Bài học

Trung tuyến, Trọng tâm, Phân giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được đường trung tuyến, trọng tâm, đường phân giác của một tam giác, dùng đúng tính chất tỉ số 2:1 của trọng tâm, và biết điểm giao ba đường phân giác cách đều ba cạnh.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã quen với trung điểm của một đoạn thẳng và khái niệm tia phân giác của một góc từ những bài trước. Bài này ghép hai khái niệm đó với tam giác, để xem điều gì xảy ra khi vẽ đủ ba đường cùng loại từ ba đỉnh.

Khởi động

Một tấm bìa hình tam giác, muốn treo lên sao cho nó cân bằng hoàn hảo — không nghiêng về phía nào — nên treo ở điểm nào của tấm bìa?

Đường trung tuyến và trọng tâm

Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, mỗi đường xuất phát từ một đỉnh. Điều đặc biệt: ba đường trung tuyến không cắt nhau lộn xộn ở ba điểm khác nhau, mà luôn đồng quy — cùng đi qua một điểm chung, gọi là trọng tâm của tam giác. Đó chính là điểm cân bằng mà câu hỏi khởi động nhắc tới.

Lời giải có hình

Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm, chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2:1

Bước 1

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, N là trung điểm AC.

Vậy trọng tâm không chỉ là giao điểm — nó còn chia mỗi đường trung tuyến theo một tỉ số cố định 2:1, tính từ đỉnh về phía trung điểm cạnh đối diện. Tỉ số này đúng cho mọi tam giác, không phụ thuộc hình dạng, và là công cụ tính toán chính của phần này.

Ví dụ

Tính khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh và đến trung điểm

1
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM = $9$ cm (M là trung điểm BC), trọng tâm G. Tính AG và GM.
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM = $9$ cm (M là trung điểm BC), trọng tâm G. Tính AG và GM.
2
Trọng tâm G chia AM theo tỉ số AG : GM = 2 : 1, tức AG = 2 · GM và AG + GM = AM.
3
Thay AG = 2 · GM vào AG + GM = 9, được $3 \cdot GM = 9$ , nên GM = $3$ cm, suy ra AG = $6$ cm.
Thay AG = 2 · GM vào AG + GM = 9, được $3 \cdot GM = 9$, nên GM = $3$ cm, suy ra AG = $6$ cm.
4
Vậy AG = $6$ cm và GM = $3$ cm.
Vậy AG = $6$ cm và GM = $3$ cm.

Đường phân giác và giao điểm ba đường phân giác

Đường phân giác của một tam giác, xuất phát từ một đỉnh, là đoạn thẳng chia đôi góc ở đỉnh đó và cắt cạnh đối diện. Giống trung tuyến, ba đường phân giác của một tam giác cũng luôn đồng quy tại một điểm.

Lời giải có hình

Ba đường phân giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh

Bước 1

Cho tam giác ABC.

Vậy giao điểm ba đường phân giác không chỉ là một điểm đồng quy — nó còn cách đều ba cạnh của tam giác, vì mỗi điểm trên một đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh tạo nên góc đó, và điểm giao nằm trên cả ba đường phân giác cùng lúc.

Ví dụ

Dùng tính chất cách đều ba cạnh của giao điểm ba phân giác

1
Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác. Biết khoảng cách từ I đến cạnh AB bằng $2,4$ cm. Khoảng cách từ I đến cạnh BC và đến cạnh CA bằng bao nhiêu?
Tam giác ABC có I là giao điểm ba đường phân giác. Biết khoảng cách từ I đến cạnh AB bằng $2,4$ cm. Khoảng cách từ I đến cạnh BC và đến cạnh CA bằng bao nhiêu?
2
I là giao điểm ba đường phân giác nên I cách đều ba cạnh của tam giác.
3
Vậy khoảng cách từ I đến BC và đến CA cũng đều bằng $2,4$ cm.
Vậy khoảng cách từ I đến BC và đến CA cũng đều bằng $2,4$ cm.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: trọng tâm và trung điểm (dạng thi)

1
Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Biết GM = $3,5$ cm. a) Tính độ dài trung tuyến AM. b) Nếu thêm điều kiện AB = AC, hãy cho biết A, G, M có thẳng hàng hay không, và vì sao.
Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Biết GM = $3,5$ cm. a) Tính độ dài trung tuyến AM. b) Nếu thêm điều kiện AB = AC, hãy cho biết A, G, M có thẳng hàng hay không, và vì sao.
2
G là trọng tâm nên chia AM theo tỉ số AG : GM = 2 : 1, tức AG = 2 · GM = $7$ cm. Suy ra AM = AG + GM = $7 + 3,5 = 10,5$ cm.
G là trọng tâm nên chia AM theo tỉ số AG : GM = 2 : 1, tức AG = 2 · GM = $7$ cm. Suy ra AM = AG + GM = $7 + 3,5 = 10,5$ cm.
3
AM là đường trung tuyến từ A. Nếu AB = AC thì tam giác cân tại A, khi đó AM đồng thời là đường cao và đường trung trực của BC (tính chất đã học ở Chương 4) — một đường thẳng duy nhất.
4
Vậy AM = $10,5$ cm; và vì G luôn nằm trên đường trung tuyến AM (theo chính định nghĩa trọng tâm), ba điểm A, G, M luôn thẳng hàng — dù tam giác có cân tại A hay không.
Vậy AM = $10,5$ cm; và vì G luôn nằm trên đường trung tuyến AM (theo chính định nghĩa trọng tâm), ba điểm A, G, M luôn thẳng hàng — dù tam giác có cân tại A hay không.

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm trọng tâm (giao ba trung tuyến, tỉ số 2:1 từ đỉnh) với điểm cách đều ba cạnh (giao ba phân giác). Hai điểm này thường là hai vị trí khác nhau trong cùng một tam giác — chỉ trùng nhau khi tam giác đều. Trước khi tính, luôn xác định rõ đường đang xét là trung tuyến hay phân giác.

Ghi nhớ

Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại trọng tâm, chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2:1 tính từ đỉnh. Ba đường phân giác đồng quy tại một điểm cách đều ba cạnh. Bài sau xét nốt hai loại đường còn lại — đường trung trực và đường cao — cũng đồng quy theo cách riêng của chúng.