Bài học

Đa thức nhiều biến — Thu gọn, cộng và trừ

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em thu gọn được một đa thức nhiều biến bằng cách cộng, trừ các hạng tử đồng dạng, và thực hiện đúng phép cộng, trừ hai đa thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng trực tiếp hai kỹ năng vừa học: thu gọn đơn thức và bậc, và cộng trừ đơn thức đồng dạng. Nếu em còn chưa chắc cách nhận diện hai đơn thức đồng dạng, nên xem lại bài trước rồi mới học tiếp bài này.

Khởi động

Biểu thức $2x^2y-3xy+x^2y+5xy-1$ có phải là một đơn thức không? Không — đây là một TỔNG của nhiều đơn thức ( $2x^2y$ , $-3xy$ , $x^2y$ , $5xy$ , $-1$ ), nối với nhau bằng dấu cộng, trừ. Một tổng như vậy được gọi là đa thức.

Biểu thức $2x^2y-3xy+x^2y+5xy-1$ có phải là một đơn thức không? Không — đây là một TỔNG của nhiều đơn thức ($2x^2y$, $-3xy$, $x^2y$, $5xy$, $-1$), nối với nhau bằng dấu cộng, trừ. Một tổng như vậy được gọi là đa thức.

Kiến thức trọng tâm

Đa thức nhiều biến là một tổng (hoặc hiệu) của các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đó gọi là một hạng tử của đa thức. Đa thức có thể có hai, ba, hoặc nhiều hạng tử hơn nữa.

Thu gọn một đa thức nghĩa là nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau rồi cộng, trừ chúng — đúng như cách cộng trừ đơn thức đồng dạng em vừa học. Các hạng tử không có hạng tử nào đồng dạng thì giữ nguyên trong kết quả.

Cộng hoặc trừ hai đa thức bắt đầu bằng việc bỏ dấu ngoặc. Nếu trước ngoặc là dấu cộng, mọi hạng tử bên trong giữ nguyên dấu. Nếu trước ngoặc là dấu trừ, mọi hạng tử bên trong phải ĐỔI DẤU — cộng thành trừ, trừ thành cộng — trước khi bỏ ngoặc.

Sau khi bỏ ngoặc, việc còn lại chỉ là nhóm các hạng tử đồng dạng và thu gọn — giống hệt bài trước. Kết quả cuối cùng nên viết theo một thứ tự nhất quán, chẳng hạn từ hạng tử có phần biến bậc cao nhất đến hạng tử tự do, để dễ so sánh và kiểm tra lại.

Đa thức nhiều biến chính là dạng tổng quát của rất nhiều công thức em sẽ gặp trong Vật lí, Hoá học và các bài toán thực tế — quãng đường, diện tích, chi phí đều có thể biểu diễn bằng một đa thức nhiều biến, và thu gọn nó trước khi tính giúp công việc đỡ cồng kềnh hơn nhiều.

Nếu một đa thức chỉ còn lại đúng một hạng tử sau khi thu gọn, nó thực chất là một đơn thức — đa thức và đơn thức không phải hai khái niệm tách biệt hoàn toàn, mà đơn thức là một trường hợp đặc biệt của đa thức, khi chỉ có một hạng tử duy nhất.

Một đa thức có thể có rất nhiều hạng tử ban đầu nhưng chỉ còn vài hạng tử sau khi thu gọn — đừng hoảng khi đề bài cho một biểu thức dài, hãy nhóm đúng và thu gọn từng bước, kết quả thường gọn hơn nhiều so với đề bài.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Thu gọn một đa thức nhiều biến

1
Thu gọn đa thức $2x^2y-3xy+x^2y+5xy-1$ .
Thu gọn đa thức $2x^2y-3xy+x^2y+5xy-1$.
2
Nhóm các hạng tử có phần biến $x^2y$ : $2x^2y+x^2y$ . Nhóm các hạng tử có phần biến $xy$ : $-3xy+5xy$ . Hạng tử tự do $-1$ giữ nguyên.
Nhóm các hạng tử có phần biến $x^2y$: $2x^2y+x^2y$. Nhóm các hạng tử có phần biến $xy$: $-3xy+5xy$. Hạng tử tự do $-1$ giữ nguyên.
3
Nhóm $x^2y$ : $2+1=3$ , được $3x^2y$ . Nhóm $xy$ : $-3+5=2$ , được $2xy$ .
Nhóm $x^2y$: $2+1=3$, được $3x^2y$. Nhóm $xy$: $-3+5=2$, được $2xy$.
4
Vậy $2x^2y-3xy+x^2y+5xy-1=3x^2y+2xy-1$ .
Vậy $2x^2y-3xy+x^2y+5xy-1=3x^2y+2xy-1$.

Ví dụ

Cộng hai đa thức nhiều biến

1
Tính $(3x^2y-2xy+1)+(x^2y+4xy-3)$ .
Tính $(3x^2y-2xy+1)+(x^2y+4xy-3)$.
2
Trước cả hai ngoặc đều là dấu cộng (ngoặc thứ nhất không có dấu đứng trước, coi như dấu cộng), nên mọi hạng tử giữ nguyên dấu khi bỏ ngoặc: $3x^2y-2xy+1+x^2y+4xy-3$ .
Trước cả hai ngoặc đều là dấu cộng (ngoặc thứ nhất không có dấu đứng trước, coi như dấu cộng), nên mọi hạng tử giữ nguyên dấu khi bỏ ngoặc: $3x^2y-2xy+1+x^2y+4xy-3$.
3
Nhóm $x^2y$ : $3+1=4$ . Nhóm $xy$ : $-2+4=2$ . Hạng tử tự do: $1-3=-2$ .
Nhóm $x^2y$: $3+1=4$. Nhóm $xy$: $-2+4=2$. Hạng tử tự do: $1-3=-2$.
4
Vậy $(3x^2y-2xy+1)+(x^2y+4xy-3)=4x^2y+2xy-2$ .
Vậy $(3x^2y-2xy+1)+(x^2y+4xy-3)=4x^2y+2xy-2$.

Ví dụ

Trừ hai đa thức rồi tính giá trị (dạng thi)

1
Tính $(5x^2y-3xy+2)-(2x^2y-5xy-4)$ , rồi tính giá trị của kết quả tại $x=1$ , $y=-2$ .
Tính $(5x^2y-3xy+2)-(2x^2y-5xy-4)$, rồi tính giá trị của kết quả tại $x=1$, $y=-2$.
2
Trước ngoặc thứ hai là dấu trừ, nên mọi hạng tử bên trong ngoặc phải đổi dấu: $5x^2y-3xy+2-2x^2y+5xy+4$ .
Trước ngoặc thứ hai là dấu trừ, nên mọi hạng tử bên trong ngoặc phải đổi dấu: $5x^2y-3xy+2-2x^2y+5xy+4$.
3
Nhóm $x^2y$ : $5-2=3$ . Nhóm $xy$ : $-3+5=2$ . Hạng tử tự do: $2+4=6$ . Kết quả rút gọn: $3x^2y+2xy+6$ .
Nhóm $x^2y$: $5-2=3$. Nhóm $xy$: $-3+5=2$. Hạng tử tự do: $2+4=6$. Kết quả rút gọn: $3x^2y+2xy+6$.
4
Thay $x=1$ , $y=-2$ : $x^2y=1\times(-2)=-2$ , nên $3x^2y=3\times(-2)=-6$ . Và $xy=1\times(-2)=-2$ , nên $2xy=2\times(-2)=-4$ . Cộng thêm $6$ : $-6+(-4)+6=-4$ .
Thay $x=1$, $y=-2$: $x^2y=1\times(-2)=-2$, nên $3x^2y=3\times(-2)=-6$. Và $xy=1\times(-2)=-2$, nên $2xy=2\times(-2)=-4$. Cộng thêm $6$: $-6+(-4)+6=-4$.
5
Vậy $(5x^2y-3xy+2)-(2x^2y-5xy-4)=3x^2y+2xy+6$ , và giá trị của biểu thức này tại $x=1$ , $y=-2$ là $-4$ .
Vậy $(5x^2y-3xy+2)-(2x^2y-5xy-4)=3x^2y+2xy+6$, và giá trị của biểu thức này tại $x=1$, $y=-2$ là $-4$.

Ba ví dụ trên đi từ thu gọn thuần tuý, đến cộng hai đa thức cùng dấu, đến trừ hai đa thức — dạng khó nhất vì cần đổi dấu. Nắm chắc cả ba dạng này là đủ để làm mọi bài cộng, trừ đa thức nhiều biến ở lớp 7. Thói quen viết kết quả theo một thứ tự cố định cũng giúp em dễ so sánh hai đa thức có bằng nhau hay không, một kỹ năng hữu ích khi kiểm tra lại bài làm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất khi trừ hai đa thức là quên đổi dấu các hạng tử trong ngoặc bị trừ. Với $(5x^2y-3xy+2)-(2x^2y-5xy-4)$ , nếu bỏ ngoặc mà giữ nguyên dấu của ngoặc thứ hai — không đổi $-5xy$ thành $+5xy$ , không đổi $-4$ thành $+4$ — kết quả sẽ sai hoàn toàn. Luôn nhớ: trước ngoặc có dấu trừ thì mọi hạng tử bên trong phải đổi dấu khi bỏ ngoặc. Một cách tự kiểm tra: viết lại phép trừ thành phép cộng với đa thức đối (đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ) trước khi bỏ ngoặc — cách này giúp em không bỏ sót hạng tử nào cần đổi dấu.

Sai lầm thường gặp nhất khi trừ hai đa thức là quên đổi dấu các hạng tử trong ngoặc bị trừ. Với $(5x^2y-3xy+2)-(2x^2y-5xy-4)$, nếu bỏ ngoặc mà giữ nguyên dấu của ngoặc thứ hai — không đổi $-5xy$ thành $+5xy$, không đổi $-4$ thành $+4$ — kết quả sẽ sai hoàn toàn. Luôn nhớ: trước ngoặc có dấu trừ thì mọi hạng tử bên trong phải đổi dấu khi bỏ ngoặc. Một cách tự kiểm tra: viết lại phép trừ thành phép cộng với đa thức đối (đổi dấu mọi hạng tử của đa thức bị trừ) trước khi bỏ ngoặc — cách này giúp em không bỏ sót hạng tử nào cần đổi dấu.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đa thức là tổng của nhiều đơn thức. Thu gọn đa thức: nhóm và cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Cộng, trừ hai đa thức: bỏ ngoặc (đổi dấu nếu trước ngoặc là dấu trừ), rồi nhóm và thu gọn.

Em đã có đủ công cụ để làm việc với biểu thức đại số, đơn thức và đa thức nhiều biến. Bài ôn tập cuối khoá sẽ phối hợp cả ba kỹ năng này trong những bài toán tổng hợp, đúng phong cách đề kiểm tra.