Bài học

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em nhận ra ba loại góc mà một cát tuyến tạo ra khi cắt hai đường thẳng — so le trong, đồng vị, trong cùng phía — và dùng dấu hiệu "một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau" để kết luận hai đường thẳng song song.

Kiến thức cần nhớ trước

Ba chương vừa học (đối đỉnh, kề bù, hình phức hợp) đều xoay quanh MỘT điểm giao. Từ bài này, hình vẽ có HAI điểm giao: một cát tuyến cắt hai đường thẳng khác nhau tại hai điểm phân biệt. Em cần nhớ lại khái niệm "hai đường thẳng song song" (không có điểm chung) đã học ở lớp 6.

Hàng rào sân trường ghép bằng các thanh tre ngang, thanh nọ song song thanh kia, rồi được gia cố thêm một thanh chéo bắc qua nhiều thanh ngang cùng lúc. Thanh chéo đó cắt mỗi thanh ngang tại một điểm, tạo ra một loạt góc. Nếu chỉ nhìn góc thanh chéo tạo với MỘT thanh ngang, làm sao biết chắc các thanh ngang còn lại có thật sự song song với thanh đầu tiên hay bị lệch đi một chút?

Ba loại góc do một cát tuyến tạo ra

Một đường thẳng cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ tại hai điểm $M$ , $N$ được gọi là cát tuyến. Quanh $M$ và $N$ có tám góc, chia thành ba loại theo vị trí so với cát tuyến và so với khoảng giữa hai đường thẳng $a$ , $b$ :

Một đường thẳng cắt hai đường thẳng $a$, $b$ tại hai điểm $M$, $N$ được gọi là **cát tuyến**. Quanh $M$ và $N$ có tám góc, chia thành ba loại theo vị trí so với cát tuyến và so với khoảng giữa hai đường thẳng $a$, $b$:

Tám góc này không rời rạc — tại mỗi điểm $M$ , $N$ riêng lẻ, bốn góc đã tuân theo đúng quy tắc đối đỉnh và kề bù của hai chương đầu (chỉ hai giá trị số đo, mỗi giá trị lặp hai lần). Ba loại so le trong, đồng vị, trong cùng phía chỉ thêm một lớp thông tin MỚI: chúng mô tả quan hệ GIỮA điểm $M$ và điểm $N$ , tức giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ — điều mà riêng đối đỉnh, kề bù tại từng điểm không nói lên được.

Tám góc này không rời rạc — tại mỗi điểm $M$, $N$ riêng lẻ, bốn góc đã tuân theo đúng quy tắc đối đỉnh và kề bù của hai chương đầu (chỉ hai giá trị số đo, mỗi giá trị lặp hai lần). Ba loại so le trong, đồng vị, trong cùng phía chỉ thêm một lớp thông tin MỚI: chúng mô tả quan hệ GIỮA điểm $M$ và điểm $N$, tức giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ — điều mà riêng đối đỉnh, kề bù tại từng điểm không nói lên được.

So le trong: hai góc nằm ở khoảng giữa $a$ và $b$ (phía trong), nhưng ở hai phía khác nhau của cát tuyến. Đồng vị: hai góc nằm cùng phía của cát tuyến, ở vị trí tương ứng tại $M$ và tại $N$ (một trong hay ngoài không quan trọng, miễn cùng phía và cùng vị trí). Trong cùng phía: hai góc cùng nằm phía trong (giữa $a$ , $b$ ) và cùng phía của cát tuyến.

**So le trong**: hai góc nằm ở khoảng giữa $a$ và $b$ (phía trong), nhưng ở hai phía khác nhau của cát tuyến. **Đồng vị**: hai góc nằm cùng phía của cát tuyến, ở vị trí tương ứng tại $M$ và tại $N$ (một trong hay ngoài không quan trọng, miễn cùng phía và cùng vị trí). **Trong cùng phía**: hai góc cùng nằm phía trong (giữa $a$, $b$) và cùng phía của cát tuyến.

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Nếu một cát tuyến cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ mà có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau), thì $a$ song song với $b$ . Chỉ cần MỘT cặp thỏa mãn là đủ kết luận — không cần kiểm tra cả tám góc.

Nếu một cát tuyến cắt hai đường thẳng $a$, $b$ mà có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau), thì $a$ song song với $b$. Chỉ cần MỘT cặp thỏa mãn là đủ kết luận — không cần kiểm tra cả tám góc.

Vì sao chỉ cần một cặp mà không cần kiểm tra hết tám góc? Vì tám góc quanh $M$ và $N$ không độc lập với nhau — chúng ràng buộc lẫn nhau qua đối đỉnh (đã học Chương 1) và kề bù (Chương 2) ngay tại từng điểm. Một khi cặp so le trong đã bằng nhau, bảy góc còn lại tự động xác định theo đúng hai giá trị đó (một giá trị và phần bù $180°$ của nó) — không thể xảy ra trường hợp so le trong bằng nhau mà đồng vị lại không bằng nhau. Đây chính là lý do bài sau (Tính chất hai đường thẳng song song) chỉ cần MỘT góc là suy ra được cả tám góc.

Lời giải có hình

Cát tuyến EF cắt hai đường thẳng a, b tại M, N

Bước 1

Cho hai đường thẳng $a$ , $b$ và cát tuyến $EF$ cắt $a$ tại $M$ , cắt $b$ tại $N$ .Cho hai đường thẳng $a$, $b$ và cát tuyến $EF$ cắt $a$ tại $M$, cắt $b$ tại $N$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ví dụ 1 — Kết luận song song từ một cặp so le trong

1
Cát tuyến $EF$ cắt hai đường thẳng $a$ , $b$ lần lượt tại $M$ , $N$ . Biết một cặp góc so le trong tại $M$ , $N$ đều bằng $60°$ . Hỏi $a$ và $b$ có song song không?
Cát tuyến $EF$ cắt hai đường thẳng $a$, $b$ lần lượt tại $M$, $N$. Biết một cặp góc so le trong tại $M$, $N$ đều bằng $60°$. Hỏi $a$ và $b$ có song song không?
2
Một cặp góc so le trong bằng nhau là điều kiện đủ để kết luận song song.
3
Ta có cặp góc so le trong tại $M$ và $N$ đều bằng $60°$ , tức bằng nhau. (1)

Từ (1), theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (một cặp góc so le trong bằng nhau), suy ra $a \parallel b$ .

Vậy $a$ song song với $b$ .
Ta có cặp góc so le trong tại $M$ và $N$ đều bằng $60°$, tức bằng nhau. (1) Từ (1), theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (một cặp góc so le trong bằng nhau), suy ra $a \parallel b$. Vậy $a$ song song với $b$.
4
Nếu đề đổi thành "một cặp góc đồng vị đều bằng $60°$ ", cách làm giữ nguyên — chỉ đổi tên căn cứ ở bước kết luận thành "một cặp góc đồng vị bằng nhau" thay vì so le trong. Hai căn cứ này độc lập, dùng được căn cứ nào tuỳ dữ kiện đề cho.
Nếu đề đổi thành "một cặp góc đồng vị đều bằng $60°$", cách làm giữ nguyên — chỉ đổi tên căn cứ ở bước kết luận thành "một cặp góc đồng vị bằng nhau" thay vì so le trong. Hai căn cứ này độc lập, dùng được căn cứ nào tuỳ dữ kiện đề cho.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Khi góc đồng vị KHÔNG bằng nhau

1
Cát tuyến cắt hai đường thẳng $c$ , $d$ tạo một cặp góc đồng vị lần lượt là $70°$ và $75°$ . Hỏi $c$ có song song với $d$ không?
Cát tuyến cắt hai đường thẳng $c$, $d$ tạo một cặp góc đồng vị lần lượt là $70°$ và $75°$. Hỏi $c$ có song song với $d$ không?
2
Bài sau (Tính chất hai đường thẳng song song) sẽ chứng minh: nếu hai đường thẳng song song thì mọi cặp góc đồng vị đều bằng nhau. Ta mượn tạm chiều ngược lại bằng lập luận phản chứng.
3
Giả sử $c \parallel d$ . Khi đó theo tính chất hai đường thẳng song song, cặp góc đồng vị phải bằng nhau. (1)

Nhưng đề cho $70° \ne 75°$ , mâu thuẫn với (1).

Vậy giả sử sai, tức $c$ không song song với $d$ .
Giả sử $c \parallel d$. Khi đó theo tính chất hai đường thẳng song song, cặp góc đồng vị phải bằng nhau. (1) Nhưng đề cho $70° \ne 75°$, mâu thuẫn với (1). Vậy giả sử sai, tức $c$ không song song với $d$.
4
Dấu hiệu (phần đầu bài học) chỉ cho phép đi một chiều: từ "góc bằng nhau" tới "song song". Câu hỏi ở đây đi chiều ngược — từ "góc không bằng nhau" tới "không song song" — nên không dùng trực tiếp dấu hiệu được, mà phải lập luận phản chứng bằng chiều ngược của tính chất (bài học sau). Đây là lý do hai bài liền kề nhau: dấu hiệu và tính chất là hai chiều của cùng một sự thật, và bài học hôm nay đã cho em thấy trước vì sao cần cả hai chiều.
Dấu hiệu (phần đầu bài học) chỉ cho phép đi một chiều: từ "góc bằng nhau" tới "song song". Câu hỏi ở đây đi chiều ngược — từ "góc không bằng nhau" tới "không song song" — nên không dùng trực tiếp dấu hiệu được, mà phải lập luận phản chứng bằng chiều ngược của tính chất (bài học sau). Đây là lý do hai bài liền kề nhau: dấu hiệu và tính chất là hai chiều của cùng một sự thật, và bài học hôm nay đã cho em thấy trước vì sao cần cả hai chiều.

Sai lầm thường gặp

Có bạn thấy hai góc "trông gần bằng nhau" trên hình vẽ tay là vội kết luận song song — dấu hiệu chỉ áp dụng được khi ĐỀ CHO số đo góc cụ thể và bằng nhau thật sự, không dựa vào ước lượng bằng mắt. Cũng cần phân biệt đúng ba loại góc: nhầm trong cùng phía thành so le trong sẽ dẫn đến kết luận sai.

Chỉ cần đúng MỘT cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau để áp dụng.

Ba loại góc, một dấu hiệu — đó là toàn bộ nội dung bài học hôm nay. Bài sau sẽ không thêm loại góc nào mới, chỉ dùng lại đúng ba cái tên so le trong, đồng vị, trong cùng phía vừa học, theo chiều suy luận ngược lại.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chỉ cần MỘT cặp so le trong hoặc đồng vị bằng nhau là kết luận được song song. Bài sau đi theo chiều ngược lại: đã biết song song, tìm các góc còn lại.

Bài sau dùng đúng ba loại góc vừa học, nhưng đảo chiều suy luận: khi đã CHẮC CHẮN hai đường thẳng song song, tính chất nào cho phép suy ra toàn bộ tám góc còn lại từ một góc duy nhất? Câu trả lời hoá ra đơn giản hơn em nghĩ, và sẽ khép lại trọn vẹn ba loại góc vừa học ở bài này.