Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Ôn tập: Tam giác cân và bốn đường trùng nhau
Mục tiêu bài học
Bài ôn tập này không có kiến thức mới — nó ghép lại toàn bộ công cụ đã học trong khóa (tổng ba góc, ba trường hợp bằng nhau, tam giác cân, đường vuông góc - xiên, bốn đường đồng quy) trong một bài toán tổng hợp, đúng dạng một bài kiểm tra hình học cuối chương.
Kiến thức nền cần nhớ
Toàn bộ bảy bài trước: tổng ba góc = $180°$ và góc ngoài (Chương 1); ba trường hợp bằng nhau c.c.c, c.g.c, g.c.g (Chương 2); cấu trúc một bài chứng minh (Chương 3); tam giác cân, tam giác đều, đường trung trực (Chương 4); đường vuông góc và đường xiên (Chương 5); bốn đường đồng quy — trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao (Chương 6).
Khởi động
Trong một tam giác cân, đường trung tuyến từ đỉnh cân, đường cao từ đỉnh cân, đường trung trực của cạnh đáy, và đường phân giác của góc ở đỉnh — bốn đường nghe có vẻ khác nhau này — liệu có phải bốn đường thẳng khác nhau, hay tất cả chỉ là MỘT đường duy nhất?
Bài toán tổng hợp: bốn đường trùng nhau trong tam giác cân
Câu trả lời cho câu hỏi khởi động chính là nội dung bài toán tổng hợp dưới đây — nó dùng lại đúng kỹ thuật của Chương 3 và Chương 4 (xét ΔABM và ΔACM theo c.c.c), rồi khai thác kết luận theo cả bốn hướng: trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác.
Lời giải có hình
Tam giác cân: trung tuyến, đường cao, đường trung trực xuất phát từ đỉnh cân là một
Bước 1
Tam giác ABC cân tại A (AB = AC), M là trung điểm của BC.
Vậy trong một tam giác cân, bốn đường đặc biệt xuất phát từ đỉnh cân — trung tuyến, đường cao, trung trực của đáy, phân giác của góc ở đỉnh — trùng làm một đường duy nhất. Đây không phải trùng hợp: tất cả đều xuất phát từ cùng một trục đối xứng của tam giác cân, thứ đã xuất hiện từ Chương 4. Với tam giác thường (không cân), bốn đường này tách thành bốn đường khác nhau, và bốn điểm đồng quy tương ứng (trọng tâm, tâm cách đều ba cạnh, tâm ngoại tiếp, trực tâm) cũng là bốn vị trí khác nhau.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Bài toán tổng hợp: góc ngoài và tam giác cân
1
Tam giác ABC cân tại A, góc ở đỉnh A = $46°$. Gọi D là điểm trên tia đối của tia CB (C nằm giữa B và D). Tính góc ACD (góc ngoài tại C).
2
Tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C (hai góc đáy bằng nhau), và góc B + góc C = $180° - 46° = 134°$, suy ra góc B = góc C = $67°$.
3
Góc ACD là góc ngoài tại C, bằng tổng hai góc trong không kề: góc ACD = góc A + góc B = $46° + 67° = 113°$.
4
Vậy góc ACD = $113°$. (Kiểm tra nhanh: góc ACD + góc ACB = $113° + 67° = 180°$, đúng vì hai góc kề bù.)
Ví dụ
Bài toán tổng hợp: trọng tâm trong tam giác cân
1
Tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến kiêm đường cao (M là trung điểm BC), AM = $12$ cm. Gọi G là trọng tâm. Tính AG và GM, rồi cho biết G có nằm trên đường trung trực của BC hay không.
2
G là trọng tâm nên chia AM theo tỉ số 2:1: AG = $\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ cm, GM = $\frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ cm.
3
Vì AM chính là đường trung trực của BC (đã chứng minh ở Chương 4 — tam giác cân có trung tuyến từ đỉnh cân đồng thời là trung trực của đáy), và G là một điểm nằm trên đoạn AM, nên G cũng nằm trên đường trung trực đó.
4
Vậy AG = $8$ cm, GM = $4$ cm, và G nằm trên đường trung trực của BC — do đó G cách đều B và C: GB = GC.
Nhận xét ở câu cuối cùng đáng nhớ: dù trọng tâm được định nghĩa qua ba đường trung tuyến còn tâm ngoại tiếp được định nghĩa qua ba đường trung trực — hai khái niệm nghe hoàn toàn khác nhau — trong tam giác cân, trọng tâm vẫn "thừa hưởng" tính chất cách đều hai đỉnh đáy, đơn giản vì nó tình cờ nằm trên chính đường trung trực đó. Đây là hệ quả của việc bốn đường đặc biệt cùng gộp vào một đường ở tam giác cân, không phải một tính chất riêng của trọng tâm.
Sai lầm thường gặp
Trong một bài toán tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất không phải tính sai một con số, mà là dùng nhầm một tính chất chỉ đúng cho tam giác cân (như "trung tuyến cũng là đường cao") cho một tam giác không có dữ kiện cân. Trước khi dùng một tính chất "trùng đường" nào, luôn kiểm tra lại đề bài có nói tam giác cân (hoặc đều) hay không.
Ghi nhớ
Khóa học khép lại với một kết quả gói gọn cả sáu chương: trong tam giác cân, trung tuyến - đường cao - trung trực - phân giác từ đỉnh cân là một đường duy nhất, còn với tam giác thường, bốn đường và bốn điểm đồng quy tách rời nhau. Nắm vững sự phân biệt cân/không cân này là chìa khóa để không áp dụng nhầm tính chất trong các bài kiểm tra hình học tiếp theo.
Toàn bộ bảy bài trước: tổng ba góc = 180° và góc ngoài (Chương 1); ba trường hợp bằng nhau c.c.c, c.g.c, g.c.g (Chương 2); cấu trúc một bài chứng minh (Chương 3); tam giác cân, tam giác đều, đường trung trực (Chương 4); đường vuông góc và đường xiên (Chương 5); bốn đường đồng quy — trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao (Chương 6).
Vậy trong một tam giác cân, bốn đường đặc biệt xuất phát từ đỉnh cân — trung tuyến, đường cao, trung trực của đáy, phân giác của góc ở đỉnh — trùng làm một đường duy nhất. Đây không phải trùng hợp: tất cả đều xuất phát từ cùng một trục đối xứng của tam giác cân, thứ đã xuất hiện từ Chương 4. Với tam giác thường (không cân), bốn đường này tách thành bốn đường khác nhau, và bốn điểm đồng quy tương ứng (trọng tâm, tâm cách đều ba cạnh, tâm ngoại tiếp, trực tâm) cũng là bốn vị trí khác nhau.
Tam giác ABC cân tại A, góc ở đỉnh A = 46°. Gọi D là điểm trên tia đối của tia CB (C nằm giữa B và D). Tính góc ACD (góc ngoài tại C).
Tam giác ABC cân tại A nên góc B = góc C (hai góc đáy bằng nhau), và góc B + góc C = 180°−46°=134°, suy ra góc B = góc C = 67°.
Góc ACD là góc ngoài tại C, bằng tổng hai góc trong không kề: góc ACD = góc A + góc B = 46°+67°=113°.
Vậy góc ACD = 113°. (Kiểm tra nhanh: góc ACD + góc ACB = 113°+67°=180°, đúng vì hai góc kề bù.)
Tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến kiêm đường cao (M là trung điểm BC), AM = 12 cm. Gọi G là trọng tâm. Tính AG và GM, rồi cho biết G có nằm trên đường trung trực của BC hay không.
G là trọng tâm nên chia AM theo tỉ số 2:1: AG = 32⋅12=8 cm, GM = 31⋅12=4 cm.
Vậy AG = 8 cm, GM = 4 cm, và G nằm trên đường trung trực của BC — do đó G cách đều B và C: GB = GC.
Nhận xét ở câu cuối cùng đáng nhớ: dù trọng tâm được định nghĩa qua ba đường trung tuyến còn tâm ngoại tiếp được định nghĩa qua ba đường trung trực — hai khái niệm nghe hoàn toàn khác nhau — trong tam giác cân, trọng tâm vẫn "thừa hưởng" tính chất cách đều hai đỉnh đáy, đơn giản vì nó tình cờ nằm trên chính đường trung trực đó. Đây là hệ quả của việc bốn đường đặc biệt cùng gộp vào một đường ở tam giác cân, không phải một tính chất riêng của trọng tâm.
Khóa học khép lại với một kết quả gói gọn cả sáu chương: trong tam giác cân, trung tuyến - đường cao - trung trực - phân giác từ đỉnh cân là một đường duy nhất, còn với tam giác thường, bốn đường và bốn điểm đồng quy tách rời nhau. Nắm vững sự phân biệt cân/không cân này là chìa khóa để không áp dụng nhầm tính chất trong các bài kiểm tra hình học tiếp theo.