Pythagore và tứ giác — bài toán phối hợp

Em đã học định lí Pythagore thuận (bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông) và định lí đảo của nó (nếu bình phương cạnh dài nhất bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó vuông); tổng bốn góc một tứ giác bằng $360°$; hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một đáy bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau; và các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi — trong đó dấu hiệu 'hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật' sẽ ghép trực tiếp với Pythagore đảo trong ví dụ dưới đây.

Chìa khoá của phần lớn bài toán tứ giác kết hợp Pythagore nằm ở một thao tác duy nhất: kẻ một đoạn vuông góc, dựng nên một tam giác vuông mới bên trong hình đã cho. Với hình thang, đó là đường cao hạ từ một đỉnh đáy nhỏ xuống đáy lớn. Với hình chữ nhật hay hình bình hành, đường chéo tự nó chia hình thành hai tam giác, và nếu biết hình đó có một góc vuông, tam giác tạo thành đã sẵn vuông, Pythagore áp dụng được ngay. Việc còn lại chỉ là xác định đúng độ dài các cạnh của tam giác vuông vừa lộ ra, dựa vào tính chất riêng của từng loại tứ giác — hình thang cân cho một cặp đoạn bằng nhau ở hai chân đường cao, còn hình chữ nhật hay hình bình hành cho sẵn độ dài hai cạnh kề nhau.

Tín hiệu để chọn Pythagore THUẬN hay Pythagore ĐẢO nằm ở chỗ đề đã cho hay chưa cho biết tam giác nào vuông. Nếu đề đã khẳng định một góc vuông (hình chữ nhật, hình vuông, hoặc nói rõ 'vuông tại'), và hỏi một cạnh còn thiếu — đó là Pythagore thuận, tính cạnh từ hai cạnh đã biết. Nếu đề cho đủ ba cạnh của một tam giác và hỏi tam giác đó có vuông hay không, hoặc yêu cầu chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật — đó là Pythagore đảo, kiểm tra hệ thức $a^2+b^2=c^2$ trước, rồi mới kết luận về góc.