Bài học

Giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một bài toán tỉ lệ nghịch trọn vẹn: tìm một giá trị còn thiếu khi biết một cặp giá trị tương ứng, và chia một tổng cho nhiều phần theo tỉ lệ nghịch — nghĩa là chia theo tỉ lệ thuận với các nghịch đảo.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em công thức $xy = a$ và cách tìm $a = x \times y$ . Bài này còn dùng lại kĩ thuật chia theo dãy tỉ số bằng nhau của Chương 2, chỉ khác ở chỗ tỉ lệ cho trước phải đổi sang nghịch đảo trước khi đặt ẩn.

Bài trước cho em công thức $xy = a$ và cách tìm $a = x \times y$. Bài này còn dùng lại kĩ thuật chia theo dãy tỉ số bằng nhau của Chương 2, chỉ khác ở chỗ tỉ lệ cho trước phải đổi sang nghịch đảo trước khi đặt ẩn.

Khởi động

Ba đội thi công cùng nhận một công trình, nhưng nếu làm một mình, đội càng nhanh (số ngày càng ít) thì càng cần ít người. Muốn chia đúng số công nhân từng đội theo tốc độ ấy, có phải cứ lấy số ngày nhân trực tiếp với tổng công nhân là được không, hay phải làm ngược lại?

Kiến thức trọng tâm

Bài toán tỉ lệ nghịch cho một cặp giá trị và hỏi giá trị còn lại: em tìm hằng số $a = x_1 y_1$ rồi tính $y_2 = \dfrac{a}{x_2}$ , hoặc dùng ngay đẳng thức $x_1 y_1 = x_2 y_2$ mà không cần viết riêng $a$ .

Bài toán tỉ lệ nghịch cho một cặp giá trị và hỏi giá trị còn lại: em tìm hằng số $a = x_1 y_1$ rồi tính $y_2 = \dfrac{a}{x_2}$, hoặc dùng ngay đẳng thức $x_1 y_1 = x_2 y_2$ mà không cần viết riêng $a$.

Bài toán chia một tổng theo tỉ lệ nghịch khó hơn một bước: nếu ba phần $a, b, c$ tỉ lệ nghịch với $m, n, p$ , ta KHÔNG đặt $\dfrac{a}{m}=\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{p}$ — đó là công thức của tỉ lệ thuận. Thay vào đó, $a, b, c$ tỉ lệ thuận với các nghịch đảo $\dfrac{1}{m}, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{p}$ , nên ta viết $\dfrac{a}{1/m} = \dfrac{b}{1/n} = \dfrac{c}{1/p}$ rồi áp dụng dãy tỉ số bằng nhau như bình thường.

Bài toán chia một tổng theo tỉ lệ nghịch khó hơn một bước: nếu ba phần $a, b, c$ tỉ lệ nghịch với $m, n, p$, ta KHÔNG đặt $\dfrac{a}{m}=\dfrac{b}{n}=\dfrac{c}{p}$ — đó là công thức của tỉ lệ thuận. Thay vào đó, $a, b, c$ tỉ lệ thuận với các nghịch đảo $\dfrac{1}{m}, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{p}$, nên ta viết $\dfrac{a}{1/m} = \dfrac{b}{1/n} = \dfrac{c}{1/p}$ rồi áp dụng dãy tỉ số bằng nhau như bình thường.

Bước đổi sang nghịch đảo hay bị bỏ quên nhất, nên em cần một cách kiểm tra nhanh: đại lượng nào có giá trị nhỏ nhất trong $m, n, p$ (ví dụ đội làm nhanh nhất, số ngày ít nhất) phải nhận PHẦN LỚN NHẤT trong tổng, chứ không phải phần nhỏ nhất như ở tỉ lệ thuận. Nếu kết quả tính ra đi ngược lại điều này — đội nhanh nhất lại nhận ít công nhân nhất — gần như chắc chắn em đã quên đổi sang nghịch đảo và tính nhầm sang công thức của tỉ lệ thuận.

4 \times 6 = 8 \times 3 = 24

(công nhân·ngày), đúng đặc trưng tỉ lệ nghịch.$4 \times 6 = 8 \times 3 = 24$ (công nhân·ngày), đúng đặc trưng tỉ lệ nghịch.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm giá trị còn thiếu từ một cặp giá trị đã biết

1
4 công nhân hoàn thành một công việc trong 6 ngày (cùng năng suất mỗi người). Hỏi 8 công nhân hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
2
Số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên $a = 4 \times 6 = 24$ (công nhân·ngày).
Số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên $a = 4 \times 6 = 24$ (công nhân·ngày).
3
Với 8 công nhân: số ngày $= \dfrac{24}{8} = 3$ .
Với 8 công nhân: số ngày $= \dfrac{24}{8} = 3$.
4
Vậy 8 công nhân hoàn thành công việc đó trong 3 ngày.

Ví dụ

Bài toán bơm nước bằng nhiều vòi

1
Một bể nước, dùng 2 vòi bơm (cùng công suất) thì đầy bể trong 9 giờ. Hỏi dùng 6 vòi thì đầy bể trong bao lâu?
2
$a = 2 \times 9 = 18$ (vòi·giờ).
$a = 2 \times 9 = 18$ (vòi·giờ).
3
Với 6 vòi: thời gian $= \dfrac{18}{6} = 3$ .
Với 6 vòi: thời gian $= \dfrac{18}{6} = 3$.
4
Vậy dùng 6 vòi thì đầy bể trong 3 giờ.

Ví dụ

Chia một tổng theo tỉ lệ nghịch (dạng thi)

1
Ba đội công nhân cùng hoàn thành một khối lượng công việc như nhau; nếu làm một mình, đội A cần 4 ngày, đội B cần 6 ngày, đội C cần 12 ngày. Biết số công nhân mỗi đội tỉ lệ nghịch với số ngày cần để một mình hoàn thành, và tổng số công nhân ba đội là 24 người. Tính số công nhân mỗi đội.
2
Gọi số công nhân ba đội là $a, b, c$ . Vì $a, b, c$ tỉ lệ nghịch với $4, 6, 12$ , nên $a, b, c$ tỉ lệ thuận với $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{12}$ .
Gọi số công nhân ba đội là $a, b, c$. Vì $a, b, c$ tỉ lệ nghịch với $4, 6, 12$, nên $a, b, c$ tỉ lệ thuận với $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{12}$.
3
Nhân cả ba nghịch đảo với 12 để có tỉ lệ nguyên: $\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{12} = 3:2:1$ .
Nhân cả ba nghịch đảo với 12 để có tỉ lệ nguyên: $\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{12} = 3:2:1$.
4
$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{1} = \dfrac{a+b+c}{3+2+1} = \dfrac{24}{6} = 4$ .
$\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{1} = \dfrac{a+b+c}{3+2+1} = \dfrac{24}{6} = 4$.
5
$a = 3\times4=12$ ; $b=2\times4=8$ ; $c=1\times4=4$ .
$a = 3\times4=12$; $b=2\times4=8$; $c=1\times4=4$.
6
Vậy đội A có 12 công nhân, đội B có 8 công nhân, đội C có 4 công nhân ( $12+8+4=24$ , đúng như đề cho).
Vậy đội A có 12 công nhân, đội B có 8 công nhân, đội C có 4 công nhân ($12+8+4=24$, đúng như đề cho).

Ví dụ

Bài toán tăng công nhân để rút ngắn thời gian (dạng thi)

1
Một tổ có 5 công nhân, mỗi người năng suất như nhau, dự kiến hoàn thành một đơn hàng trong 8 ngày. Muốn hoàn thành đơn hàng đó trong 4 ngày (giữ nguyên năng suất mỗi người), tổ cần bổ sung thêm bao nhiêu công nhân?
2
$a = 5 \times 8 = 40$ (người·ngày).
$a = 5 \times 8 = 40$ (người·ngày).
3
Với 4 ngày: số người $= \dfrac{40}{4} = 10$ .
Với 4 ngày: số người $= \dfrac{40}{4} = 10$.
4
Số công nhân cần thêm $= 10 - 5 = 5$ .
Số công nhân cần thêm $= 10 - 5 = 5$.
5
Vậy tổ cần bổ sung thêm 5 công nhân, nâng tổng số lên 10 người.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất khi chia một tổng theo tỉ lệ nghịch là quên đổi sang nghịch đảo — nhiều bạn đặt thẳng $\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{12}$ như tỉ lệ thuận, trong khi đúng ra phải dùng nghịch đảo $\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{12}$ rồi mới quy về tỉ lệ nguyên. Nhớ: số ngày càng ít thì số công nhân càng nhiều, không thể tỉ lệ thuận trực tiếp với số ngày được.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán tỉ lệ nghịch cho một cặp giá trị: tìm $a$ rồi thay số, hoặc dùng đẳng thức $x_1y_1=x_2y_2$ . Bài toán chia một tổng theo tỉ lệ nghịch: đổi tỉ lệ cho trước sang nghịch đảo, quy về tỉ lệ nguyên, rồi mới áp dụng dãy tỉ số bằng nhau như tỉ lệ thuận.

Bài toán tỉ lệ nghịch cho một cặp giá trị: tìm $a$ rồi thay số, hoặc dùng đẳng thức $x_1y_1=x_2y_2$. Bài toán chia một tổng theo tỉ lệ nghịch: đổi tỉ lệ cho trước sang nghịch đảo, quy về tỉ lệ nguyên, rồi mới áp dụng dãy tỉ số bằng nhau như tỉ lệ thuận.

Chương tiếp theo đặt hai mô hình y = kx và y = a/x cạnh nhau, để em luyện cách phân biệt nhanh một bài toán thuộc loại nào trước khi bắt tay vào giải.