Bài học

Đơn thức đồng dạng — Cộng, trừ

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em nhận biết được hai đơn thức có đồng dạng với nhau hay không, và cộng, trừ đúng các đơn thức đồng dạng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại khái niệm đơn thức thu gọn và bậc của đơn thức vừa học. Em cần nhận diện chính xác phần biến của một đơn thức thu gọn — tức là toàn bộ phần chữ cùng số mũ, không tính hệ số — vì đây là điều kiện để hai đơn thức được gọi là đồng dạng.

Khởi động

Hai đơn thức $3x^2y$ và $-5x^2y$ có cùng phần biến $x^2y$ , chỉ khác hệ số. Chúng có cộng được với nhau không, và nếu cộng được thì kết quả là gì? Còn $3x^2y$ với $2xy^2$ thì sao — hai đơn thức này trông có vẻ giống nhau vì đều có $x$ và $y$ , nhưng phần biến của chúng có thật sự giống nhau không?

Hai đơn thức $3x^2y$ và $-5x^2y$ có cùng phần biến $x^2y$, chỉ khác hệ số. Chúng có cộng được với nhau không, và nếu cộng được thì kết quả là gì? Còn $3x^2y$ với $2xy^2$ thì sao — hai đơn thức này trông có vẻ giống nhau vì đều có $x$ và $y$, nhưng phần biến của chúng có thật sự giống nhau không?

Kiến thức trọng tâm

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức thu gọn có cùng phần biến — nghĩa là mỗi biến trong đơn thức này có cùng số mũ với biến tương ứng trong đơn thức kia. Hệ số có thể khác nhau, điều đó không ảnh hưởng đến việc chúng có đồng dạng hay không.

Để kiểm tra hai đơn thức có đồng dạng không, em so sánh phần biến của chúng thật kỹ, từng biến một, từng số mũ một. $3x^2y$ và $2xy^2$ KHÔNG đồng dạng, dù cả hai đều chứa $x$ và $y$ , vì số mũ của $x$ và của $y$ bị đảo ngược giữa hai đơn thức.

Để kiểm tra hai đơn thức có đồng dạng không, em so sánh phần biến của chúng thật kỹ, từng biến một, từng số mũ một. $3x^2y$ và $2xy^2$ KHÔNG đồng dạng, dù cả hai đều chứa $x$ và $y$, vì số mũ của $x$ và của $y$ bị đảo ngược giữa hai đơn thức.

Cộng hoặc trừ các đơn thức đồng dạng rất đơn giản: em chỉ cộng hoặc trừ các hệ số với nhau, còn phần biến giữ nguyên. Quy tắc này giống hệt việc cộng 3 quả cam với 5 quả cam được 8 quả cam — 'quả cam' đóng vai trò phần biến không đổi, chỉ số lượng (hệ số) thay đổi.

Nếu các đơn thức KHÔNG đồng dạng, em không được gộp chúng lại thành một đơn thức — phải giữ nguyên cả hai hạng tử, viết cạnh nhau bằng dấu cộng hoặc trừ. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với việc cộng, trừ những đơn thức đồng dạng.

Khả năng nhận diện đơn thức đồng dạng cũng chính là điều kiện để cộng, trừ đa thức ở bài sau — một đa thức có hàng chục hạng tử vẫn thu gọn được rất nhanh nếu em quét qua và nhóm đúng các đơn thức đồng dạng ngay từ đầu, thay vì cộng lần lượt từng cặp một cách rời rạc.

Nếu tổng hoặc hiệu các hệ số của một nhóm đồng dạng bằng 0, nhóm đó biến mất khỏi kết quả — đây không phải lỗi, mà là một kết quả đúng, thường gặp khi biểu thức được thiết kế để rút gọn 'đẹp'.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng, trừ ba đơn thức đồng dạng

1
Tính $3x^2y + 5x^2y - x^2y$ .
Tính $3x^2y + 5x^2y - x^2y$.
2
Cả ba đơn thức đều có phần biến $x^2y$ , nên chúng đồng dạng và có thể cộng trừ trực tiếp.
Cả ba đơn thức đều có phần biến $x^2y$, nên chúng đồng dạng và có thể cộng trừ trực tiếp.
3
Cộng, trừ các hệ số: $3+5-1=7$ .
Cộng, trừ các hệ số: $3+5-1=7$.
4
Vậy $3x^2y+5x^2y-x^2y=7x^2y$ .
Vậy $3x^2y+5x^2y-x^2y=7x^2y$.

Ví dụ

Tìm các đơn thức đồng dạng với một đơn thức cho trước

1
Trong các đơn thức $-5xy^2$ , $3x^2y$ , $7xy^2$ , $xy$ , đơn thức nào đồng dạng với $2xy^2$ ?
Trong các đơn thức $-5xy^2$, $3x^2y$, $7xy^2$, $xy$, đơn thức nào đồng dạng với $2xy^2$?
2
Phần biến của $2xy^2$ là $xy^2$ . So từng đơn thức: $-5xy^2$ có phần biến $xy^2$ — đồng dạng. $3x^2y$ có phần biến $x^2y$ , khác $xy^2$ — không đồng dạng. $7xy^2$ có phần biến $xy^2$ — đồng dạng. $xy$ có phần biến $xy$ , không có $y^2$ — không đồng dạng.
Phần biến của $2xy^2$ là $xy^2$. So từng đơn thức: $-5xy^2$ có phần biến $xy^2$ — đồng dạng. $3x^2y$ có phần biến $x^2y$, khác $xy^2$ — không đồng dạng. $7xy^2$ có phần biến $xy^2$ — đồng dạng. $xy$ có phần biến $xy$, không có $y^2$ — không đồng dạng.
3
Vậy hai đơn thức đồng dạng với $2xy^2$ là $-5xy^2$ và $7xy^2$ .
Vậy hai đơn thức đồng dạng với $2xy^2$ là $-5xy^2$ và $7xy^2$.

Ví dụ

Rút gọn tổng nhiều đơn thức rồi tính giá trị (dạng thi)

1
Rút gọn biểu thức $3x^2y-4xy^2+5x^2y+2xy^2-x^2y$ , rồi tính giá trị tại $x=2$ , $y=-1$ .
Rút gọn biểu thức $3x^2y-4xy^2+5x^2y+2xy^2-x^2y$, rồi tính giá trị tại $x=2$, $y=-1$.
2
Nhóm các đơn thức có phần biến $x^2y$ : $3x^2y+5x^2y-x^2y$ . Nhóm các đơn thức có phần biến $xy^2$ : $-4xy^2+2xy^2$ .
Nhóm các đơn thức có phần biến $x^2y$: $3x^2y+5x^2y-x^2y$. Nhóm các đơn thức có phần biến $xy^2$: $-4xy^2+2xy^2$.
3
Nhóm $x^2y$ : $3+5-1=7$ , được $7x^2y$ . Nhóm $xy^2$ : $-4+2=-2$ , được $-2xy^2$ . Biểu thức rút gọn là $7x^2y-2xy^2$ .
Nhóm $x^2y$: $3+5-1=7$, được $7x^2y$. Nhóm $xy^2$: $-4+2=-2$, được $-2xy^2$. Biểu thức rút gọn là $7x^2y-2xy^2$.
4
Thay $x=2$ , $y=-1$ : $x^2y=4\times(-1)=-4$ , nên $7x^2y=7\times(-4)=-28$ . Và $xy^2=2\times1=2$ , nên $-2xy^2=-2\times2=-4$ . Tổng: $-28+(-4)=-32$ .
Thay $x=2$, $y=-1$: $x^2y=4\times(-1)=-4$, nên $7x^2y=7\times(-4)=-28$. Và $xy^2=2\times1=2$, nên $-2xy^2=-2\times2=-4$. Tổng: $-28+(-4)=-32$.
5
Vậy biểu thức rút gọn là $7x^2y-2xy^2$ , và giá trị của nó tại $x=2$ , $y=-1$ là $-32$ .
Vậy biểu thức rút gọn là $7x^2y-2xy^2$, và giá trị của nó tại $x=2$, $y=-1$ là $-32$.

Bài toán trên cho thấy một biểu thức có thể chứa nhiều nhóm đơn thức đồng dạng khác nhau — em cần nhận diện đúng TỪNG nhóm trước khi cộng trừ, không được trộn hai nhóm khác phần biến với nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là cộng cả những đơn thức KHÔNG đồng dạng. Với $3x^2y+2xy^2$ , nhiều bạn vội gộp thành $5x^2y$ hoặc $5xy^2$ vì thấy 'đều có $x$ và $y$ ', nhưng phần biến $x^2y$ và $xy^2$ hoàn toàn khác nhau — số mũ của $x$ , $y$ bị đảo ngược — nên biểu thức này KHÔNG rút gọn được thêm nữa, phải giữ nguyên hai hạng tử. Một cách tự kiểm tra: sau khi rút gọn, số hạng tử trong kết quả không thể nhiều hơn số hạng tử ban đầu — nếu tăng lên, chắc chắn có bước tính sai.

Sai lầm phổ biến nhất là cộng cả những đơn thức KHÔNG đồng dạng. Với $3x^2y+2xy^2$, nhiều bạn vội gộp thành $5x^2y$ hoặc $5xy^2$ vì thấy 'đều có $x$ và $y$', nhưng phần biến $x^2y$ và $xy^2$ hoàn toàn khác nhau — số mũ của $x$, $y$ bị đảo ngược — nên biểu thức này KHÔNG rút gọn được thêm nữa, phải giữ nguyên hai hạng tử. Một cách tự kiểm tra: sau khi rút gọn, số hạng tử trong kết quả không thể nhiều hơn số hạng tử ban đầu — nếu tăng lên, chắc chắn có bước tính sai.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức thu gọn có cùng phần biến. Cộng, trừ đơn thức đồng dạng: cộng, trừ hệ số, giữ nguyên phần biến. Đơn thức không đồng dạng thì không được gộp lại. Khi có từ ba đơn thức đồng dạng trở lên, em có thể cộng, trừ chúng theo bất kỳ thứ tự nào, vì phép cộng trên các hệ số tuân theo đúng tính chất giao hoán và kết hợp đã học với số hữu tỉ.

Kỹ năng cộng trừ đơn thức đồng dạng vừa học chính là bước quan trọng nhất để làm việc với đa thức — một tổng nhiều đơn thức — ở bài tiếp theo.