Bài học

Ôn tập: Đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới. Sau bài này, em ghép lại được toàn bộ công cụ đã học trong khóa — nhận biết, tìm hệ số/hằng số, chia một tổng theo tỉ lệ thuận hoặc tỉ lệ nghịch — để giải các bài toán tổng hợp đúng phong cách một đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Năm bài trước để lại cho em hai công thức trụ cột: $y = kx$ (tỉ lệ thuận, kiểm tra bằng $y/x$ không đổi) và $y = \dfrac{a}{x}$ (tỉ lệ nghịch, kiểm tra bằng $xy$ không đổi), cùng cách chia một tổng theo mỗi loại — tỉ lệ thuận đặt ẩn theo đúng tỉ lệ, tỉ lệ nghịch đặt ẩn theo nghịch đảo của tỉ lệ.

Khởi động

Một đề kiểm tra cuối chương thường không nói thẳng "đây là bài tỉ lệ thuận" hay "đây là bài tỉ lệ nghịch" — em phải tự đọc dữ kiện và quyết định. Em đã luyện riêng lẻ từng bước ở các bài trước; bài này ghép chúng lại trong ba bài toán tổng hợp, đúng độ khó em sẽ gặp trong đề kiểm tra giữa kì hoặc cuối kì.

Hệ thống lại kiến thức

Trước khi vào bài toán tổng hợp, em tự nhắc lại quy trình chung: đọc đề, xác định đại lượng nào cố định (đơn giá, năng suất mỗi người, hay tổng khối lượng công việc/quãng đường), từ đó suy ra hai đại lượng còn lại tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch, viết đúng công thức, tìm hệ số/hằng số từ dữ kiện đã cho, rồi giải và đối chiếu kết quả với bối cảnh đề bài.

Nhìn lại cả sáu bài đã học, em sẽ thấy chỉ có đúng hai công thức: $y=kx$ và $y=\dfrac{a}{x}$ , còn lại toàn bộ độ khó nằm ở việc đọc đề cho đúng — tìm cái gì cố định, cái gì biến thiên, và bài có yêu cầu chia một tổng hay không. Một đề kiểm tra tổng hợp thường ghép hai hoặc ba bước nhỏ lại với nhau trong cùng một bài (như ví dụ (a) mở khóa (b) dưới đây), nên việc trình bày rõ từng bước — gọi ẩn, nêu công thức, thay số, kết luận — quan trọng không kém việc ra đúng đáp số, vì đó chính là cách chấm điểm từng phần của một đề tự luận.

Nhìn lại cả sáu bài đã học, em sẽ thấy chỉ có đúng hai công thức: $y=kx$ và $y=\dfrac{a}{x}$, còn lại toàn bộ độ khó nằm ở việc đọc đề cho đúng — tìm cái gì cố định, cái gì biến thiên, và bài có yêu cầu chia một tổng hay không. Một đề kiểm tra tổng hợp thường ghép hai hoặc ba bước nhỏ lại với nhau trong cùng một bài (như ví dụ (a) mở khóa (b) dưới đây), nên việc trình bày rõ từng bước — gọi ẩn, nêu công thức, thay số, kết luận — quan trọng không kém việc ra đúng đáp số, vì đó chính là cách chấm điểm từng phần của một đề tự luận.

Bài toán tổng hợp

Ví dụ

Ôn tập chia tổng theo tỉ lệ thuận

1
Ba lớp 7A, 7B, 7C góp sách tặng thư viện, số sách góp tỉ lệ thuận với số học sinh mỗi lớp lần lượt là 32, 36, 40 học sinh. Biết tổng số sách góp được là 324 quyển. Tính số sách mỗi lớp góp.
2
$32:36:40 = 8:9:10$ (chia cả ba số cho 4).
$32:36:40 = 8:9:10$ (chia cả ba số cho 4).
3
$\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{9}=\dfrac{c}{10}=\dfrac{a+b+c}{8+9+10}=\dfrac{324}{27}=12$ .
$\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{9}=\dfrac{c}{10}=\dfrac{a+b+c}{8+9+10}=\dfrac{324}{27}=12$.
4
$a=8\times12=96$ ; $b=9\times12=108$ ; $c=10\times12=120$ .
$a=8\times12=96$; $b=9\times12=108$; $c=10\times12=120$.
5
Vậy lớp 7A góp 96 quyển, 7B góp 108 quyển, 7C góp 120 quyển ( $96+108+120=324$ ).
Vậy lớp 7A góp 96 quyển, 7B góp 108 quyển, 7C góp 120 quyển ($96+108+120=324$).

Ba cột đúng theo tỉ lệ 8:9:10, tổng cộng bằng 324 quyển như đề cho.

Ví dụ

Ôn tập tỉ lệ nghịch qua năng suất

1
Hai đội xây dựng cùng nhận thầu một công trình. Đội A có năng suất gấp 1,5 lần đội B. Nếu đội B làm một mình mất 30 ngày, đội A làm một mình mất bao lâu?
2
Với cùng một khối lượng công việc, năng suất và thời gian làm một mình là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
3
Năng suất đội A gấp 1,5 lần đội B, nên thời gian đội A chỉ bằng $\dfrac{1}{1,5}$ thời gian đội B: $t_A = \dfrac{30}{1,5} = 20$ .
Năng suất đội A gấp 1,5 lần đội B, nên thời gian đội A chỉ bằng $\dfrac{1}{1,5}$ thời gian đội B: $t_A = \dfrac{30}{1,5} = 20$.
4
Vậy đội A làm một mình mất 20 ngày.

Ví dụ trên không cho số ngày và số công nhân trực tiếp như các bài trước, mà cho tỉ lệ năng suất — đúng kiểu đề hay xuất hiện ở phần cuối một đề kiểm tra. Chìa khóa vẫn không đổi: năng suất và thời gian làm cùng một khối lượng công việc luôn là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên năng suất gấp bao nhiêu lần thì thời gian giảm đúng bấy nhiêu lần — em không cần biết khối lượng công việc cụ thể là bao nhiêu mới giải được.

Ví dụ

Đề tổng hợp: kết hợp tỉ lệ nghịch và tỉ lệ thuận trong hai phần

1
Một đội 8 công nhân hoàn thành một đoạn đường trong 15 ngày. (a) Muốn hoàn thành đoạn đường đó trong 10 ngày (cùng năng suất mỗi người), cần bao nhiêu công nhân? (b) Biết tiền công trả cho đội tỉ lệ thuận với số công nhân tham gia, và 8 công nhân được trả 40.000.000đ, đội ở phần (a) được trả bao nhiêu?
2
Số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch (cùng khối lượng công việc): $a = 8 \times 15 = 120$ (người·ngày). Với 10 ngày: $\dfrac{120}{10} = 12$ công nhân.
Số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch (cùng khối lượng công việc): $a = 8 \times 15 = 120$ (người·ngày). Với 10 ngày: $\dfrac{120}{10} = 12$ công nhân.
3
Tiền công $M$ tỉ lệ thuận với số công nhân $n$ : $k = \dfrac{40000000}{8} = 5000000$ (đồng/người).
Tiền công $M$ tỉ lệ thuận với số công nhân $n$: $k = \dfrac{40000000}{8} = 5000000$ (đồng/người).
4
Với $n=12$ (kết quả phần a): $M = 5000000 \times 12 = 60000000$ .
Với $n=12$ (kết quả phần a): $M = 5000000 \times 12 = 60000000$.
5
Vậy phần (a) cần 12 công nhân; phần (b) đội đó được trả 60.000.000đ.

Luyện tập tổng hợp

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Suốt khóa học này, mọi bài toán chỉ xoay quanh hai câu hỏi: đại lượng nào cố định trong bài, và từ đó hai đại lượng còn lại tỉ lệ thuận ( $y=kx$ , tỉ số không đổi) hay tỉ lệ nghịch ( $xy=a$ , tích không đổi). Nhận đúng loại quan hệ trước, công thức và phép tính phía sau chỉ còn là bước thực hiện.

Suốt khóa học này, mọi bài toán chỉ xoay quanh hai câu hỏi: đại lượng nào cố định trong bài, và từ đó hai đại lượng còn lại tỉ lệ thuận ($y=kx$, tỉ số không đổi) hay tỉ lệ nghịch ($xy=a$, tích không đổi). Nhận đúng loại quan hệ trước, công thức và phép tính phía sau chỉ còn là bước thực hiện.

Khóa học tiếp theo trong chương trình lớp 7 chuyển sang biểu thức đại số, đơn thức và đa thức nhiều biến — một công cụ đại số khác, không còn xoay quanh cặp giá trị tương ứng như tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch nữa.