Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tiên đề Euclid và quan hệ giữa vuông góc với song song
Mục tiêu bài học
Học xong bài này, em phát biểu được tiên đề Euclid và giải thích được vì sao chỉ có đúng một đường thẳng song song qua một điểm cho trước; đồng thời vận dụng hai hệ quả "cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau" và "vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia".
Kiến thức cần nhớ trước
Em cần nhớ dấu hiệu nhận biết song song (Chương 4) và ba tính chất song song vừa học (bài trước) để hiểu vì sao hai hệ quả trong bài này đúng, chứ không phải nhớ thêm một quy tắc rời rạc.
Khi kẻ hai đường thẳng cùng vuông góc với mép bàn học, một bạn hỏi: "Có chắc hai đường đó song song với nhau không, hay chỉ trông giống vậy?" Một bạn khác lại hỏi ngược: "Qua đúng một điểm, liệu có kẻ được hai đường thẳng khác nhau mà cả hai đều song song với mép bàn không?" Hai câu hỏi tưởng khác nhau lại cùng một câu trả lời.
Tiên đề Euclid
**Tiên đề Euclid**: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. "Chỉ có một" là phần quan trọng nhất — không phải "có ít nhất một", mà là duy nhất. Đây là một tiên đề (thừa nhận không cần chứng minh), nhưng toàn bộ ba tính chất bài trước (so le trong, đồng vị, trong cùng phía) đều dựa trên chính sự duy nhất này.
Vì sao "duy nhất" lại quan trọng
Nếu qua một điểm có tới hai đường thẳng khác nhau cùng song song với một đường thẳng cho trước, ba tính chất bài trước sẽ không còn đúng nữa — góc so le trong ở đường thứ nhất và ở đường thứ hai có thể khác nhau. Tiên đề Euclid là "nền móng" giữ cho toàn bộ chương học được thống nhất.
Tiên đề là một phát biểu được CÔNG NHẬN, không chứng minh được từ những điều đơn giản hơn — khác với một định lí hay tính chất, vốn phải chứng minh từ các tiên đề. Trong hình học phẳng mà em đang học, tiên đề Euclid là một trong số ít những điều "gốc" như vậy; mọi tính chất về góc và đường thẳng song song ở bài trước, dù trông như hiển nhiên, đều dựa vào nó theo cách này hay cách khác.
Từ vuông góc đến song song
Hai hệ quả sau suy ra trực tiếp từ dấu hiệu nhận biết (Chương 4), không phải kiến thức tách rời: (1) nếu $a \perp c$ và $b \perp c$ thì $a \parallel b$; (2) nếu $a \parallel b$ và $c \perp a$ thì $c \perp b$.
Cả hai hệ quả đều là hình ảnh quen thuộc trong đời sống: khung cửa sổ hình chữ nhật có hai cạnh ngang cùng vuông góc với hai cạnh đứng, nên hai cạnh ngang song song với nhau — đó chính là hệ quả (1). Khi một chiếc thước vuông áp vào cạnh trên của khung cửa, nếu hai cạnh ngang đã song song thì thước cũng vuông góc với cạnh dưới, dù chưa đo trực tiếp — đó chính là hệ quả (2). Cả hai đều "miễn phí" từ kiến thức đã học, không cần ghi nhớ như một công thức riêng.
Lời giải có hình
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thứ ba
Bước 1
Cho đường thẳng $c$ (chính là $EF$), với $a \perp c$ tại $M$ và $b \perp c$ tại $N$ — cả hai góc vuông này đều là dữ kiện đề bài cho sẵn.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Ví dụ 1 — Vận dụng tiên đề Euclid để giải thích tính duy nhất
1
Cho đường thẳng $d$ và điểm $P$ ở ngoài $d$. Bạn An vẽ đường thẳng $e_1$ qua $P$ song song với $d$ bằng thước và êke; bạn Bình vẽ đường thẳng $e_2$ qua $P$ cũng song song với $d$ nhưng bằng cách đo góc so le trong bằng một cát tuyến khác. Hai đường thẳng $e_1$, $e_2$ có thể khác nhau không?
2
Tiên đề Euclid khẳng định: qua $P$ ngoài $d$, CHỈ CÓ MỘT đường thẳng song song với $d$.
3
Theo tiên đề Euclid, qua điểm $P$ nằm ngoài đường thẳng $d$ chỉ có một đường thẳng song song với $d$. (1)
Cả $e_1$ và $e_2$ đều là đường thẳng qua $P$ và song song với $d$, nên theo (1), $e_1$ và $e_2$ phải là cùng một đường thẳng, dù được vẽ bằng hai cách khác nhau.
Vậy $e_1 \equiv e_2$: hai bạn thực chất vẽ ra đúng một đường thẳng.
4
Đây là lý do vì sao hai người thợ mộc, dùng hai dụng cụ khác nhau (êke và dây rọi, hoặc thước và compa), đo đạc trên cùng một điểm để dựng đường song song với một cạnh cho trước, luôn ra đúng một đường thẳng nếu làm chính xác — không có chuyện "hai kết quả đúng nhưng khác nhau" cho cùng một bài toán song song.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Vận dụng hệ quả ngược: song song và vuông góc
1
Cho $a \parallel b$. Đường thẳng $c$ vuông góc với $a$ tại $M$. Chứng minh $c \perp b$.
2
Dùng tính chất đồng vị của hai đường thẳng song song: góc giữa $c$, $a$ tại $M$ và góc giữa $c$, $b$ tại điểm cắt $N$ là một cặp đồng vị.
3
Vì $c \perp a$ tại $M$ nên góc giữa $c$ và $a$ tại $M$ bằng $90°$. (1)
Vì $a \parallel b$, góc đồng vị tương ứng tại $N$ (giao điểm của $c$ với $b$) bằng góc tại $M$ [theo (1)], tức cũng bằng $90°$. (2)
Từ (2), góc giữa $c$ và $b$ tại $N$ bằng $90°$, tức $c \perp b$.
Vậy $c \perp b$.
4
Hoàn toàn được — so le trong của hai đường thẳng song song cũng bằng nhau, nên góc $90°$ tại $M$ cũng chuyển sang $N$ qua so le trong, cho cùng kết luận. Đề bài không quy định phải dùng đúng tính chất nào trong ba tính chất đã học ở bài trước; miễn lập luận đúng, dùng tính chất nào cũng ra kết quả giống nhau.
Sai lầm thường gặp
Có bạn coi tiên đề Euclid là một tính chất "hiển nhiên không cần nhắc tới" nên bỏ qua khi trình bày — trong khi đây chính là căn cứ cho phép dùng "MỘT cặp góc bằng nhau" để suy ra CẢ ĐƯỜNG THẲNG song song. Khi giải thích tính duy nhất của đường song song, luôn gọi tên tiên đề Euclid, không chỉ nói "hiển nhiên".
Một nhầm lẫn khác: nghĩ rằng hai hệ quả từ vuông góc đến song song là hai quy tắc tách biệt cần học thuộc lòng riêng. Thực ra chỉ cần nhớ MỘT ý — "vuông góc với cùng một đường thì song song với nhau" — còn hệ quả thứ hai suy ra ngay bằng cách áp dụng lại đúng tính chất đồng vị hoặc so le trong của bài trước, không phải kiến thức độc lập cần nhớ thêm.
Cả hai hệ quả đều quy về dấu hiệu và tính chất đã học ở Chương 4, 5 — không phải quy tắc mới tách rời.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Tiên đề Euclid: đúng MỘT đường song song qua một điểm ngoài đường thẳng. Từ đó: cùng vuông góc với một đường thì song song với nhau; vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường kia.
Chương ôn tập tiếp theo không học thêm gì mới — chỉ ghép lại toàn bộ năm bài vừa học vào những bài toán tổng hợp, đúng kiểu đề kiểm tra giữa kỳ và cuối kỳ lớp 7.
Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. "Chỉ có một" là phần quan trọng nhất — không phải "có ít nhất một", mà là duy nhất. Đây là một tiên đề (thừa nhận không cần chứng minh), nhưng toàn bộ ba tính chất bài trước (so le trong, đồng vị, trong cùng phía) đều dựa trên chính sự duy nhất này.
Tiên đề là một phát biểu được CÔNG NHẬN, không chứng minh được từ những điều đơn giản hơn — khác với một định lí hay tính chất, vốn phải chứng minh từ các tiên đề. Trong hình học phẳng mà em đang học, tiên đề Euclid là một trong số ít những điều "gốc" như vậy; mọi tính chất về góc và đường thẳng song song ở bài trước, dù trông như hiển nhiên, đều dựa vào nó theo cách này hay cách khác.
Hai hệ quả sau suy ra trực tiếp từ dấu hiệu nhận biết (Chương 4), không phải kiến thức tách rời: (1) nếu a⊥c và b⊥c thì a∥b; (2) nếu a∥b và c⊥a thì c⊥b.
Cả hai hệ quả đều là hình ảnh quen thuộc trong đời sống: khung cửa sổ hình chữ nhật có hai cạnh ngang cùng vuông góc với hai cạnh đứng, nên hai cạnh ngang song song với nhau — đó chính là hệ quả (1). Khi một chiếc thước vuông áp vào cạnh trên của khung cửa, nếu hai cạnh ngang đã song song thì thước cũng vuông góc với cạnh dưới, dù chưa đo trực tiếp — đó chính là hệ quả (2). Cả hai đều "miễn phí" từ kiến thức đã học, không cần ghi nhớ như một công thức riêng.
Cho đường thẳng c (chính là EF), với a⊥c tại M và b⊥c tại N — cả hai góc vuông này đều là dữ kiện đề bài cho sẵn.
Cho đường thẳng d và điểm P ở ngoài d. Bạn An vẽ đường thẳng e1 qua P song song với d bằng thước và êke; bạn Bình vẽ đường thẳng e2 qua P cũng song song với d nhưng bằng cách đo góc so le trong bằng một cát tuyến khác. Hai đường thẳng e1, e2 có thể khác nhau không?
Tiên đề Euclid khẳng định: qua P ngoài d, CHỈ CÓ MỘT đường thẳng song song với d.
Theo tiên đề Euclid, qua điểm P nằm ngoài đường thẳng d chỉ có một đường thẳng song song với d. (1)
Cả e1 và e2 đều là đường thẳng qua P và song song với d, nên theo (1), e1 và e2 phải là cùng một đường thẳng, dù được vẽ bằng hai cách khác nhau.
Vậy e1≡e2: hai bạn thực chất vẽ ra đúng một đường thẳng.
Cho a∥b. Đường thẳng c vuông góc với a tại M. Chứng minh c⊥b.
Dùng tính chất đồng vị của hai đường thẳng song song: góc giữa c, a tại M và góc giữa c, b tại điểm cắt N là một cặp đồng vị.
Vì c⊥a tại M nên góc giữa c và a tại M bằng 90°. (1)
Vì a∥b, góc đồng vị tương ứng tại N (giao điểm của c với b) bằng góc tại M [theo (1)], tức cũng bằng 90°. (2)
Từ (2), góc giữa c và b tại N bằng 90°, tức c⊥b.
Vậy c⊥b.
Hoàn toàn được — so le trong của hai đường thẳng song song cũng bằng nhau, nên góc 90° tại M cũng chuyển sang N qua so le trong, cho cùng kết luận. Đề bài không quy định phải dùng đúng tính chất nào trong ba tính chất đã học ở bài trước; miễn lập luận đúng, dùng tính chất nào cũng ra kết quả giống nhau.
Một nhầm lẫn khác: nghĩ rằng hai hệ quả từ vuông góc đến song song là hai quy tắc tách biệt cần học thuộc lòng riêng. Thực ra chỉ cần nhớ MỘT ý — "vuông góc với cùng một đường thì song song với nhau" — còn hệ quả thứ hai suy ra ngay bằng cách áp dụng lại đúng tính chất đồng vị hoặc so le trong của bài trước, không phải kiến thức độc lập cần nhớ thêm.