặc trưng, $\in$ , $\notin$ . Bài này dùng đúng ngôn ngữ đó để gọi tên tập hợp quen thuộc nhất: tập hợp các số tự nhiên. Em cũng cần nhớ lại từ tiểu học cách đọc một số nhiều chữ số theo hàng đơn vị, chục, trăm, nghìn.

Hai bài trước đã cho em ngôn ngữ tập hợp — liệt kê, tính chất đặc trưng, $\in$, $\notin$. Bài này dùng đúng ngôn ngữ đó để gọi tên tập hợp quen thuộc nhất: tập hợp các số tự nhiên. Em cũng cần nhớ lại từ tiểu học cách đọc một số nhiều chữ số theo hàng đơn vị, chục, trăm, nghìn.

Khởi động

Số học sinh vắng mặt hôm nay của lớp có thể bằng 0 không? Có, một hôm cả lớp đi đầy đủ thì số vắng là 0. Còn số học sinh CÓ MẶT trong lớp thì sao — có thể bằng 0 được không? Không thể, vì lớp học luôn phải có ít nhất một bạn mới gọi là "có lớp". Hai câu hỏi tưởng giống nhau này thật ra đang phân biệt hai tập hợp số khác nhau mà em sắp học.

Kiến thức trọng tâm

Tập hợp các số tự nhiên, kí hiệu $\mathbb{N}$ , gồm $0, 1, 2, 3, \dots$ — vô hạn phần tử, nên viết bằng dấu ba chấm thay vì liệt kê hết: $\mathbb{N} = \{0;1;2;3;\dots\}$ . Tập hợp các số tự nhiên khác 0, kí hiệu $\mathbb{N}^*$ , gồm $1, 2, 3, \dots$ — chính là $\mathbb{N}$ nhưng bỏ đi phần tử 0. Số học sinh vắng mặt có thể là 0 nên thuộc $\mathbb{N}$ ; số học sinh có mặt của một lớp đang học thì không thể là 0 nên là một phần tử của $\mathbb{N}^*$ .

Tập hợp các số tự nhiên, kí hiệu $\mathbb{N}$, gồm $0, 1, 2, 3, \dots$ — vô hạn phần tử, nên viết bằng dấu ba chấm thay vì liệt kê hết: $\mathbb{N} = \{0;1;2;3;\dots\}$. Tập hợp các số tự nhiên khác 0, kí hiệu $\mathbb{N}^*$, gồm $1, 2, 3, \dots$ — chính là $\mathbb{N}$ nhưng bỏ đi phần tử 0. Số học sinh vắng mặt có thể là 0 nên thuộc $\mathbb{N}$; số học sinh có mặt của một lớp đang học thì không thể là 0 nên là một phần tử của $\mathbb{N}^*$.

Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân bằng các chữ số $0$ đến $9$ , và giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí (hàng) của nó: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, tính từ phải sang trái. Chẳng hạn số 4025 có 4 ở hàng nghìn, 0 ở hàng trăm, 2 ở hàng chục, 5 ở hàng đơn vị — nghĩa là $4025 = 4000 + 0 + 20 + 5$ .

Mỗi số tự nhiên viết trong hệ thập phân bằng các chữ số $0$ đến $9$, và giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí (hàng) của nó: hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, tính từ phải sang trái. Chẳng hạn số 4025 có 4 ở hàng nghìn, 0 ở hàng trăm, 2 ở hàng chục, 5 ở hàng đơn vị — nghĩa là $4025 = 4000 + 0 + 20 + 5$.

Tia số là một tia gốc 0, trên đó mỗi số tự nhiên ứng với đúng một điểm: khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn hai số tự nhiên liên tiếp luôn bằng nhau (gọi là một đơn vị độ dài), và chiều mũi tên của tia chỉ chiều các số tăng dần. Trên tia số, số nhỏ hơn luôn nằm bên trái số lớn hơn.

Muốn so sánh hai số tự nhiên: nếu chúng có số chữ số khác nhau, số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Nếu cùng số chữ số, so sánh từng cặp chữ số cùng hàng từ trái sang phải (hàng cao nhất trước) — gặp cặp chữ số đầu tiên khác nhau, số nào có chữ số ở hàng đó lớn hơn thì số đó lớn hơn. Chẳng hạn so sánh 4025 và 4052: cùng 4 chữ số, hàng nghìn bằng nhau ( $4=4$ ), hàng trăm bằng nhau ( $0=0$ ), đến hàng chục thì $2 < 5$ , nên $4025 < 4052$ — không cần so tiếp hàng đơn vị.

Muốn so sánh hai số tự nhiên: nếu chúng có số chữ số khác nhau, số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Nếu cùng số chữ số, so sánh từng cặp chữ số cùng hàng từ trái sang phải (hàng cao nhất trước) — gặp cặp chữ số đầu tiên khác nhau, số nào có chữ số ở hàng đó lớn hơn thì số đó lớn hơn. Chẳng hạn so sánh 4025 và 4052: cùng 4 chữ số, hàng nghìn bằng nhau ($4=4$), hàng trăm bằng nhau ($0=0$), đến hàng chục thì $2 < 5$, nên $4025 < 4052$ — không cần so tiếp hàng đơn vị.

Ba điểm 0, 3, 5 trên tia số — số nào ở bên trái thì nhỏ hơn.

Số 4025: hàng nghìn 4, hàng trăm 0, hàng chục 2, hàng đơn vị 5.

Số 4052: hàng nghìn 4, hàng trăm 0, hàng chục 5, hàng đơn vị 2 — hàng chục 5 > 2 nên 4052 > 4025.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Biểu diễn số tự nhiên trên tia số

1
Biểu diễn ba số tự nhiên 0, 3 và 5 trên một tia số chung.
2
Chọn điểm gốc là 0, và một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị độ dài — gọi đoạn đó có độ dài 1.
3
Điểm biểu diễn số 3 cách gốc 0 đúng 3 đơn vị độ dài theo chiều mũi tên; điểm biểu diễn số 5 cách gốc 0 đúng 5 đơn vị độ dài.
4
Vậy trên tia số, ba điểm 0, 3, 5 nằm theo đúng thứ tự từ trái sang phải, cách đều nhau theo từng đơn vị độ dài.

Ví dụ

So sánh hai số tự nhiên nhiều chữ số

1
So sánh hai số tự nhiên bốn chữ số 4025 và 4052.
2
Cả hai số đều có 4 chữ số, nên chưa thể kết luận ngay — phải so sánh từng hàng.
3
Hàng nghìn: $4 = 4$ . Hàng trăm: $0 = 0$ . Hàng chục: $2 < 5$ — đây là cặp chữ số đầu tiên khác nhau.
Hàng nghìn: $4 = 4$. Hàng trăm: $0 = 0$. Hàng chục: $2 < 5$ — đây là cặp chữ số đầu tiên khác nhau.
4
Vậy $4025 < 4052$ , vì tại hàng chục — hàng cao nhất mà hai số khác nhau — chữ số của 4025 nhỏ hơn.
Vậy $4025 < 4052$, vì tại hàng chục — hàng cao nhất mà hai số khác nhau — chữ số của 4025 nhỏ hơn.

Ví dụ

Sắp xếp dãy số và tìm số liền trước, liền sau (dạng thi)

1
Cho các số 3287, 3278, 3299, 3199. Sắp xếp các số này theo thứ tự tăng dần, rồi tìm số liền trước và số liền sau của số lớn nhất trong dãy.
2
Cả bốn số đều có 4 chữ số. Số 3199 có hàng trăm là 1, nhỏ nhất trong bốn số nên nhỏ nhất. Ba số còn lại đều có hàng trăm là 2; trong đó 3278 và 3287 có hàng chục 7 < 3299 có hàng chục 9, và giữa 3278, 3287 thì hàng đơn vị $8 > 7$ .
Cả bốn số đều có 4 chữ số. Số 3199 có hàng trăm là 1, nhỏ nhất trong bốn số nên nhỏ nhất. Ba số còn lại đều có hàng trăm là 2; trong đó 3278 và 3287 có hàng chục 7 < 3299 có hàng chục 9, và giữa 3278, 3287 thì hàng đơn vị $8 > 7$.
3
Thứ tự tăng dần là: $3199 < 3278 < 3287 < 3299$ .
Thứ tự tăng dần là: $3199 < 3278 < 3287 < 3299$.
4
Số lớn nhất là 3299. Số liền trước là $3299 - 1 = 3298$ ; số liền sau là $3299 + 1 = 3300$ .
Số lớn nhất là 3299. Số liền trước là $3299 - 1 = 3298$; số liền sau là $3299 + 1 = 3300$.
5
Vậy dãy tăng dần là $3199 < 3278 < 3287 < 3299$ , và số 3299 có số liền trước là 3298, số liền sau là 3300.
Vậy dãy tăng dần là $3199 < 3278 < 3287 < 3299$, và số 3299 có số liền trước là 3298, số liền sau là 3300.

Ví dụ

Kết hợp tập hợp và tia số để tìm một khoảng giá trị (dạng thi)

1
Tìm tất cả $x \in \mathbb{N}$ sao cho $5 \le x < 9$ . Viết tập hợp các giá trị $x$ tìm được, rồi mô tả vị trí của chúng trên tia số.
Tìm tất cả $x \in \mathbb{N}$ sao cho $5 \le x < 9$. Viết tập hợp các giá trị $x$ tìm được, rồi mô tả vị trí của chúng trên tia số.
2
$x$ phải là số tự nhiên, không nhỏ hơn 5 và nhỏ hơn 9. Các số thỏa mãn là 5, 6, 7, 8 (số 9 bị loại vì $x < 9$ không cho phép $x = 9$ ).
$x$ phải là số tự nhiên, không nhỏ hơn 5 và nhỏ hơn 9. Các số thỏa mãn là 5, 6, 7, 8 (số 9 bị loại vì $x < 9$ không cho phép $x = 9$).
3
Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $x$ tìm được: $S = \{5;6;7;8\}$ .
Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $x$ tìm được: $S = \{5;6;7;8\}$.
4
Bốn điểm 5, 6, 7, 8 nằm liên tiếp nhau trên tia số, tạo thành một đoạn liền từ điểm 5 đến điểm 8.
5
Vậy $S = \{5;6;7;8\}$ , có 4 phần tử, và trên tia số chúng là bốn điểm liên tiếp từ 5 đến 8.
Vậy $S = \{5;6;7;8\}$, có 4 phần tử, và trên tia số chúng là bốn điểm liên tiếp từ 5 đến 8.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi so sánh hai số nhiều chữ số, nhiều bạn chỉ nhìn chữ số đầu tiên rồi kết luận vội, quên rằng phải so sánh LẦN LƯỢT từng hàng từ trái sang phải cho đến khi gặp cặp chữ số khác nhau đầu tiên — như 4025 và 4052 phải so đến tận hàng chục mới phân biệt được. Một lỗi khác là quên tập $\mathbb{N}$ có số 0, dẫn đến đếm thiếu 1 phần tử khi liệt kê một khoảng số tự nhiên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$\mathbb{N} = \{0;1;2;\dots\}$ ; $\mathbb{N}^* = \mathbb{N}$ bỏ đi số 0. Mỗi chữ số của một số tự nhiên có giá trị theo hàng của nó. Trên tia số, số nhỏ hơn nằm bên trái. So sánh số nhiều chữ số bằng cách so từng hàng từ trái sang phải cho tới cặp chữ số khác nhau đầu tiên.

$\mathbb{N} = \{0;1;2;\dots\}$; $\mathbb{N}^* = \mathbb{N}$ bỏ đi số 0. Mỗi chữ số của một số tự nhiên có giá trị theo hàng của nó. Trên tia số, số nhỏ hơn nằm bên trái. So sánh số nhiều chữ số bằng cách so từng hàng từ trái sang phải cho tới cặp chữ số khác nhau đầu tiên.

Bài sau chuyển từ so sánh sang tính toán với số tự nhiên: cộng, trừ, nhân, chia, và một quy tắc quan trọng quyết định phép tính nào làm trước khi một biểu thức có nhiều phép tính trộn lẫn.