Bài học

Nghiệm của đa thức một biến

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em kiểm tra được một số cho trước có phải là nghiệm của một đa thức hay không, tìm được nghiệm của đa thức bậc nhất, và biết một đa thức bậc hai có nhiều nhất hai nghiệm.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ cách tính giá trị của một biểu thức đại số khi thay một số cụ thể vào biến — kỹ năng đã học ở phần đầu chương trình đại số lớp 7 — vì kiểm tra nghiệm chính là thay số vào đa thức rồi tính giá trị.

Khởi động

Bạn Lan nói $x=2$ là nghiệm của đa thức $P(x) = x^2-3x+2$ chỉ vì số 2 xuất hiện ngay trong đề bài. Bạn Lan nói vậy có đúng không, hay phải làm một phép tính cụ thể mới khẳng định chắc chắn được?

Kiến thức trọng tâm

Số $a$ được gọi là một nghiệm của đa thức một biến $P(x)$ nếu thay $x=a$ vào $P(x)$ thì được kết quả bằng 0, viết là $P(a)=0$ . Nói cách khác, kiểm tra một số có phải nghiệm hay không chỉ đơn giản là thay số đó vào đa thức và tính giá trị — nếu kết quả bằng 0 thì đúng là nghiệm, nếu khác 0 thì không phải, bất kể số đó có xuất hiện ở đâu trong đề bài.

Số $a$ được gọi là một nghiệm của đa thức một biến $P(x)$ nếu thay $x=a$ vào $P(x)$ thì được kết quả bằng 0, viết là $P(a)=0$. Nói cách khác, kiểm tra một số có phải nghiệm hay không chỉ đơn giản là thay số đó vào đa thức và tính giá trị — nếu kết quả bằng 0 thì đúng là nghiệm, nếu khác 0 thì không phải, bất kể số đó có xuất hiện ở đâu trong đề bài.

Với đa thức bậc nhất $ax+b$ ( $a \ne 0$ ), phương trình $ax+b=0$ luôn có đúng một nghiệm $x=-\dfrac{b}{a}$ — vì $a \ne 0$ nên có thể chia cả hai vế cho $a$ . Chẳng hạn $2x-6=0$ cho $x=3$ .

Với đa thức bậc nhất $ax+b$ ($a \ne 0$), phương trình $ax+b=0$ luôn có đúng một nghiệm $x=-\dfrac{b}{a}$ — vì $a \ne 0$ nên có thể chia cả hai vế cho $a$. Chẳng hạn $2x-6=0$ cho $x=3$.

Với đa thức bậc hai, số nghiệm có thể là 0, 1 hoặc nhiều nhất 2 — không bao giờ nhiều hơn 2. Ở lớp 7, em kiểm tra từng số cho trước bằng cách thay vào và tính, chưa cần một công thức tổng quát để tự tìm nghiệm bậc hai.

Nghiệm của đa thức $P(x)$ còn có một ý nghĩa hình học: nếu vẽ đồ thị $y=P(x)$ trên mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của $P(x)$ chính là hoành độ của một điểm mà đồ thị đó cắt trục hoành $Ox$ — tại điểm đó, tung độ $y$ bằng 0, đúng bằng điều kiện $P(a)=0$ .

Nghiệm của một đa thức không nhất thiết là số nguyên hay số dương — có thể là số âm, số 0, hoặc một phân số. Việc kiểm tra vẫn giữ nguyên một quy tắc duy nhất: thay số đó vào đa thức và tính, xem kết quả có bằng 0 hay không. Không có mẹo nào thay thế được phép tính trực tiếp này.

Với một đa thức bậc cao hơn — bậc 3, bậc 4 — số nghiệm tối đa cũng tăng theo đúng bậc: một đa thức bậc $n$ có nhiều nhất $n$ nghiệm. Ở lớp 7, em chỉ cần nắm chắc hai trường hợp quen thuộc nhất — bậc nhất luôn có đúng một nghiệm, bậc hai có nhiều nhất hai nghiệm — hai kết quả này sẽ quay lại nhiều lần ở các lớp trên.

Kiểm tra nghiệm và tìm nghiệm là hai việc khác nhau. Kiểm tra nghiệm là xác nhận một số cho sẵn có phải nghiệm hay không — chỉ cần thay vào và tính. Tìm nghiệm là tự đi tìm số đó từ đầu — với đa thức bậc nhất, em giải phương trình $ax+b=0$ ; với đa thức bậc hai ở mức lớp 7, em thường chỉ kiểm tra các số nghi ngờ được cho sẵn, chưa tự giải ra nghiệm bậc hai từ đầu.

Kiểm tra nghiệm và tìm nghiệm là hai việc khác nhau. Kiểm tra nghiệm là xác nhận một số cho sẵn có phải nghiệm hay không — chỉ cần thay vào và tính. Tìm nghiệm là tự đi tìm số đó từ đầu — với đa thức bậc nhất, em giải phương trình $ax+b=0$; với đa thức bậc hai ở mức lớp 7, em thường chỉ kiểm tra các số nghi ngờ được cho sẵn, chưa tự giải ra nghiệm bậc hai từ đầu.

Một đa thức bậc hai cũng có thể không có nghiệm nào trong những số em đang học — nghĩa là không có số nào thay vào cho kết quả bằng 0. Trường hợp này không mâu thuẫn với tính chất nhiều nhất hai nghiệm: đó chỉ là biên dưới của khoảng từ 0 đến 2, không phải mọi đa thức bậc hai đều đạt đúng hai nghiệm.

Đồ thị

y=2x-6

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

x=3

— đúng bằng nghiệm tìm được bằng đại số.Đồ thị $y=2x-6$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=3$ — đúng bằng nghiệm tìm được bằng đại số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm tra một số có phải là nghiệm hay không

1
Kiểm tra xem $x=1$ và $x=2$ có phải là nghiệm của đa thức $P(x)=x^2-3x+2$ hay không.
Kiểm tra xem $x=1$ và $x=2$ có phải là nghiệm của đa thức $P(x)=x^2-3x+2$ hay không.
2
Thay $x=2$ : $P(2) = 2^2-3\cdot2+2 = 4-6+2 = 0$ . Vì $P(2)=0$ nên theo định nghĩa, $x=2$ là một nghiệm của $P(x)$ .
Thay $x=2$: $P(2) = 2^2-3\cdot2+2 = 4-6+2 = 0$. Vì $P(2)=0$ nên theo định nghĩa, $x=2$ là một nghiệm của $P(x)$.
3
Thay $x=1$ : $P(1) = 1^2-3\cdot1+2 = 1-3+2 = 0$ . Vì $P(1)=0$ nên $x=1$ cũng là một nghiệm của $P(x)$ .
Thay $x=1$: $P(1) = 1^2-3\cdot1+2 = 1-3+2 = 0$. Vì $P(1)=0$ nên $x=1$ cũng là một nghiệm của $P(x)$.
4
Vậy cả $x=1$ và $x=2$ đều là nghiệm của $P(x)=x^2-3x+2$ — đúng với tính chất một đa thức bậc hai có nhiều nhất hai nghiệm, và ở đây cả hai đều được thỏa.
Vậy cả $x=1$ và $x=2$ đều là nghiệm của $P(x)=x^2-3x+2$ — đúng với tính chất một đa thức bậc hai có nhiều nhất hai nghiệm, và ở đây cả hai đều được thỏa.

Ví dụ

Tìm nghiệm của một đa thức bậc nhất

1
Tìm nghiệm của đa thức bậc nhất $Q(x) = 3x+9$ .
Tìm nghiệm của đa thức bậc nhất $Q(x) = 3x+9$.
2
Theo định nghĩa, nghiệm là giá trị của $x$ làm $Q(x)=0$ , tức $3x+9=0$ .
Theo định nghĩa, nghiệm là giá trị của $x$ làm $Q(x)=0$, tức $3x+9=0$.
3
Suy ra $3x=-9$ , do đó $x=-3$ .
Suy ra $3x=-9$, do đó $x=-3$.
4
Thay $x=-3$ vào $Q(x)$ : $Q(-3)=3\cdot(-3)+9=-9+9=0$ , đúng.
Thay $x=-3$ vào $Q(x)$: $Q(-3)=3\cdot(-3)+9=-9+9=0$, đúng.
5
Vậy đa thức $Q(x)=3x+9$ có nghiệm duy nhất $x=-3$ .
Vậy đa thức $Q(x)=3x+9$ có nghiệm duy nhất $x=-3$.

Ví dụ

Bài toán tìm thời điểm bằng 0 (dạng thi)

1
Một vận động viên còn cách đích $d(x) = 120-8x$ (mét) sau $x$ phút chạy với vận tốc không đổi ( $x \ge 0$ ). Tìm thời điểm vận động viên chạm đích, tức tìm nghiệm của $d(x)$ , và cho biết nghiệm này ứng với điểm nào trên đồ thị của $d(x)$ .
Một vận động viên còn cách đích $d(x) = 120-8x$ (mét) sau $x$ phút chạy với vận tốc không đổi ($x \ge 0$). Tìm thời điểm vận động viên chạm đích, tức tìm nghiệm của $d(x)$, và cho biết nghiệm này ứng với điểm nào trên đồ thị của $d(x)$.
2
Vận động viên chạm đích khi khoảng cách còn lại bằng 0, tức $120-8x=0$ .
Vận động viên chạm đích khi khoảng cách còn lại bằng 0, tức $120-8x=0$.
3
Suy ra $8x=120$ , do đó $x=15$ .
Suy ra $8x=120$, do đó $x=15$.
4
Thay $x=15$ : $d(15)=120-8\cdot15=120-120=0$ , đúng, và $x=15\ge0$ thỏa điều kiện đề bài.
Thay $x=15$: $d(15)=120-8\cdot15=120-120=0$, đúng, và $x=15\ge0$ thỏa điều kiện đề bài.
5
Vậy vận động viên chạm đích sau $15$ phút; nghiệm $x=15$ chính là hoành độ điểm mà đồ thị của $d(x)$ cắt trục hoành, tức lúc khoảng cách còn lại bằng 0.
Vậy vận động viên chạm đích sau $15$ phút; nghiệm $x=15$ chính là hoành độ điểm mà đồ thị của $d(x)$ cắt trục hoành, tức lúc khoảng cách còn lại bằng 0.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến là nghĩ một số có mặt trong đề bài đương nhiên là nghiệm, như bạn Lan ở đầu bài — nghiệm phải được kiểm chứng bằng phép tính $P(a)=0$ , không suy đoán. Lỗi khác là cho rằng mọi đa thức bậc hai đều có đúng 2 nghiệm; thật ra số nghiệm có thể là 0, 1 hoặc 2, chỉ chắc chắn không vượt quá 2.

Lỗi phổ biến là nghĩ một số có mặt trong đề bài đương nhiên là nghiệm, như bạn Lan ở đầu bài — nghiệm phải được kiểm chứng bằng phép tính $P(a)=0$, không suy đoán. Lỗi khác là cho rằng mọi đa thức bậc hai đều có đúng 2 nghiệm; thật ra số nghiệm có thể là 0, 1 hoặc 2, chỉ chắc chắn không vượt quá 2.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$x=a$ là nghiệm của $P(x)$ khi $P(a)=0$ . Đa thức bậc nhất $ax+b$ ( $a\ne0$ ) có đúng một nghiệm $x=-\dfrac{b}{a}$ . Đa thức bậc hai có nhiều nhất hai nghiệm. Trên đồ thị $y=P(x)$ , mỗi nghiệm là hoành độ điểm cắt trục hoành.

$x=a$ là nghiệm của $P(x)$ khi $P(a)=0$. Đa thức bậc nhất $ax+b$ ($a\ne0$) có đúng một nghiệm $x=-\dfrac{b}{a}$. Đa thức bậc hai có nhiều nhất hai nghiệm. Trên đồ thị $y=P(x)$, mỗi nghiệm là hoành độ điểm cắt trục hoành.

Bài ôn tập cuối phần kết hợp cả năm kỹ năng — sắp xếp, cộng trừ, nhân, chia cho đơn thức, và tìm nghiệm — trong những bài toán tổng hợp đúng phong cách một đề kiểm tra.