Bài học

Phân biệt và vận dụng tổng hợp tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhìn vào một bảng số liệu hoặc một tình huống thực tế và xác định đúng đó là quan hệ tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, hay không phải quan hệ tỉ lệ nào cả — trước khi chọn công thức để giải.

Kiến thức nền cần nhớ

Bốn bài trước cho em hai công cụ: tỉ lệ thuận kiểm tra bằng tỉ số $\dfrac{y}{x}$ không đổi, tỉ lệ nghịch kiểm tra bằng tích $x \times y$ không đổi. Bài này không dạy công thức mới; nó dạy em bước quyết định đứng trước cả hai — bước mà một đề bài thực tế không bao giờ nói thẳng "đây là tỉ lệ thuận" hay "đây là tỉ lệ nghịch".

Khởi động

Mua kẹo: số kẹo mua càng nhiều thì số tiền phải trả càng lớn. Chia việc: số người làm càng nhiều thì thời gian hoàn thành càng ngắn. Cả hai đều là quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên cùng nhau, nhưng một quan hệ tăng-tăng, một quan hệ tăng-giảm — làm sao gọi tên đúng loại quan hệ mà không cần đoán?

Kiến thức trọng tâm

Đứng trước một bảng số liệu $x, y$ , em kiểm tra theo đúng thứ tự sau. Trước tiên tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cột: nếu tất cả bằng nhau, đó là tỉ lệ thuận, hệ số $k$ chính là tỉ số đó. Nếu tỉ số không giống nhau, tính tiếp tích $x \times y$ ở từng cột: nếu tất cả bằng nhau, đó là tỉ lệ nghịch, hằng số $a$ chính là tích đó. Nếu cả tỉ số lẫn tích đều không phải hằng số, quan hệ giữa $x$ và $y$ không thuộc một trong hai mô hình lớp 7 đang học.

Đứng trước một bảng số liệu $x, y$, em kiểm tra theo đúng thứ tự sau. Trước tiên tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cột: nếu tất cả bằng nhau, đó là tỉ lệ thuận, hệ số $k$ chính là tỉ số đó. Nếu tỉ số không giống nhau, tính tiếp tích $x \times y$ ở từng cột: nếu tất cả bằng nhau, đó là tỉ lệ nghịch, hằng số $a$ chính là tích đó. Nếu cả tỉ số lẫn tích đều không phải hằng số, quan hệ giữa $x$ và $y$ không thuộc một trong hai mô hình lớp 7 đang học.

Với một bài toán bằng lời, dấu hiệu nhận biết thường nằm ở đại lượng nào được giữ cố định. Nếu tổng công việc, khối lượng, hay quãng đường cố định, còn hai đại lượng kia là số người/vận tốc và thời gian, thì số người/vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian. Nếu đơn giá cố định (mỗi đơn vị luôn một mức giá, một mức năng suất như nhau), thì tổng số tiền hay tổng sản phẩm tỉ lệ thuận với số lượng.

Có những bài không thuộc loại nào cả, và nhận ra điều đó cũng là một kĩ năng cần luyện. Ví dụ tiền điện theo bậc thang (giá mỗi kWh tăng dần khi dùng nhiều hơn) hay chu vi và diện tích của cùng một hình vuông không phải tỉ lệ thuận với nhau, dù cả hai đều tăng khi cạnh hình vuông tăng — chu vi $P=4a$ tỉ lệ thuận với cạnh $a$ , nhưng diện tích $S=a^2$ thì không, vì tỉ số $\dfrac{S}{a} = a$ thay đổi theo $a$ chứ không phải một hằng số.

Có những bài không thuộc loại nào cả, và nhận ra điều đó cũng là một kĩ năng cần luyện. Ví dụ tiền điện theo bậc thang (giá mỗi kWh tăng dần khi dùng nhiều hơn) hay chu vi và diện tích của cùng một hình vuông không phải tỉ lệ thuận với nhau, dù cả hai đều tăng khi cạnh hình vuông tăng — chu vi $P=4a$ tỉ lệ thuận với cạnh $a$, nhưng diện tích $S=a^2$ thì không, vì tỉ số $\dfrac{S}{a} = a$ thay đổi theo $a$ chứ không phải một hằng số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhận diện tỉ lệ thuận từ bảng giá trị

1
Cho bảng $x: 1, 2, 4, 5$ tương ứng $y: 6, 12, 24, 30$ . Đây là quan hệ gì giữa $x$ và $y$ ?
Cho bảng $x: 1, 2, 4, 5$ tương ứng $y: 6, 12, 24, 30$. Đây là quan hệ gì giữa $x$ và $y$?
2
$\dfrac{6}{1}=6$ , $\dfrac{12}{2}=6$ , $\dfrac{24}{4}=6$ , $\dfrac{30}{5}=6$ — tất cả bằng 6.
$\dfrac{6}{1}=6$, $\dfrac{12}{2}=6$, $\dfrac{24}{4}=6$, $\dfrac{30}{5}=6$ — tất cả bằng 6.
3
Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = 6$ , tức $y = 6x$ .
Vậy $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = 6$, tức $y = 6x$.

Ví dụ

Nhận diện tỉ lệ nghịch từ bảng giá trị

1
Cho bảng $x: 1, 2, 4, 5$ tương ứng $y: 60, 30, 15, 12$ . Đây là quan hệ gì giữa $x$ và $y$ ?
Cho bảng $x: 1, 2, 4, 5$ tương ứng $y: 60, 30, 15, 12$. Đây là quan hệ gì giữa $x$ và $y$?
2
$\dfrac{60}{1}=60$ nhưng $\dfrac{30}{2}=15 \ne 60$ , nên tỉ số $y/x$ không phải hằng số — không phải tỉ lệ thuận.
$\dfrac{60}{1}=60$ nhưng $\dfrac{30}{2}=15 \ne 60$, nên tỉ số $y/x$ không phải hằng số — không phải tỉ lệ thuận.
3
$1\times60=60$ , $2\times30=60$ , $4\times15=60$ , $5\times12=60$ — tất cả bằng 60.
$1\times60=60$, $2\times30=60$, $4\times15=60$, $5\times12=60$ — tất cả bằng 60.
4
Vậy $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hằng số $a = 60$ , tức $y = \dfrac{60}{x}$ .
Vậy $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hằng số $a = 60$, tức $y = \dfrac{60}{x}$.

Ví dụ

Bài toán quãng đường — vận tốc kết hợp hai bước (dạng thi)

1
Một xe máy đi từ A đến B. Với vận tốc 40 km/h thì đi hết 3 giờ. Tính (a) quãng đường AB; (b) nếu đi với vận tốc 60 km/h thì hết bao lâu?
2
Quãng đường là tích vận tốc và thời gian: $AB = 40 \times 3 = 120$ (km).
Quãng đường là tích vận tốc và thời gian: $AB = 40 \times 3 = 120$ (km).
3
Với AB cố định, vận tốc $v$ và thời gian $t$ tỉ lệ nghịch ( $v \times t = 120$ không đổi).
Với AB cố định, vận tốc $v$ và thời gian $t$ tỉ lệ nghịch ($v \times t = 120$ không đổi).
4
Với $v=60$ : $t = \dfrac{120}{60} = 2$ (giờ).
Với $v=60$: $t = \dfrac{120}{60} = 2$ (giờ).
5
Vậy AB dài 120km, và đi với vận tốc 60 km/h thì hết 2 giờ.

Ví dụ

Phân biệt hai bảng số liệu cùng lúc (dạng thi)

1
Cho hai bảng: Bảng 1 — $x: 2, 4, 6$ tương ứng $y: 5, 10, 15$ ; Bảng 2 — $x: 2, 4, 6$ tương ứng $y: 12, 6, 4$ . Bảng nào thể hiện tỉ lệ thuận, bảng nào thể hiện tỉ lệ nghịch?
Cho hai bảng: Bảng 1 — $x: 2, 4, 6$ tương ứng $y: 5, 10, 15$; Bảng 2 — $x: 2, 4, 6$ tương ứng $y: 12, 6, 4$. Bảng nào thể hiện tỉ lệ thuận, bảng nào thể hiện tỉ lệ nghịch?
2
$\dfrac{5}{2}=2,5$ , $\dfrac{10}{4}=2,5$ , $\dfrac{15}{6}=2,5$ — tỉ số không đổi, nên Bảng 1 tỉ lệ thuận với $k = 2,5$ .
$\dfrac{5}{2}=2,5$, $\dfrac{10}{4}=2,5$, $\dfrac{15}{6}=2,5$ — tỉ số không đổi, nên Bảng 1 tỉ lệ thuận với $k = 2,5$.
3
$2\times12=24$ , $4\times6=24$ , $6\times4=24$ — tích không đổi, nên Bảng 2 tỉ lệ nghịch với $a = 24$ .
$2\times12=24$, $4\times6=24$, $6\times4=24$ — tích không đổi, nên Bảng 2 tỉ lệ nghịch với $a = 24$.
4
Vậy Bảng 1 thể hiện tỉ lệ thuận ( $k=2,5$ ), Bảng 2 thể hiện tỉ lệ nghịch ( $a=24$ ).
Vậy Bảng 1 thể hiện tỉ lệ thuận ($k=2,5$), Bảng 2 thể hiện tỉ lệ nghịch ($a=24$).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Chỉ thấy "cả hai cùng tăng" đã vội kết luận tỉ lệ thuận là một lỗi phổ biến — công thức $y=x+5$ hay $y=x^2$ cũng có $x, y$ cùng tăng nhưng không phải tỉ lệ thuận, vì tỉ số $y/x$ của chúng thay đổi theo $x$ . Tương tự, "một tăng một giảm" không tự động là tỉ lệ nghịch — phải kiểm tra thật sự tích $x \times y$ có không đổi hay không mới được kết luận.

Chỉ thấy "cả hai cùng tăng" đã vội kết luận tỉ lệ thuận là một lỗi phổ biến — công thức $y=x+5$ hay $y=x^2$ cũng có $x, y$ cùng tăng nhưng không phải tỉ lệ thuận, vì tỉ số $y/x$ của chúng thay đổi theo $x$. Tương tự, "một tăng một giảm" không tự động là tỉ lệ nghịch — phải kiểm tra thật sự tích $x \times y$ có không đổi hay không mới được kết luận.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Kiểm tra tỉ số $y/x$ trước — không đổi thì tỉ lệ thuận. Nếu không, kiểm tra tích $x \times y$ — không đổi thì tỉ lệ nghịch. Với bài toán bằng lời, tìm đại lượng cố định của bài (tổng công việc, quãng đường, đơn giá) để suy ra ngay hai đại lượng còn lại tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với nhau.

Bài ôn tập cuối cùng ghép lại toàn bộ những gì em vừa học — tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, chia tổng theo cả hai kiểu — trong các bài toán tổng hợp giống một đề kiểm tra thật.