Bài học

Rút gọn phân thức, điều kiện xác định và tính giá trị biểu thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn được một dạng bài rất hay gặp trong đề kiểm tra: phân tích tử và mẫu của một phân thức thành nhân tử, tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ), rút gọn phân thức, rồi tính giá trị của phân thức đó tại một giá trị $x$ tìm được từ việc giải một phương trình — bốn kỹ năng của bốn bài học khác nhau gộp lại trong một bài toán.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại đồng thời phân tích đa thức thành nhân tử (đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức, nhóm hạng tử), khái niệm ĐKXĐ và tính chất cơ bản của phân thức, và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn. Ba mảnh ghép này thường xuất hiện tách rời ở ba bài học khác nhau trong học kỳ; đề kiểm tra lại thích ghép chúng vào chung một câu hỏi dài.

Khởi động

Nếu một bài toán yêu cầu 'tính giá trị của phân thức $P$ tại $x$ là nghiệm của phương trình...', em phải làm việc theo đúng thứ tự nào trước, sau? Rút gọn $P$ trước hay giải phương trình trước? Bài học này trả lời câu hỏi đó bằng một quy trình cố định, áp dụng được cho mọi bài toán dạng này chứ không riêng một đề cụ thể.

Quy trình bốn bước

Với một bài toán dạng này, luôn làm theo đúng thứ tự sau. Thứ nhất, phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử. Thứ hai, từ mẫu đã phân tích, đọc ra ĐKXĐ — mọi nhân tử của mẫu đều phải khác $0$ . Thứ ba, rút gọn phân thức bằng cách giản ước nhân tử chung của tử và mẫu, nhưng ĐKXĐ vẫn giữ nguyên như ở bước hai, không đổi theo phân thức đã rút gọn. Thứ tư, giải phương trình đề cho để tìm $x$ , đối chiếu $x$ với ĐKXĐ — nếu $x$ vi phạm ĐKXĐ thì phân thức không xác định tại đó, còn nếu thoả mãn (TMĐK) thì thay vào phân thức đã rút gọn để tính giá trị.

Với một bài toán dạng này, luôn làm theo đúng thứ tự sau. Thứ nhất, phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử. Thứ hai, từ mẫu đã phân tích, đọc ra ĐKXĐ — mọi nhân tử của mẫu đều phải khác $0$. Thứ ba, rút gọn phân thức bằng cách giản ước nhân tử chung của tử và mẫu, nhưng ĐKXĐ vẫn giữ nguyên như ở bước hai, không đổi theo phân thức đã rút gọn. Thứ tư, giải phương trình đề cho để tìm $x$, đối chiếu $x$ với ĐKXĐ — nếu $x$ vi phạm ĐKXĐ thì phân thức không xác định tại đó, còn nếu thoả mãn (TMĐK) thì thay vào phân thức đã rút gọn để tính giá trị.

Khi một đề bài viết 'rút gọn rồi tính giá trị tại $x$ là nghiệm của phương trình...', đó là tín hiệu cho biết em đang đối mặt với BỐN bài toán nhỏ ghép nối tiếp nhau, chứ không phải một phép tính duy nhất: phân tích nhân tử (kỹ năng của Chương 1), tìm ĐKXĐ (khái niệm phân thức), rút gọn (giản ước), và giải phương trình bậc nhất (kỹ năng riêng của mảng phương trình). Bốn bài toán nhỏ này PHẢI làm đúng thứ tự — sai thứ tự, ví dụ giải phương trình trước rồi mới rút gọn phân thức, vẫn có thể ra đúng đáp số ở một vài trường hợp may mắn, nhưng sẽ sai ngay khi nghiệm phương trình trùng với một giá trị bị loại bởi ĐKXĐ, vì lúc đó không còn gì để 'thay số vào' cả — phân thức không xác định tại điểm đó.

ĐKXĐ đóng vai trò như một 'hàng rào' được dựng lên NGAY khi vừa nhìn thấy mẫu, trước khi làm bất cứ điều gì khác, và hàng rào đó không bao giờ bị dỡ bỏ dù phân thức có được rút gọn ngắn gọn đến đâu. Đây chính là kỷ luật ĐKXĐ đặc trưng của Toán 8: nêu điều kiện trước khi biến đổi, giữ nguyên điều kiện xuyên suốt bài làm, và kiểm tra lại (TMĐK) ngay tại bước thay số cuối cùng. Một bài làm bỏ qua bất kỳ ba khâu này đều bị xem là thiếu, dù đáp số cuối cùng có thể tình cờ đúng.

Quy trình rút gọn phân thức và tính giá trị

Ví dụ

Rút gọn phân thức và tính giá trị (mức cơ bản)

1
Cho $Q = \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$ . Rút gọn $Q$ , tìm ĐKXĐ, rồi tính $Q$ tại $x$ là nghiệm của phương trình $5x+5=20$ .
Cho $Q = \dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}$. Rút gọn $Q$, tìm ĐKXĐ, rồi tính $Q$ tại $x$ là nghiệm của phương trình $5x+5=20$.
2
Tử: $x^2-4x+4=(x-2)^2$ (bình phương của một hiệu). Mẫu: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ (hiệu hai bình phương).
Tử: $x^2-4x+4=(x-2)^2$ (bình phương của một hiệu). Mẫu: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ (hiệu hai bình phương).
3
Mẫu bằng $0$ khi $x-2=0$ hoặc $x+2=0$ , tức $x=2$ hoặc $x=-2$ . Vậy ĐKXĐ: $x \ne 2$ và $x \ne -2$ .
Mẫu bằng $0$ khi $x-2=0$ hoặc $x+2=0$, tức $x=2$ hoặc $x=-2$. Vậy ĐKXĐ: $x \ne 2$ và $x \ne -2$.
4
$Q = \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-2}{x+2}$ (với $x \ne 2, x \ne -2$ — ĐKXĐ vẫn giữ nguyên dù $(x-2)$ đã giản ước).
$Q = \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-2}{x+2}$ (với $x \ne 2, x \ne -2$ — ĐKXĐ vẫn giữ nguyên dù $(x-2)$ đã giản ước).
5
$5x+5=20 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$ .
$5x+5=20 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3$.
6
$x=3$ thoả mãn ĐKXĐ vì $3 \ne 2$ và $3 \ne -2$ (TMĐK). Thay vào phân thức đã rút gọn: $Q = \dfrac{3-2}{3+2} = \dfrac{1}{5}$ .
$x=3$ thoả mãn ĐKXĐ vì $3 \ne 2$ và $3 \ne -2$ (TMĐK). Thay vào phân thức đã rút gọn: $Q = \dfrac{3-2}{3+2} = \dfrac{1}{5}$.

Ví dụ

Phối hợp nhân tử chung và hằng đẳng thức (dạng thi)

1
Cho $R = \dfrac{2x^2-2}{x^2+2x+1}$ . Rút gọn $R$ , tìm ĐKXĐ, rồi tính $R$ tại $x$ là nghiệm của phương trình $4x-8=4$ .
Cho $R = \dfrac{2x^2-2}{x^2+2x+1}$. Rút gọn $R$, tìm ĐKXĐ, rồi tính $R$ tại $x$ là nghiệm của phương trình $4x-8=4$.
2
$2x^2-2 = 2(x^2-1) = 2(x-1)(x+1)$ — đặt nhân tử chung $2$ trước, rồi mới dùng hiệu hai bình phương.
$2x^2-2 = 2(x^2-1) = 2(x-1)(x+1)$ — đặt nhân tử chung $2$ trước, rồi mới dùng hiệu hai bình phương.
3
$x^2+2x+1=(x+1)^2$ (bình phương của một tổng).
$x^2+2x+1=(x+1)^2$ (bình phương của một tổng).
4
Mẫu $(x+1)^2=0$ khi $x=-1$ . Vậy ĐKXĐ: $x \ne -1$ .
Mẫu $(x+1)^2=0$ khi $x=-1$. Vậy ĐKXĐ: $x \ne -1$.
5
$R = \dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2(x-1)}{x+1}$ (với $x \ne -1$ ).
$R = \dfrac{2(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2(x-1)}{x+1}$ (với $x \ne -1$).
6
$4x-8=4 \Rightarrow 4x=12 \Rightarrow x=3$ .
$4x-8=4 \Rightarrow 4x=12 \Rightarrow x=3$.
7
$x=3$ thoả mãn ĐKXĐ vì $3 \ne -1$ (TMĐK). Thay vào: $R = \dfrac{2(3-1)}{3+1} = \dfrac{4}{4} = 1$ . Vậy $R=1$ khi $x=3$ .
$x=3$ thoả mãn ĐKXĐ vì $3 \ne -1$ (TMĐK). Thay vào: $R = \dfrac{2(3-1)}{3+1} = \dfrac{4}{4} = 1$. Vậy $R=1$ khi $x=3$.

Ví dụ

Nhóm hạng tử để phân tích tử số (dạng thi)

1
Cho $S = \dfrac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1}$ . Rút gọn $S$ , tìm ĐKXĐ, rồi tính $S$ tại $x$ là nghiệm của phương trình $3x-3=6$ .
Cho $S = \dfrac{x^3-x^2+x-1}{x^2-1}$. Rút gọn $S$, tìm ĐKXĐ, rồi tính $S$ tại $x$ là nghiệm của phương trình $3x-3=6$.
2
Bốn hạng tử, không có nhân tử chung cho cả bốn — nhóm: $x^3-x^2+x-1=(x^3-x^2)+(x-1)=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)$ .
Bốn hạng tử, không có nhân tử chung cho cả bốn — nhóm: $x^3-x^2+x-1=(x^3-x^2)+(x-1)=x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)$.
3
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ (hiệu hai bình phương).
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ (hiệu hai bình phương).
4
Mẫu bằng $0$ khi $x=1$ hoặc $x=-1$ . Vậy ĐKXĐ: $x \ne 1, x \ne -1$ .
Mẫu bằng $0$ khi $x=1$ hoặc $x=-1$. Vậy ĐKXĐ: $x \ne 1, x \ne -1$.
5
$S=\dfrac{(x-1)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+1}{x+1}$ (với $x\ne1, x\ne-1$ ). Lưu ý phân thức đã rút gọn KHÔNG còn cách nào để giản ước tiếp, vì $x^2+1$ không có nhân tử chung với $x+1$ .
$S=\dfrac{(x-1)(x^2+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+1}{x+1}$ (với $x\ne1, x\ne-1$). Lưu ý phân thức đã rút gọn KHÔNG còn cách nào để giản ước tiếp, vì $x^2+1$ không có nhân tử chung với $x+1$.
6
$3x-3=6 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3$ .
$3x-3=6 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3$.
7
$x=3$ thoả ĐKXĐ ( $3\ne1, 3\ne-1$ , TMĐK). Thay vào: $S=\dfrac{3^2+1}{3+1}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$ .
$x=3$ thoả ĐKXĐ ($3\ne1, 3\ne-1$, TMĐK). Thay vào: $S=\dfrac{3^2+1}{3+1}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$.

Bẫy thường gặp

Lỗi nặng nhất ở dạng bài này là tìm ĐKXĐ từ mẫu SAU khi đã rút gọn, thay vì từ mẫu gốc. Ở ví dụ 1, nếu chỉ nhìn mẫu đã rút gọn $x+2$ , em sẽ nghĩ ĐKXĐ chỉ là $x \ne -2$ và bỏ sót điều kiện $x \ne 2$ — dù $(x-2)$ đã giản ước, giá trị $x=2$ vẫn từng làm mẫu GỐC bằng $0$ , nên vẫn phải loại. Lỗi thứ hai: quên đối chiếu nghiệm phương trình với ĐKXĐ trước khi kết luận, thay số ngay cả khi $x$ thực ra không thoả mãn. Lỗi thứ ba, như ở ví dụ 3: cố giản ước tiếp một phân thức đã tối giản, ví dụ cố 'rút' $x^2+1$ và $x+1$ dù chúng không có nhân tử chung.

Lỗi nặng nhất ở dạng bài này là tìm ĐKXĐ từ mẫu SAU khi đã rút gọn, thay vì từ mẫu gốc. Ở ví dụ 1, nếu chỉ nhìn mẫu đã rút gọn $x+2$, em sẽ nghĩ ĐKXĐ chỉ là $x \ne -2$ và bỏ sót điều kiện $x \ne 2$ — dù $(x-2)$ đã giản ước, giá trị $x=2$ vẫn từng làm mẫu GỐC bằng $0$, nên vẫn phải loại. Lỗi thứ hai: quên đối chiếu nghiệm phương trình với ĐKXĐ trước khi kết luận, thay số ngay cả khi $x$ thực ra không thoả mãn. Lỗi thứ ba, như ở ví dụ 3: cố giản ước tiếp một phân thức đã tối giản, ví dụ cố 'rút' $x^2+1$ và $x+1$ dù chúng không có nhân tử chung.

Nhớ đúng thứ tự: phân tích nhân tử → đọc ĐKXĐ từ mẫu GỐC → rút gọn → giải phương trình → đối chiếu ĐKXĐ (TMĐK) → mới thay số. Đảo thứ tự bất kỳ bước nào, đặc biệt là đọc ĐKXĐ sau khi rút gọn, đều dễ dẫn đến sai sót không đáng có.

Bài học sau ôn lại việc giải phương trình bậc nhất ở nhiều dạng khác nhau — kể cả phương trình có ẩn ở mẫu như phân thức vừa gặp — rồi áp dụng vào các bài toán thực tế bằng cách lập phương trình.