Bài học

Ba trường hợp bằng nhau của tam giác (c.c.c, c.g.c, g.c.g)

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra được — chỉ bằng cách nhìn các cạnh, góc đã đánh dấu bằng nhau trên hình vẽ — hai tam giác có bằng nhau hay không, và bằng nhau theo trường hợp nào trong ba trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g.

Kiến thức nền cần nhớ

Em vừa dùng tổng ba góc và góc ngoài ở bài trước. Bài này cần thêm khái niệm hai tam giác bằng nhau: hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Khi viết $\triangle ABC = \triangle DEF$ , thứ tự các chữ cái mang nghĩa: đỉnh A ứng với đỉnh D, B ứng với E, C ứng với F — không được viết tùy tiện, vì thứ tự này cho biết cạnh nào bằng cạnh nào, góc nào bằng góc nào.

Em vừa dùng tổng ba góc và góc ngoài ở bài trước. Bài này cần thêm khái niệm hai tam giác bằng nhau: hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Khi viết $\triangle ABC = \triangle DEF$, thứ tự các chữ cái mang nghĩa: đỉnh A ứng với đỉnh D, B ứng với E, C ứng với F — không được viết tùy tiện, vì thứ tự này cho biết cạnh nào bằng cạnh nào, góc nào bằng góc nào.

Khởi động

Hai tam giác trông có vẻ giống hệt nhau. Đo hết cả sáu yếu tố — ba cạnh, ba góc — để chắc chắn thì rất mất công. Có cách nào chỉ cần biết đúng ba yếu tố, mà vẫn khẳng định chắc chắn hai tam giác bằng nhau?

Ba trường hợp bằng nhau của tam giác

Câu trả lời là có — và chương trình lớp 7 công nhận đúng ba cách chọn ba yếu tố như vậy, gọi là ba trường hợp bằng nhau. Không phải chọn ba yếu tố nào cũng được: vị trí tương đối giữa cạnh và góc được chọn quyết định trường hợp có đúng hay không.

Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Đây là trường hợp dễ nhận ra nhất — chỉ cần đối chiếu từng cặp cạnh tương ứng.

Lời giải có hình

Nhận biết trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c)

Bước 1

Cho tam giác ABC và tam giác DEF.

Vậy chỉ với ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau, không cần đo một góc nào, ΔABC = ΔDEF đã được xác định chắc chắn.

Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

Nếu hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Chữ "xen giữa" ở đây quan trọng: góc phải nằm đúng ở đỉnh chung của hai cạnh đã biết, không phải một góc bất kỳ khác của tam giác.

Lời giải có hình

Nhận biết trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c)

Bước 1

Cho tam giác ABC và tam giác DEF.

Vậy hai cạnh và đúng góc xen giữa hai cạnh đó là đủ để kết luận bằng nhau. Nếu góc đã biết không xen giữa hai cạnh — mà kề với một cạnh và đối diện cạnh kia — kết luận theo c.g.c không còn chắc chắn nữa.

Trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g)

Nếu một cạnh và hai góc kề cạnh đó của tam giác này lần lượt bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Ở đây vai trò đảo lại so với c.g.c: cạnh xen giữa hai góc, chứ không phải góc xen giữa hai cạnh.

Vì sao chỉ đúng ba cách chọn này, mà không phải cách nào khác? Nếu chỉ biết ba góc bằng nhau từng đôi một (g.g.g), hai tam giác có thể cùng hình dạng nhưng khác kích thước — một tam giác lớn và một tam giác nhỏ đồng dạng vẫn có ba góc bằng nhau mà không hề bằng nhau. Còn nếu biết hai cạnh và một góc không xen giữa (kiểu "góc - cạnh - cạnh"), có thể dựng ra hai tam giác khác hình dạng nhưng cùng thỏa dữ kiện đó — quy tắc này không đủ chắc chắn nên không được công nhận. Ba trường hợp c.c.c, c.g.c, g.c.g được chọn chính vì chúng luôn cho ra đúng một tam giác duy nhất, không có "phiên bản khác" nào thỏa cùng dữ kiện.

Ví dụ

Xác định trường hợp bằng nhau từ dữ kiện cho bằng chữ

1
Cho $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có góc A = góc M, AB = MN, góc B = góc N. Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào?
Cho $\triangle ABC$ và $\triangle MNP$ có góc A = góc M, AB = MN, góc B = góc N. Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào?
2
Cạnh AB nằm giữa hai góc A và góc B — đúng vị trí "xen giữa hai góc" của cạnh MN giữa góc M và góc N.
3
Một cạnh (AB = MN) xen giữa hai góc bằng nhau (góc A = góc M, góc B = góc N) là đúng điều kiện của trường hợp g.c.g.
4
Vậy $\triangle ABC = \triangle MNP$ theo trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g), với A↔M, B↔N, C↔P.
Vậy $\triangle ABC = \triangle MNP$ theo trường hợp góc - cạnh - góc (g.c.g), với A↔M, B↔N, C↔P.

Ví dụ

Nhận biết trường hợp rồi khai thác kết luận (dạng thi)

1
Cho $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có AB = DE, góc A = góc D, AC = DF (như hình bên trên, phần c.g.c). a) Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào? Viết đúng thứ tự tương ứng đỉnh. b) Biết góc B = $58°$ , tính góc E.
Cho $\triangle ABC$ và $\triangle DEF$ có AB = DE, góc A = góc D, AC = DF (như hình bên trên, phần c.g.c). a) Hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp nào? Viết đúng thứ tự tương ứng đỉnh. b) Biết góc B = $58°$, tính góc E.
2
Góc A xen giữa hai cạnh AB, AC đã biết, đúng như góc D xen giữa hai cạnh DE, DF — đúng điều kiện trường hợp cạnh - góc - cạnh.
3
Vậy $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo c.g.c, với A↔D, B↔E, C↔F.
Vậy $\triangle ABC = \triangle DEF$ theo c.g.c, với A↔D, B↔E, C↔F.
4
Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ với B↔E, góc B và góc E là hai góc tương ứng, nên chúng bằng nhau.
Vì $\triangle ABC = \triangle DEF$ với B↔E, góc B và góc E là hai góc tương ứng, nên chúng bằng nhau.
5
Vậy góc E = góc B = $58°$ .

Sai lầm thường gặp

Một ngộ nhận rất phổ biến: coi "góc - cạnh - cạnh" (góc không xen giữa hai cạnh) cũng là một trường hợp bằng nhau, giống c.g.c. Đây không phải một trường hợp hợp lệ. Trước khi kết luận theo c.g.c, luôn tự hỏi: góc đã đánh dấu có đúng là góc xen giữa hai cạnh đã đánh dấu hay không — nếu không, dữ kiện đó chưa đủ.

Ghi nhớ

Ba trường hợp bằng nhau của tam giác là c.c.c (ba cạnh), c.g.c (hai cạnh và góc xen giữa), g.c.g (một cạnh và hai góc kề). Nhận diện đúng trường hợp bắt đầu từ việc xác định chính xác vị trí của yếu tố còn lại so với hai yếu tố đã biết. Bài sau dùng chính ba trường hợp này để viết một chứng minh hoàn chỉnh, theo đúng cách trình bày của một bài kiểm tra hình học.