Bài học

Phân tích đa thức thành nhân tử — chọn đúng phương pháp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra ngay một đa thức cho trước nên phân tích bằng phương pháp nào — đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức, hay phối hợp nhiều phương pháp — và thực hiện đúng phương pháp đã chọn thay vì thử bừa từng cách.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học bốn công cụ phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để lộ nhân tử chung, dùng một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, và phối hợp nhiều phương pháp trong một bài. Bài ôn tập này không dạy lại kỹ thuật của từng công cụ, mà dạy kỹ năng đứng trước một đa thức lạ, quyết định ngay công cụ nào phù hợp trước khi bắt tay vào tính.

Khởi động

Đứng trước một đa thức lạ, nhiều bạn thử bừa một phương pháp và loay hoay không ra. Có một cách đọc nhanh: kiểm tra hệ số chung trước tiên, rồi đếm số hạng tử còn lại và so khớp dạng với ba hằng đẳng thức quen thuộc — gần như luôn chỉ ra đúng một hướng đi phù hợp ngay từ bước đầu.

Cách đọc một đa thức để chọn phương pháp

Luôn thử đặt nhân tử chung trước tiên, kể cả khi đề đã trông giống một hằng đẳng thức — bỏ sót bước này khiến kết quả phân tích chưa triệt để. Sau khi đặt nhân tử chung (nếu có), đếm số hạng tử còn lại trong ngoặc: hai hạng tử thì kiểm tra ngay hiệu hai bình phương, hoặc tổng/hiệu hai lập phương; ba hạng tử thì kiểm tra bình phương của một tổng hoặc một hiệu, còn nếu không khớp thì thử tách hạng tử bậc nhất; bốn hạng tử trở lên thì thử nhóm thành từng cặp có chung nhân tử. Nếu không cụm nào khớp hằng đẳng thức, quay lại thử một cách nhóm khác trước khi kết luận đa thức không phân tích được thêm.

Ba tín hiệu bề mặt giúp em chọn nhanh: một hệ số hoặc biến lặp lại ở MỌI hạng tử báo hiệu đặt nhân tử chung; một hiệu hai bình phương hoàn hảo (cả hai số hạng đều là bình phương, nối bằng dấu trừ) báo hiệu hiệu hai bình phương; ba hạng tử mà hai đầu là bình phương còn hạng tử giữa gấp đôi tích hai căn báo hiệu bình phương của một tổng hoặc hiệu; còn bốn hạng tử không chia hết cho một nhân tử chung duy nhất gần như luôn cần nhóm theo cặp. Đọc đúng tín hiệu trước khi tính là điều một bài tập chỉ luyện một phương pháp không bao giờ đòi hỏi.

Chọn phương pháp phân tích nhân tử

Ví dụ

Đặt nhân tử chung rồi dùng hằng đẳng thức

1
Phân tích đa thức $A = 3x^3 - 12x$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $A = 3x^3 - 12x$ thành nhân tử.
2
Cả hai hạng tử đều chia hết cho $3x$ : $A = 3x(x^2-4)$ .
Cả hai hạng tử đều chia hết cho $3x$: $A = 3x(x^2-4)$.
3
Ngoặc còn lại $x^2-4$ có hai hạng tử, khớp dạng hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ với $A=x, B=2$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
Ngoặc còn lại $x^2-4$ có hai hạng tử, khớp dạng hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ với $A=x, B=2$: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
4
Vậy $A = 3x(x-2)(x+2)$ . Nếu dừng lại ở $3x(x^2-4)$ thì bài làm chưa phân tích triệt để, vì $x^2-4$ vẫn còn phân tích được.
Vậy $A = 3x(x-2)(x+2)$. Nếu dừng lại ở $3x(x^2-4)$ thì bài làm chưa phân tích triệt để, vì $x^2-4$ vẫn còn phân tích được.

Ví dụ

Nhóm hạng tử rồi giải phương trình bằng phân tích nhân tử (dạng thi)

1
Phân tích đa thức $B = x^3 - 2x^2 - 9x + 18$ thành nhân tử, rồi giải phương trình $x^3-2x^2-9x+18=0$ .
Phân tích đa thức $B = x^3 - 2x^2 - 9x + 18$ thành nhân tử, rồi giải phương trình $x^3-2x^2-9x+18=0$.
2
Bốn hạng tử, không có nhân tử chung cho cả bốn — thử nhóm thành hai cặp: $B = (x^3-2x^2) - (9x-18)$ .
Bốn hạng tử, không có nhân tử chung cho cả bốn — thử nhóm thành hai cặp: $B = (x^3-2x^2) - (9x-18)$.
3
$x^3-2x^2 = x^2(x-2)$ ; $9x-18=9(x-2)$ . Cả hai nhóm đều xuất hiện nhân tử chung $(x-2)$ : $B = x^2(x-2) - 9(x-2) = (x-2)(x^2-9)$ .
$x^3-2x^2 = x^2(x-2)$; $9x-18=9(x-2)$. Cả hai nhóm đều xuất hiện nhân tử chung $(x-2)$: $B = x^2(x-2) - 9(x-2) = (x-2)(x^2-9)$.
4
$x^2-9$ là hiệu hai bình phương: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Vậy $B=(x-2)(x-3)(x+3)$ .
$x^2-9$ là hiệu hai bình phương: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Vậy $B=(x-2)(x-3)(x+3)$.
5
$B=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)(x+3)=0$ . Một tích bằng $0$ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$ , nên $x-2=0$ hoặc $x-3=0$ hoặc $x+3=0$ , tức $x=2$ , $x=3$ , hoặc $x=-3$ .
$B=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)(x+3)=0$. Một tích bằng $0$ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$, nên $x-2=0$ hoặc $x-3=0$ hoặc $x+3=0$, tức $x=2$, $x=3$, hoặc $x=-3$.
6
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x=2$ , $x=3$ , $x=-3$ .
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x=2$, $x=3$, $x=-3$.

Có một trường hợp ba hạng tử không khớp bình phương của một tổng hay một hiệu — tam thức bậc hai dạng $ax^2+bx+c$ với $a\ne1$ hoặc hệ số không tạo thành một hằng đẳng thức trọn vẹn. Với dạng này, cách làm là tách hạng tử bậc nhất $bx$ thành hai hạng tử sao cho tích hai hệ số mới bằng $a\times c$ và tổng của chúng bằng $b$ , rồi nhóm lại — về bản chất đây vẫn là kỹ thuật nhóm hạng tử, chỉ khác ở chỗ phải tự tạo ra bốn hạng tử từ ba hạng tử ban đầu trước khi nhóm.

Có một trường hợp ba hạng tử không khớp bình phương của một tổng hay một hiệu — tam thức bậc hai dạng $ax^2+bx+c$ với $a\ne1$ hoặc hệ số không tạo thành một hằng đẳng thức trọn vẹn. Với dạng này, cách làm là tách hạng tử bậc nhất $bx$ thành hai hạng tử sao cho tích hai hệ số mới bằng $a\times c$ và tổng của chúng bằng $b$, rồi nhóm lại — về bản chất đây vẫn là kỹ thuật nhóm hạng tử, chỉ khác ở chỗ phải tự tạo ra bốn hạng tử từ ba hạng tử ban đầu trước khi nhóm.

Ví dụ

Tách hạng tử bậc nhất để phân tích tam thức bậc hai (mở rộng nhanh)

1
Phân tích đa thức $E=2x^2+5x+3$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $E=2x^2+5x+3$ thành nhân tử.
2
Cần tách $5x$ thành hai hạng tử có tích hệ số bằng $2\times3=6$ và tổng hệ số bằng $5$ : chọn $2$ và $3$ , vì $2\times3=6$ và $2+3=5$ .
Cần tách $5x$ thành hai hạng tử có tích hệ số bằng $2\times3=6$ và tổng hệ số bằng $5$: chọn $2$ và $3$, vì $2\times3=6$ và $2+3=5$.
3
$E=2x^2+2x+3x+3=(2x^2+2x)+(3x+3)=2x(x+1)+3(x+1)$ .
$E=2x^2+2x+3x+3=(2x^2+2x)+(3x+3)=2x(x+1)+3(x+1)$.
4
Cả hai nhóm đều có nhân tử chung $(x+1)$ : $E=(x+1)(2x+3)$ .
Cả hai nhóm đều có nhân tử chung $(x+1)$: $E=(x+1)(2x+3)$.
5
Nhân ngược: $(x+1)(2x+3)=2x^2+3x+2x+3=2x^2+5x+3$ , đúng bằng đa thức ban đầu.
Nhân ngược: $(x+1)(2x+3)=2x^2+3x+2x+3=2x^2+5x+3$, đúng bằng đa thức ban đầu.

Bẫy thường gặp

Lỗi hay gặp nhất: dừng phân tích quá sớm, ví dụ chỉ đặt nhân tử chung mà quên kiểm tra ngoặc còn lại có tiếp tục phân tích được không — như $3x(x^2-4)$ ở ví dụ 1, chưa phải kết quả cuối cùng. Lỗi thứ hai: nhóm sai cặp, ghép hai hạng tử không có nhân tử chung với nhau, khiến bước nhóm vô nghĩa và phải làm lại từ đầu. Lỗi thứ ba, riêng với cách tách hạng tử: chọn cặp số có tổng đúng nhưng tích sai (hoặc ngược lại) — luôn kiểm tra cả hai điều kiện, tích bằng $a\times c$ và tổng bằng $b$ , trước khi tách.

Quy trình chọn phương pháp: đặt nhân tử chung trước, đếm hạng tử còn lại, so khớp hằng đẳng thức hoặc thử nhóm, rồi luôn kiểm tra xem ngoặc kết quả có phân tích tiếp được không. Một đa thức đã phân tích thành tích các nhân tử còn giải được luôn cả phương trình tương ứng, bằng cách cho mỗi nhân tử bằng $0$ — kỹ năng này sẽ quay lại nhiều lần trong các chương phương trình và phân thức sắp tới.

Chương sau chuyển sang phân thức đại số — nơi phân tích nhân tử vừa học không còn là đích đến cuối cùng, mà trở thành bước đầu tiên để tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức.