Bài học

Cộng và trừ đa thức một biến

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em cộng và trừ được hai đa thức một biến bằng phương pháp cột dọc — sắp xếp mỗi đa thức, xếp thẳng cột theo từng bậc, rồi cộng hoặc trừ từng cột.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em cách sắp xếp một đa thức một biến theo lũy thừa giảm dần và đọc ra bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do. Bài này dùng đúng dạng sắp xếp đó làm bước chuẩn bị bắt buộc trước khi cộng hay trừ hai đa thức — một đa thức chưa sắp xếp rất dễ khiến em xếp nhầm cột.

Khởi động

Đội trồng cây A trồng được số cây theo tuần thứ $x$ là $A(x) = x^3 + 3x - 2$ (cây), đội B trồng được $B(x) = 2x^3 - x + 5$ (cây), cùng công thức áp dụng cho tuần đang xét. Muốn biết tổng số cây cả hai đội trồng, có phải cứ cộng ngẫu nhiên hạng tử nào gặp hạng tử đó không, hay cần một quy tắc rõ ràng hơn?

Kiến thức trọng tâm

Cộng hoặc trừ hai đa thức một biến bắt đầu bằng việc sắp xếp cả hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của $x$ , đúng như bài trước. Sau đó, em có hai cách trình bày: cộng theo hàng ngang (viết liền hai đa thức trong ngoặc rồi gộp hạng tử đồng dạng) hoặc cộng theo cột dọc (xếp các hạng tử cùng bậc thẳng hàng với nhau, giống cách em cộng hai số nhiều chữ số theo cột ở tiểu học).

Cộng hoặc trừ hai đa thức một biến bắt đầu bằng việc sắp xếp cả hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của $x$, đúng như bài trước. Sau đó, em có hai cách trình bày: cộng theo hàng ngang (viết liền hai đa thức trong ngoặc rồi gộp hạng tử đồng dạng) hoặc cộng theo cột dọc (xếp các hạng tử cùng bậc thẳng hàng với nhau, giống cách em cộng hai số nhiều chữ số theo cột ở tiểu học).

Cách cột dọc đặc biệt hữu ích khi một trong hai đa thức bị thiếu một bậc nào đó. Chẳng hạn nếu một đa thức không có hạng tử bậc 2, em coi như hạng tử đó có hệ số 0 và vẫn dành một cột riêng cho nó — nhờ vậy, mọi hạng tử luôn được cộng đúng với hạng tử cùng bậc, không bao giờ cộng nhầm hạng tử bậc 2 với hạng tử bậc 1.

Khi trừ hai đa thức, $A(x) - B(x)$ , bước bắt buộc đầu tiên là đổi dấu tất cả các hạng tử của $B(x)$ , không chỉ hạng tử đầu tiên — vì dấu trừ đứng trước cả ngoặc, áp dụng cho mọi hạng tử bên trong ngoặc đó. Sau khi đổi dấu, phép trừ trở thành một phép cộng bình thường, và em cộng theo cột như trên.

Khi trừ hai đa thức, $A(x) - B(x)$, bước bắt buộc đầu tiên là đổi dấu tất cả các hạng tử của $B(x)$, không chỉ hạng tử đầu tiên — vì dấu trừ đứng trước cả ngoặc, áp dụng cho mọi hạng tử bên trong ngoặc đó. Sau khi đổi dấu, phép trừ trở thành một phép cộng bình thường, và em cộng theo cột như trên.

Cách trình bày hàng ngang và cột dọc luôn cho cùng một kết quả — khác nhau chỉ ở cách sắp xếp phép tính trên giấy, không phải hai quy tắc khác nhau. Với đa thức ít hạng tử, hàng ngang thường nhanh hơn vì em không cần kẻ cột; với đa thức có bậc bị thiếu hoặc nhiều hạng tử, cột dọc an toàn hơn, vì mỗi bậc luôn có đúng một vị trí riêng để nhìn vào, khó bỏ sót.

Một cách kiểm tra nhanh sau khi cộng hoặc trừ xong: bậc của kết quả thường bằng bậc cao nhất trong hai đa thức ban đầu — trừ trường hợp đặc biệt hai hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu nhau, khi đó bậc kết quả thấp hơn hẳn. Nhận ra dấu hiệu này giúp em phát hiện sớm một phép cộng hoặc trừ bị tính sai, trước khi đi tiếp các bước sau.

Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp, giống hệt phép cộng số: $A(x)+B(x) = B(x)+A(x)$ , và thứ tự cộng nhiều đa thức không ảnh hưởng đến kết quả cuối. Nhưng phép trừ thì không giao hoán — $A(x)-B(x)$ và $B(x)-A(x)$ là hai đa thức đối nhau, khác nhau ở dấu của mọi hạng tử — nên thứ tự đặt hai đa thức trong phép trừ luôn phải giữ đúng như đề bài.

Phép cộng đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp, giống hệt phép cộng số: $A(x)+B(x) = B(x)+A(x)$, và thứ tự cộng nhiều đa thức không ảnh hưởng đến kết quả cuối. Nhưng phép trừ thì không giao hoán — $A(x)-B(x)$ và $B(x)-A(x)$ là hai đa thức đối nhau, khác nhau ở dấu của mọi hạng tử — nên thứ tự đặt hai đa thức trong phép trừ luôn phải giữ đúng như đề bài.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai đa thức một biến theo cột dọc

1
Tính $(2x^3 - x + 5) + (x^3 + 3x^2 - 2)$ bằng phương pháp cột dọc.
Tính $(2x^3 - x + 5) + (x^3 + 3x^2 - 2)$ bằng phương pháp cột dọc.
2
Đa thức thứ nhất thiếu hạng tử bậc 2, viết đủ là $2x^3 + 0x^2 - x + 5$ . Đa thức thứ hai thiếu hạng tử bậc 1, viết đủ là $x^3 + 3x^2 + 0x - 2$ .
Đa thức thứ nhất thiếu hạng tử bậc 2, viết đủ là $2x^3 + 0x^2 - x + 5$. Đa thức thứ hai thiếu hạng tử bậc 1, viết đủ là $x^3 + 3x^2 + 0x - 2$.
3
Cột bậc 3: $2x^3 + x^3 = 3x^3$ . Cột bậc 2: $0x^2 + 3x^2 = 3x^2$ . Cột bậc 1: $-x + 0x = -x$ . Cột bậc 0: $5 + (-2) = 3$ .
Cột bậc 3: $2x^3 + x^3 = 3x^3$. Cột bậc 2: $0x^2 + 3x^2 = 3x^2$. Cột bậc 1: $-x + 0x = -x$. Cột bậc 0: $5 + (-2) = 3$.
4
Vậy $(2x^3 - x + 5) + (x^3 + 3x^2 - 2) = 3x^3 + 3x^2 - x + 3$ .
Vậy $(2x^3 - x + 5) + (x^3 + 3x^2 - 2) = 3x^3 + 3x^2 - x + 3$.

Ví dụ

Trừ hai đa thức một biến — đổi dấu trước khi cộng cột

1
Tính $(4x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 5)$ .
Tính $(4x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 5)$.
2
Theo quy tắc dấu ngoặc, trừ cả một đa thức nghĩa là cộng với đa thức đối của nó: $-(x^2+2x-5) = -x^2 - 2x + 5$ .
Theo quy tắc dấu ngoặc, trừ cả một đa thức nghĩa là cộng với đa thức đối của nó: $-(x^2+2x-5) = -x^2 - 2x + 5$.
3
Cột bậc 2: $4x^2 - x^2 = 3x^2$ . Cột bậc 1: $-3x - 2x = -5x$ . Cột bậc 0: $1 + 5 = 6$ .
Cột bậc 2: $4x^2 - x^2 = 3x^2$. Cột bậc 1: $-3x - 2x = -5x$. Cột bậc 0: $1 + 5 = 6$.
4
Vậy $(4x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 5) = 3x^2 - 5x + 6$ .
Vậy $(4x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 2x - 5) = 3x^2 - 5x + 6$.

Ví dụ

Tìm đa thức còn thiếu trong một phép cộng (dạng thi)

1
Tìm đa thức $M(x)$ sao cho $M(x) + (x^2 - 3x + 1) = 2x^2 + 5x - 4$ .
Tìm đa thức $M(x)$ sao cho $M(x) + (x^2 - 3x + 1) = 2x^2 + 5x - 4$.
2
Muốn tìm $M(x)$ , ta suy ra $M(x) = (2x^2+5x-4) - (x^2-3x+1)$ — lấy tổng đã cho trừ đi số hạng đã biết.
Muốn tìm $M(x)$, ta suy ra $M(x) = (2x^2+5x-4) - (x^2-3x+1)$ — lấy tổng đã cho trừ đi số hạng đã biết.
3
Đổi dấu $(x^2-3x+1)$ thành $-x^2+3x-1$ . Cộng cột: bậc 2: $2x^2-x^2=x^2$ ; bậc 1: $5x+3x=8x$ ; bậc 0: $-4-1=-5$ .
Đổi dấu $(x^2-3x+1)$ thành $-x^2+3x-1$. Cộng cột: bậc 2: $2x^2-x^2=x^2$; bậc 1: $5x+3x=8x$; bậc 0: $-4-1=-5$.
4
Thay $M(x)=x^2+8x-5$ vào đề: $(x^2+8x-5)+(x^2-3x+1) = 2x^2+5x-4$ , đúng bằng vế phải ban đầu.
Thay $M(x)=x^2+8x-5$ vào đề: $(x^2+8x-5)+(x^2-3x+1) = 2x^2+5x-4$, đúng bằng vế phải ban đầu.
5
Vậy $M(x) = x^2 + 8x - 5$ .
Vậy $M(x) = x^2 + 8x - 5$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên của đa thức bị trừ, ví dụ tính $(4x^2-3x+1)-(x^2+2x-5)$ mà quên đổi dấu $-5$ thành $+5$ , dẫn đến hệ số tự do sai. Lỗi khác là cộng nhầm hai hạng tử khác bậc vì quên rằng một đa thức bị thiếu một bậc nào đó — luôn xếp cột theo đúng bậc, kể cả khi phải chèn hệ số 0.

Lỗi phổ biến nhất là chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên của đa thức bị trừ, ví dụ tính $(4x^2-3x+1)-(x^2+2x-5)$ mà quên đổi dấu $-5$ thành $+5$, dẫn đến hệ số tự do sai. Lỗi khác là cộng nhầm hai hạng tử khác bậc vì quên rằng một đa thức bị thiếu một bậc nào đó — luôn xếp cột theo đúng bậc, kể cả khi phải chèn hệ số 0.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Muốn cộng hoặc trừ hai đa thức một biến: sắp xếp cả hai theo lũy thừa giảm dần, xếp thẳng cột theo từng bậc (chèn 0 cho bậc thiếu), và nếu là phép trừ thì đổi dấu toàn bộ đa thức bị trừ trước khi cộng cột.

Bài tiếp theo chuyển từ cộng trừ sang nhân — nhân một đơn thức với một đa thức, rồi nhân hai đa thức với nhau, dùng mô hình diện tích hình chữ nhật để hình dung phép nhân này.