Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Đa thức một biến — Sắp xếp và bậc
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em thu gọn được một đa thức một biến (nếu còn hạng tử đồng dạng), sắp xếp nó theo lũy thừa giảm dần của biến, và đọc đúng ba con số quan trọng của nó: bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do.
Kiến thức nền cần nhớ
Ở Toán 7, em đã học đơn thức, đa thức nhiều biến, cách thu gọn một đa thức bằng cộng các đơn thức đồng dạng, và bậc của một đơn thức là tổng số mũ của các biến trong đơn thức đó. Bài này thu hẹp lại vào một trường hợp riêng — đa thức chỉ chứa một biến, thường gọi là biến $x$ — vì phần lớn các bài toán đa thức của Toán 7 làm việc trên loại đa thức này.
Khởi động
Cho biểu thức $P = 5x - 3x^3 + 2 - x^2$. Các số mũ trong $P$ xuất hiện không theo thứ tự nào cả: 1, 3, 0, 2. Muốn nói chắc chắn bậc của $P$ là bao nhiêu và hệ số nào lớn nhất, mà không nhìn nhầm, em cần làm gì trước tiên?
Kiến thức trọng tâm
Đa thức một biến là đa thức mà mọi hạng tử chỉ chứa đúng một biến, thường kí hiệu là $x$. Mỗi hạng tử có dạng $ax^n$ với $a$ là một số (hệ số) và $n$ là một số tự nhiên (số mũ của $x$). Đa thức $4x^3 - 2x + 5$ là đa thức một biến, còn $3x^2y - xy$ có mặt cả biến $x$ lẫn $y$ nên không phải đa thức một biến.
Trước khi làm bất cứ điều gì với một đa thức một biến, em luôn thu gọn nó trước — cộng các hạng tử đồng dạng, tức những hạng tử có cùng số mũ của $x$, lại với nhau. Đa thức $Q = 2x^2 + 5x - 3x^2 + 7 - x + 4x^3$ có hai hạng tử bậc 2 ($2x^2$ và $-3x^2$) và hai hạng tử bậc 1 ($5x$ và $-x$); gộp chúng lại, $Q$ chỉ còn bốn hạng tử với bốn số mũ khác nhau.
Sau khi thu gọn, đa thức đã sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của $x$ khi các hạng tử được viết theo thứ tự số mũ giảm dần, từ lớn nhất đến nhỏ nhất — hạng tử không chứa $x$ (số mũ 0) viết cuối cùng. Đây là cách trình bày chuẩn của một đa thức một biến, giúp em nhìn ra ngay bậc và các hệ số mà không phải dò lại toàn bộ biểu thức.
Khi đa thức đã thu gọn và sắp xếp, bậc của đa thức là số mũ lớn nhất còn xuất hiện với hệ số khác 0. Hệ số của hạng tử bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất; hạng tử không chứa $x$ — nếu có — gọi là hệ số tự do (nếu đa thức không có hạng tử hằng, hệ số tự do coi là 0). Ba con số này — bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do — là điều đầu tiên một đề bài về đa thức một biến thường hỏi, nên luôn thu gọn và sắp xếp trước khi đọc chúng ra.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Thu gọn và sắp xếp một đa thức một biến
1
Thu gọn và sắp xếp đa thức $Q = 2x^2 + 5x - 3x^2 + 7 - x + 4x^3$ theo lũy thừa giảm dần của $x$, sau đó xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do.
2
Ta gộp các hạng tử đồng dạng: hai hạng tử bậc 2 là $2x^2 - 3x^2 = -x^2$; hai hạng tử bậc 1 là $5x - x = 4x$. Đa thức còn lại là $Q = 4x^3 - x^2 + 4x + 7$.
3
Bốn hạng tử của $Q$ đã có số mũ $3, 2, 1, 0$ giảm dần đúng thứ tự viết, nên $Q = 4x^3 - x^2 + 4x + 7$ đã ở dạng sắp xếp chuẩn.
4
Số mũ lớn nhất còn hệ số khác 0 là 3, nên bậc của $Q$ bằng 3. Hệ số của hạng tử bậc 3 là 4, nên hệ số cao nhất là 4. Hạng tử không chứa $x$ là 7, nên hệ số tự do là 7.
5
Vậy $Q = 4x^3 - x^2 + 4x + 7$, có bậc 3, hệ số cao nhất bằng 4 và hệ số tự do bằng 7.
Ví dụ
Đọc bậc và hệ số của một đa thức đã sắp xếp
1
Cho đa thức $R = -2x^4 + x - 7$. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của $R$.
2
Các số mũ xuất hiện trong $R$ là $4, 1, 0$, đã giảm dần đúng thứ tự viết nên $R$ không cần sắp xếp lại.
3
Số mũ lớn nhất là 4 nên bậc của $R$ bằng 4. Hệ số của hạng tử $-2x^4$ là $-2$, nên hệ số cao nhất là $-2$ — hệ số cao nhất hoàn toàn có thể âm, nó chỉ đơn giản là hệ số đi kèm hạng tử bậc cao nhất. Hạng tử không chứa $x$ là $-7$, nên hệ số tự do là $-7$.
4
Vậy $R$ có bậc 4, hệ số cao nhất bằng $-2$, hệ số tự do bằng $-7$.
Ví dụ
Bài toán hai phần: thu gọn rồi đọc bậc (dạng thi)
1
Cho đa thức $S = 3 - 2x + x^2 - 5x^2 + x^3$. a) Thu gọn và sắp xếp $S$ theo lũy thừa giảm dần của $x$. b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của $S$.
2
Hai hạng tử bậc 2 là $x^2 - 5x^2 = -4x^2$; hạng tử bậc 3 và bậc 1 mỗi loại chỉ có một hạng tử nên giữ nguyên. Đa thức thu gọn còn lại là $S = x^3 - 4x^2 - 2x + 3$.
3
Các số mũ $3, 2, 1, 0$ đã giảm dần đúng thứ tự viết, nên $S = x^3 - 4x^2 - 2x + 3$ là dạng sắp xếp cần tìm.
4
Số mũ lớn nhất là 3, nên bậc của $S$ bằng 3. Hệ số của hạng tử bậc 3 là 1 (vì $x^3$ nghĩa là $1 \cdot x^3$), nên hệ số cao nhất là 1. Hạng tử không chứa $x$ là 3, nên hệ số tự do là 3.
5
Vậy sau khi thu gọn, $S = x^3 - 4x^2 - 2x + 3$, có bậc 3, hệ số cao nhất bằng 1 và hệ số tự do bằng 3.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Nhiều bạn đọc bậc ngay trên đề bài chưa thu gọn, dẫn đến nhầm lẫn khi có hạng tử triệt tiêu nhau như $5x^3 - 5x^3$ — luôn thu gọn trước. Một lỗi khác là nhầm bậc của đa thức với số hạng tử của nó: đa thức $4x^3-x^2+4x+7$ có 4 hạng tử nhưng bậc chỉ là 3. Cũng có bạn quên rằng đa thức không có hạng tử hằng thì hệ số tự do bằng 0, chứ không phải bỏ trống không tính.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Đa thức một biến chỉ chứa một biến $x$. Trước khi đọc bậc hay hệ số, luôn thu gọn (gộp hạng tử đồng dạng) rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần. Bậc là số mũ lớn nhất còn hệ số khác 0; hệ số cao nhất đi với hạng tử bậc cao nhất; hệ số tự do là hạng tử không chứa $x$.
Bài tiếp theo dùng chính dạng sắp xếp này để cộng và trừ hai đa thức một biến theo cột dọc — mỗi cột ứng với một bậc.
Ở Toán 7, em đã học đơn thức, đa thức nhiều biến, cách thu gọn một đa thức bằng cộng các đơn thức đồng dạng, và bậc của một đơn thức là tổng số mũ của các biến trong đơn thức đó. Bài này thu hẹp lại vào một trường hợp riêng — đa thức chỉ chứa một biến, thường gọi là biến x — vì phần lớn các bài toán đa thức của Toán 7 làm việc trên loại đa thức này.
Cho biểu thức P=5x−3x3+2−x2. Các số mũ trong P xuất hiện không theo thứ tự nào cả: 1, 3, 0, 2. Muốn nói chắc chắn bậc của P là bao nhiêu và hệ số nào lớn nhất, mà không nhìn nhầm, em cần làm gì trước tiên?
Đa thức một biến là đa thức mà mọi hạng tử chỉ chứa đúng một biến, thường kí hiệu là x. Mỗi hạng tử có dạng axn với a là một số (hệ số) và n là một số tự nhiên (số mũ của x). Đa thức 4x3−2x+5 là đa thức một biến, còn 3x2y−xy có mặt cả biến x lẫn y nên không phải đa thức một biến.
Trước khi làm bất cứ điều gì với một đa thức một biến, em luôn thu gọn nó trước — cộng các hạng tử đồng dạng, tức những hạng tử có cùng số mũ của x, lại với nhau. Đa thức Q=2x2+5x−3x2+7−x+4x3 có hai hạng tử bậc 2 (2x2 và −3x2) và hai hạng tử bậc 1 (5x và −x); gộp chúng lại, Q chỉ còn bốn hạng tử với bốn số mũ khác nhau.
Sau khi thu gọn, đa thức đã sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của x khi các hạng tử được viết theo thứ tự số mũ giảm dần, từ lớn nhất đến nhỏ nhất — hạng tử không chứa x (số mũ 0) viết cuối cùng. Đây là cách trình bày chuẩn của một đa thức một biến, giúp em nhìn ra ngay bậc và các hệ số mà không phải dò lại toàn bộ biểu thức.
Khi đa thức đã thu gọn và sắp xếp, bậc của đa thức là số mũ lớn nhất còn xuất hiện với hệ số khác 0. Hệ số của hạng tử bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất; hạng tử không chứa x — nếu có — gọi là hệ số tự do (nếu đa thức không có hạng tử hằng, hệ số tự do coi là 0). Ba con số này — bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do — là điều đầu tiên một đề bài về đa thức một biến thường hỏi, nên luôn thu gọn và sắp xếp trước khi đọc chúng ra.
Thu gọn và sắp xếp đa thức Q=2x2+5x−3x2+7−x+4x3 theo lũy thừa giảm dần của x, sau đó xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do.
Ta gộp các hạng tử đồng dạng: hai hạng tử bậc 2 là 2x2−3x2=−x2; hai hạng tử bậc 1 là 5x−x=4x. Đa thức còn lại là Q=4x3−x2+4x+7.
Bốn hạng tử của Q đã có số mũ 3,2,1,0 giảm dần đúng thứ tự viết, nên Q=4x3−x2+4x+7 đã ở dạng sắp xếp chuẩn.
Số mũ lớn nhất còn hệ số khác 0 là 3, nên bậc của Q bằng 3. Hệ số của hạng tử bậc 3 là 4, nên hệ số cao nhất là 4. Hạng tử không chứa x là 7, nên hệ số tự do là 7.
Vậy Q=4x3−x2+4x+7, có bậc 3, hệ số cao nhất bằng 4 và hệ số tự do bằng 7.
Cho đa thức R=−2x4+x−7. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của R.
Các số mũ xuất hiện trong R là 4,1,0, đã giảm dần đúng thứ tự viết nên R không cần sắp xếp lại.
Số mũ lớn nhất là 4 nên bậc của R bằng 4. Hệ số của hạng tử −2x4 là −2, nên hệ số cao nhất là −2 — hệ số cao nhất hoàn toàn có thể âm, nó chỉ đơn giản là hệ số đi kèm hạng tử bậc cao nhất. Hạng tử không chứa x là −7, nên hệ số tự do là −7.
Vậy R có bậc 4, hệ số cao nhất bằng −2, hệ số tự do bằng −7.
Cho đa thức S=3−2x+x2−5x2+x3. a) Thu gọn và sắp xếp S theo lũy thừa giảm dần của x. b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của S.
Hai hạng tử bậc 2 là x2−5x2=−4x2; hạng tử bậc 3 và bậc 1 mỗi loại chỉ có một hạng tử nên giữ nguyên. Đa thức thu gọn còn lại là S=x3−4x2−2x+3.
Các số mũ 3,2,1,0 đã giảm dần đúng thứ tự viết, nên S=x3−4x2−2x+3 là dạng sắp xếp cần tìm.
Số mũ lớn nhất là 3, nên bậc của S bằng 3. Hệ số của hạng tử bậc 3 là 1 (vì x3 nghĩa là 1⋅x3), nên hệ số cao nhất là 1. Hạng tử không chứa x là 3, nên hệ số tự do là 3.
Vậy sau khi thu gọn, S=x3−4x2−2x+3, có bậc 3, hệ số cao nhất bằng 1 và hệ số tự do bằng 3.
Nhiều bạn đọc bậc ngay trên đề bài chưa thu gọn, dẫn đến nhầm lẫn khi có hạng tử triệt tiêu nhau như 5x3−5x3 — luôn thu gọn trước. Một lỗi khác là nhầm bậc của đa thức với số hạng tử của nó: đa thức 4x3−x2+4x+7 có 4 hạng tử nhưng bậc chỉ là 3. Cũng có bạn quên rằng đa thức không có hạng tử hằng thì hệ số tự do bằng 0, chứ không phải bỏ trống không tính.
Đa thức một biến chỉ chứa một biến x. Trước khi đọc bậc hay hệ số, luôn thu gọn (gộp hạng tử đồng dạng) rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần. Bậc là số mũ lớn nhất còn hệ số khác 0; hệ số cao nhất đi với hạng tử bậc cao nhất; hệ số tự do là hạng tử không chứa x.