Bài học

Hai góc đối đỉnh

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em nhận biết được hai góc đối đỉnh trong một hình vẽ và dùng tính chất "hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" để tính số đo góc còn thiếu.

Kiến thức cần nhớ trước

Em đã biết một góc được tạo bởi hai tia chung gốc, và số đo góc đo bằng độ. Em cũng đã biết hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và cùng nằm trên một đường thẳng, tạo thành một góc bẹt $180°$ . Bài này dùng lại đúng hai ý đó.

Trước khi vào bài, hãy chắc em còn nhớ: một GÓC là hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung đó gọi là ĐỈNH của góc, còn hai tia gọi là hai CẠNH. Số đo góc là một số từ $0°$ đến $180°$ , đo bằng thước đo góc. Hai tia ĐỐI NHAU là hai tia chung gốc mà cùng nằm trên một đường thẳng, tạo với nhau một góc bẹt đúng $180°$ — đây là mảnh kiến thức quan trọng nhất em mang theo vào bài học hôm nay.

Trước khi vào bài, hãy chắc em còn nhớ: một GÓC là hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung đó gọi là ĐỈNH của góc, còn hai tia gọi là hai CẠNH. Số đo góc là một số từ $0°$ đến $180°$, đo bằng thước đo góc. Hai tia ĐỐI NHAU là hai tia chung gốc mà cùng nằm trên một đường thẳng, tạo với nhau một góc bẹt đúng $180°$ — đây là mảnh kiến thức quan trọng nhất em mang theo vào bài học hôm nay.

Sân trường có hai lối đi lát gạch cắt nhau ngay giữa sân, tạo thành bốn ô hình quạt quanh điểm giao. Em đứng ở điểm giao đó nhìn ra bốn hướng: hai hướng đối nhau tạo với hai hướng đối nhau còn lại những góc trông "bằng hệt nhau", dù em chưa đo bằng thước đo góc. Có phải lúc nào cũng vậy không, hay chỉ tình cờ ở đúng góc sân này?

Hai góc đối đỉnh là gì

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm $O$ , chúng tạo ra bốn góc quanh $O$ . Gọi bốn tia gốc $O$ theo hai đường thẳng là $OA$ , $OB$ , $OC$ , $OD$ , trong đó $OA$ và $OC$ là hai tia đối nhau (cùng thuộc một đường thẳng), $OB$ và $OD$ cũng là hai tia đối nhau (thuộc đường thẳng còn lại).

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm $O$, chúng tạo ra bốn góc quanh $O$. Gọi bốn tia gốc $O$ theo hai đường thẳng là $OA$, $OB$, $OC$, $OD$, trong đó $OA$ và $OC$ là hai tia đối nhau (cùng thuộc một đường thẳng), $OB$ và $OD$ cũng là hai tia đối nhau (thuộc đường thẳng còn lại).

Góc $AOB$ và góc $COD$ là hai góc đối đỉnh: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia ( $OC$ đối với $OA$ , $OD$ đối với $OB$ ). Tương tự, góc $BOC$ và góc $AOD$ cũng là một cặp góc đối đỉnh. Bốn góc quanh $O$ gộp thành đúng hai cặp đối đỉnh.

Góc $AOB$ và góc $COD$ là **hai góc đối đỉnh**: mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia ($OC$ đối với $OA$, $OD$ đối với $OB$). Tương tự, góc $BOC$ và góc $AOD$ cũng là một cặp góc đối đỉnh. Bốn góc quanh $O$ gộp thành đúng hai cặp đối đỉnh.

Cách nhận ra nhanh

Nhìn hình chữ X do hai đường thẳng cắt nhau tạo ra: hai góc đối đỉnh luôn là cặp góc "chéo nhau" qua đỉnh, không phải cặp góc "sát cạnh nhau". Nếu hai góc có chung một cạnh, chúng không phải đối đỉnh.

Hình chữ X này xuất hiện ở rất nhiều nơi, không chỉ trên giấy: hai thanh sắt bắt chéo làm giàn mái nhà, hai dây kéo cờ cắt nhau khi gió thổi lệch, hai đường kẻ trên một tấm biển báo giao nhau ở giữa. Mỗi lần như vậy, bốn góc quanh điểm giao lại chia thành đúng hai cặp đối đỉnh — cho dù hai đường thẳng nghiêng bao nhiêu độ so với nhau. Góc giữa hai đường thẳng có thể thay đổi tuỳ hình, nhưng quan hệ "đối đỉnh thì bằng nhau" không bao giờ đổi, vì nó không phụ thuộc số đo cụ thể mà phụ thuộc vào CÁCH hai cạnh của một góc quan hệ với hai cạnh của góc kia.

Vì sao hai góc đối đỉnh bằng nhau

Xét cặp $AOB$ và $COD$ . Vì $OA$ , $OC$ là hai tia đối nhau nên góc $AOB$ và góc $BOC$ kề nhau và có tổng bằng $180°$ (kề bù) — hai góc kề bù sẽ được học kỹ ở bài sau, ở đây em chỉ cần nhớ ý cốt lõi: hai góc chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau thì cộng lại đúng bằng một góc bẹt $180°$ . Tương tự, vì $OB$ , $OD$ đối nhau nên góc $BOC$ và góc $COD$ cũng kề bù, tổng bằng $180°$ . Từ đó $\widehat{AOB} = 180° - \widehat{BOC} = \widehat{COD}$ . Vậy hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau — không phải vì "trông giống nhau", mà vì cùng bù với một góc thứ ba.

Xét cặp $AOB$ và $COD$. Vì $OA$, $OC$ là hai tia đối nhau nên góc $AOB$ và góc $BOC$ kề nhau và có tổng bằng $180°$ (kề bù) — hai góc kề bù sẽ được học kỹ ở bài sau, ở đây em chỉ cần nhớ ý cốt lõi: hai góc chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau thì cộng lại đúng bằng một góc bẹt $180°$. Tương tự, vì $OB$, $OD$ đối nhau nên góc $BOC$ và góc $COD$ cũng kề bù, tổng bằng $180°$. Từ đó $\widehat{AOB} = 180° - \widehat{BOC} = \widehat{COD}$. Vậy hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau — không phải vì "trông giống nhau", mà vì cùng bù với một góc thứ ba.

Lời giải có hình

Hai đường thẳng cắt nhau tại O

Bước 1

Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Góc $AOB = 55°$ .Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Góc $AOB = 55°$.

Nhìn lại filmstrip trên: bước đầu tiên chỉ vẽ đúng những gì đề cho — hai đường thẳng và góc $55°$ , chưa tô đậm gì cả. Mỗi bước sau đó tô đậm đúng HAI cạnh của góc đang xét, để mắt em luôn biết đang nói về góc nào trong bốn góc quanh $O$ . Đây cũng là cách em nên trình bày trên giấy: đừng viết "góc còn lại", hãy luôn gọi tên đầy đủ hai cạnh, ví dụ "góc $BOC$ ", tránh nhầm giữa các góc khi hình có nhiều góc gần giống nhau.

Nhìn lại filmstrip trên: bước đầu tiên chỉ vẽ đúng những gì đề cho — hai đường thẳng và góc $55°$, chưa tô đậm gì cả. Mỗi bước sau đó tô đậm đúng HAI cạnh của góc đang xét, để mắt em luôn biết đang nói về góc nào trong bốn góc quanh $O$. Đây cũng là cách em nên trình bày trên giấy: đừng viết "góc còn lại", hãy luôn gọi tên đầy đủ hai cạnh, ví dụ "góc $BOC$", tránh nhầm giữa các góc khi hình có nhiều góc gần giống nhau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính các góc còn lại từ một góc đã cho

1
Hai đường thẳng $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ . Biết $\widehat{AOB} = 55°$ . Tính $\widehat{BOC}$ , $\widehat{COD}$ , $\widehat{AOD}$ .
Hai đường thẳng $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Biết $\widehat{AOB} = 55°$. Tính $\widehat{BOC}$, $\widehat{COD}$, $\widehat{AOD}$.
2
$\widehat{COD}$ đối đỉnh với $\widehat{AOB}$ ; $\widehat{BOC}$ kề bù với $\widehat{AOB}$ ; $\widehat{AOD}$ đối đỉnh với $\widehat{BOC}$ .
$\widehat{COD}$ đối đỉnh với $\widehat{AOB}$; $\widehat{BOC}$ kề bù với $\widehat{AOB}$; $\widehat{AOD}$ đối đỉnh với $\widehat{BOC}$.
3
Ta có $\widehat{COD}$ và $\widehat{AOB}$ là hai góc đối đỉnh (vì $OC$ đối $OA$ , $OD$ đối $OB$ ) nên $\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 55°$ . (1)

Mặt khác, $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ kề bù (chung cạnh $OB$ , hai cạnh $OA$ , $OC$ đối nhau) nên $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180°$ , suy ra $\widehat{BOC} = 180° - 55° = 125°$ . (2)

Từ (2), $\widehat{AOD}$ đối đỉnh với $\widehat{BOC}$ nên $\widehat{AOD} = \widehat{BOC} = 125°$ .

Vậy $\widehat{COD} = 55°$ , $\widehat{BOC} = \widehat{AOD} = 125°$ .
Ta có $\widehat{COD}$ và $\widehat{AOB}$ là hai góc đối đỉnh (vì $OC$ đối $OA$, $OD$ đối $OB$) nên $\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 55°$. (1) Mặt khác, $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$ kề bù (chung cạnh $OB$, hai cạnh $OA$, $OC$ đối nhau) nên $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180°$, suy ra $\widehat{BOC} = 180° - 55° = 125°$. (2) Từ (2), $\widehat{AOD}$ đối đỉnh với $\widehat{BOC}$ nên $\widehat{AOD} = \widehat{BOC} = 125°$. Vậy $\widehat{COD} = 55°$, $\widehat{BOC} = \widehat{AOD} = 125°$.
4
Bốn góc quanh $O$ chỉ nhận đúng hai giá trị số đo: $55°$ (xuất hiện hai lần, ở hai góc đối đỉnh) và $125°$ (cũng hai lần). Đây là quy luật chung cho MỌI bài "hai đường thẳng cắt nhau, biết một góc": không bao giờ có bốn số đo khác nhau, luôn chỉ hai giá trị, và hai giá trị đó cộng lại đúng $180°$ .
Bốn góc quanh $O$ chỉ nhận đúng hai giá trị số đo: $55°$ (xuất hiện hai lần, ở hai góc đối đỉnh) và $125°$ (cũng hai lần). Đây là quy luật chung cho MỌI bài "hai đường thẳng cắt nhau, biết một góc": không bao giờ có bốn số đo khác nhau, luôn chỉ hai giá trị, và hai giá trị đó cộng lại đúng $180°$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Lập phương trình từ một cặp góc đối đỉnh

1
Tại một ngã tư, hai con đường thẳng cắt nhau tại điểm $O$ . Góc tạo bởi hai hướng đường có số đo $(3x)°$ , góc đối đỉnh của nó có số đo $(2x + 40)°$ . Tìm $x$ và số đo mỗi góc.
Tại một ngã tư, hai con đường thẳng cắt nhau tại điểm $O$. Góc tạo bởi hai hướng đường có số đo $(3x)°$, góc đối đỉnh của nó có số đo $(2x + 40)°$. Tìm $x$ và số đo mỗi góc.
2
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau nên $3x = 2x + 40$ .
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau nên $3x = 2x + 40$.
3
Vì hai góc đã cho đối đỉnh nên $3x = 2x + 40$ , suy ra $x = 40$ . (1)

Thay vào (1): góc thứ nhất $= 3 \times 40 = 120°$ , góc thứ hai $= 2 \times 40 + 40 = 120°$ (khớp với điều kiện đối đỉnh).

Vậy $x = 40$ và mỗi góc bằng $120°$ .
Vì hai góc đã cho đối đỉnh nên $3x = 2x + 40$, suy ra $x = 40$. (1) Thay vào (1): góc thứ nhất $= 3 \times 40 = 120°$, góc thứ hai $= 2 \times 40 + 40 = 120°$ (khớp với điều kiện đối đỉnh). Vậy $x = 40$ và mỗi góc bằng $120°$.
4
Số đo góc thu được $120° < 180°$ , hợp lý cho một góc tại giao lộ hai đường thẳng.
Số đo góc thu được $120° < 180°$, hợp lý cho một góc tại giao lộ hai đường thẳng.
5
Nếu đề cho luôn "cả hai góc đều bằng $120°$ " thì bài không còn gì để tìm. Cách đề bài che số đo thật sau hai biểu thức khác nhau của cùng một ẩn $x$ , rồi dùng chính tính chất "đối đỉnh thì bằng nhau" làm cầu nối, là cách ra đề rất phổ biến ở dạng này — em sẽ gặp lại kiểu che số này ở mọi tính chất "bằng nhau" khác trong khoá học.
Nếu đề cho luôn "cả hai góc đều bằng $120°$" thì bài không còn gì để tìm. Cách đề bài che số đo thật sau hai biểu thức khác nhau của cùng một ẩn $x$, rồi dùng chính tính chất "đối đỉnh thì bằng nhau" làm cầu nối, là cách ra đề rất phổ biến ở dạng này — em sẽ gặp lại kiểu che số này ở mọi tính chất "bằng nhau" khác trong khoá học.

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn ghép nhầm góc kề (sát cạnh, chung một tia) thành đối đỉnh nên tính sai — hoặc cộng hai góc đối đỉnh lại bằng $180°$ như kề bù. Hãy luôn kiểm tra: hai cạnh của góc này có phải là hai tia ĐỐI của hai cạnh góc kia không, trước khi kết luận đối đỉnh hay kề bù.

Quy trình dùng chung cho mọi bài toán "hai đường thẳng cắt nhau, biết một góc, tính ba góc còn lại".

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hai góc đối đỉnh: cạnh nọ là tia đối của cạnh kia, và luôn bằng nhau. Muốn tìm nhanh cả bốn góc quanh một điểm giao, chỉ cần một góc đã cho, cộng thêm tính chất kề bù ở bài sau.

Bài tiếp theo học về hai góc kề bù — cặp góc mà em đã mượn tạm ở phần chứng minh trên. Nắm chắc kề bù, em sẽ có đủ hai công cụ để đọc mọi hình có hai đường thẳng cắt nhau.