Bài học

Cộng và trừ phân thức đại số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em cộng và trừ được các phân thức cùng mẫu và khác mẫu, biết quy đồng trước khi tính và rút gọn kết quả nếu có thể.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết quy đồng mẫu thức nhiều phân thức bằng MTC và nhân tử phụ. Em cũng cần nhớ quy tắc dấu ngoặc đã học ở lớp 7: khi trừ một tổng hay một hiệu, dấu của từng số hạng bên trong ngoặc phải đổi.

Khởi động

Cộng hai phân số khác mẫu, em quy đồng rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu chung. Với $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1}$ , quy trình có giống hệt không, hay việc trừ khiến dấu phải cẩn thận hơn?

Cộng hai phân số khác mẫu, em quy đồng rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu chung. Với $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1}$, quy trình có giống hệt không, hay việc trừ khiến dấu phải cẩn thận hơn?

Cộng, trừ cùng mẫu và khác mẫu

Cộng hoặc trừ hai phân thức cùng mẫu rất trực tiếp: giữ nguyên mẫu thức, cộng hoặc trừ các tử thức với nhau. Với $\dfrac{A}{C}$ và $\dfrac{B}{C}$ cùng mẫu $C$ (khác 0), ta có $\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A+B}{C}$ và $\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A-B}{C}$ . Sau khi cộng trừ tử, nếu tử và mẫu còn nhân tử chung, em rút gọn tiếp như bài trước.

Cộng hoặc trừ hai phân thức cùng mẫu rất trực tiếp: giữ nguyên mẫu thức, cộng hoặc trừ các tử thức với nhau. Với $\dfrac{A}{C}$ và $\dfrac{B}{C}$ cùng mẫu $C$ (khác 0), ta có $\dfrac{A}{C} + \dfrac{B}{C} = \dfrac{A+B}{C}$ và $\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A-B}{C}$. Sau khi cộng trừ tử, nếu tử và mẫu còn nhân tử chung, em rút gọn tiếp như bài trước.

Khi hai phân thức khác mẫu, em không được cộng trừ trực tiếp — phải quy đồng mẫu thức trước, đưa cả hai về cùng MTC như bài trước, rồi mới cộng trừ tử thức theo đúng quy tắc cùng mẫu. Cuối cùng, rút gọn kết quả nếu tử và mẫu còn nhân tử chung.

Quy tắc này giữ nguyên với ba phân thức trở lên: em vẫn quy đồng tất cả về một MTC chung duy nhất trước, rồi cộng trừ lần lượt các tử theo đúng thứ tự dấu trong đề bài — không được cộng trừ từng cặp phân thức riêng lẻ rồi mới quy đồng, vì làm vậy dễ nhầm lẫn giữa các mẫu trung gian khác nhau.

Khi trừ, em đặc biệt chú ý dấu của tử thức bị trừ: $\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A-B}{C}$ , phải trừ nguyên cả tử $B$ chứ không chỉ số hạng đầu của nó. Một tình huống hay gặp trong đề kiểm tra là hai mẫu thức đối nhau, ví dụ $x-3$ và $3-x$ : vì $3-x=-(x-3)$ , phân thức $\dfrac{B}{3-x}$ viết lại thành $\dfrac{-B}{x-3}$ trước khi quy đồng, để hai mẫu thức khớp nhau.

Khi trừ, em đặc biệt chú ý dấu của tử thức bị trừ: $\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A-B}{C}$, phải trừ nguyên cả tử $B$ chứ không chỉ số hạng đầu của nó. Một tình huống hay gặp trong đề kiểm tra là hai mẫu thức đối nhau, ví dụ $x-3$ và $3-x$: vì $3-x=-(x-3)$, phân thức $\dfrac{B}{3-x}$ viết lại thành $\dfrac{-B}{x-3}$ trước khi quy đồng, để hai mẫu thức khớp nhau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai phân thức cùng mẫu

1
Tính $\dfrac{x}{x+3} + \dfrac{2}{x+3}$ .
Tính $\dfrac{x}{x+3} + \dfrac{2}{x+3}$.
2
Mẫu thức chung có sẵn là $x+3$ , khác 0 khi $x \ne -3$ .
Mẫu thức chung có sẵn là $x+3$, khác 0 khi $x \ne -3$.
3
Hai phân thức cùng mẫu, cộng trực tiếp tử: $\dfrac{x}{x+3} + \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{x+2}{x+3}$ .
Hai phân thức cùng mẫu, cộng trực tiếp tử: $\dfrac{x}{x+3} + \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{x+2}{x+3}$.
4
Vậy $\dfrac{x}{x+3} + \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{x+2}{x+3}$ với $x \ne -3$ .
Vậy $\dfrac{x}{x+3} + \dfrac{2}{x+3} = \dfrac{x+2}{x+3}$ với $x \ne -3$.

Ví dụ

Cộng hai phân thức khác mẫu, cần quy đồng

1
Tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$ .
Tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$.
2
Mẫu thức lần lượt là $x$ và $x+1$ , khác 0 khi $x \ne 0$ và $x \ne -1$ .
Mẫu thức lần lượt là $x$ và $x+1$, khác 0 khi $x \ne 0$ và $x \ne -1$.
3
Như bài trước, MTC $=x(x+1)$ , quy đồng được $\dfrac{x+1}{x(x+1)}$ và $\dfrac{x}{x(x+1)}$ . Cộng hai tử: $\dfrac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$ .
Như bài trước, MTC $=x(x+1)$, quy đồng được $\dfrac{x+1}{x(x+1)}$ và $\dfrac{x}{x(x+1)}$. Cộng hai tử: $\dfrac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$.
4
Vậy $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$ với $x \ne 0, x \ne -1$ .
Vậy $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}$ với $x \ne 0, x \ne -1$.

Ví dụ

Trừ hai phân thức khác mẫu

1
Tính $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1}$ .
Tính $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1}$.
2
Mẫu thức lần lượt là $x-1$ và $x+1$ , khác 0 khi $x \ne 1$ và $x \ne -1$ .
Mẫu thức lần lượt là $x-1$ và $x+1$, khác 0 khi $x \ne 1$ và $x \ne -1$.
3
MTC $=(x-1)(x+1)$ . Quy đồng: $\dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ , $\dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2x-2}{x^2-1}$ . Trừ hai tử: $\dfrac{(x^2+x)-(2x-2)}{x^2-1} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$ .
MTC $=(x-1)(x+1)$. Quy đồng: $\dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x^2+x}{x^2-1}$, $\dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2x-2}{x^2-1}$. Trừ hai tử: $\dfrac{(x^2+x)-(2x-2)}{x^2-1} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$.
4
Vậy $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$ với $x \ne 1, x \ne -1$ . Tử thức $x^2-x+2$ không phân tích được với mẫu, nên đây đã là kết quả tối giản.
Vậy $\dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$ với $x \ne 1, x \ne -1$. Tử thức $x^2-x+2$ không phân tích được với mẫu, nên đây đã là kết quả tối giản.

Ví dụ

Trừ phân thức có hai mẫu đối nhau

1
Tính $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{x-6}{3-x}$ .
Tính $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{x-6}{3-x}$.
2
Mẫu thức $x-3$ và $3-x$ cùng khác 0 khi $x \ne 3$ .
Mẫu thức $x-3$ và $3-x$ cùng khác 0 khi $x \ne 3$.
3
Vì $3-x=-(x-3)$ , ta viết lại $\dfrac{x-6}{3-x} = \dfrac{-(x-6)}{x-3} = \dfrac{6-x}{x-3}$ . Vậy $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{x-6}{3-x} = \dfrac{x}{x-3} - \dfrac{6-x}{x-3}$ .
Vì $3-x=-(x-3)$, ta viết lại $\dfrac{x-6}{3-x} = \dfrac{-(x-6)}{x-3} = \dfrac{6-x}{x-3}$. Vậy $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{x-6}{3-x} = \dfrac{x}{x-3} - \dfrac{6-x}{x-3}$.
4
$\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{6-x}{x-3} = \dfrac{x-(6-x)}{x-3} = \dfrac{2x-6}{x-3}$ . Vì $2x-6=2(x-3)$ , rút gọn $\dfrac{2(x-3)}{x-3}=2$ .
$\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{6-x}{x-3} = \dfrac{x-(6-x)}{x-3} = \dfrac{2x-6}{x-3}$. Vì $2x-6=2(x-3)$, rút gọn $\dfrac{2(x-3)}{x-3}=2$.
5
Vậy $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{x-6}{3-x} = 2$ với $x \ne 3$ — kết quả là một hằng số, không còn chứa $x$ .
Vậy $\dfrac{x}{x-3} - \dfrac{x-6}{3-x} = 2$ với $x \ne 3$ — kết quả là một hằng số, không còn chứa $x$.

Ví dụ

Phối hợp cộng và trừ ba phân thức

1
Tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x(x-1)}$ .
Tính $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x(x-1)}$.
2
Mẫu thức $x$ , $x-1$ , $x(x-1)$ khác 0 khi $x \ne 0$ và $x \ne 1$ .
Mẫu thức $x$, $x-1$, $x(x-1)$ khác 0 khi $x \ne 0$ và $x \ne 1$.
3
MTC $=x(x-1)$ . Quy đồng: $\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x(x-1)}$ , $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x(x-1)}$ , còn $\dfrac{2}{x(x-1)}$ đã đúng mẫu.
MTC $=x(x-1)$. Quy đồng: $\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x(x-1)}$, $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x}{x(x-1)}$, còn $\dfrac{2}{x(x-1)}$ đã đúng mẫu.
4
$\dfrac{(x-1)+x-2}{x(x-1)} = \dfrac{2x-3}{x(x-1)}$ . Tử thức $2x-3$ không có nhân tử chung với mẫu, nên đây đã là kết quả tối giản.
$\dfrac{(x-1)+x-2}{x(x-1)} = \dfrac{2x-3}{x(x-1)}$. Tử thức $2x-3$ không có nhân tử chung với mẫu, nên đây đã là kết quả tối giản.
5
Vậy $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x(x-1)} = \dfrac{2x-3}{x(x-1)}$ với $x \ne 0, x \ne 1$ .
Vậy $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2}{x(x-1)} = \dfrac{2x-3}{x(x-1)}$ với $x \ne 0, x \ne 1$.

Mẹo tự kiểm tra

Sau khi cộng trừ xong, em có thể tự kiểm tra kết quả bằng cách thay một giá trị cụ thể (thỏa ĐKXĐ) vào cả biểu thức gốc lẫn kết quả đã rút gọn — hai bên phải cho cùng một số. Ở ví dụ 3, thay $x=2$ vào $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}$ gốc được $2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$ , và thay vào kết quả $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$ cũng được $\dfrac{4-2+2}{4-1}=\dfrac{4}{3}$ — khớp nhau, nên kết quả đáng tin.

Sau khi cộng trừ xong, em có thể tự kiểm tra kết quả bằng cách thay một giá trị cụ thể (thỏa ĐKXĐ) vào cả biểu thức gốc lẫn kết quả đã rút gọn — hai bên phải cho cùng một số. Ở ví dụ 3, thay $x=2$ vào $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}$ gốc được $2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$, và thay vào kết quả $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$ cũng được $\dfrac{4-2+2}{4-1}=\dfrac{4}{3}$ — khớp nhau, nên kết quả đáng tin.

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất khi trừ khác mẫu là quên đổi dấu toàn bộ tử thức bị trừ — chỉ đổi dấu số hạng đầu tiên rồi giữ nguyên số hạng sau, ra sai kết quả. Lỗi thứ hai xảy ra khi hai mẫu đối nhau như $x-3$ và $3-x$ : có bạn coi hai mẫu này "khác nhau hoàn toàn" rồi đi tìm MTC bằng cách nhân trực tiếp $(x-3)(3-x)$ , khiến bài toán phức tạp không cần thiết — trong khi chỉ cần nhận ra $3-x=-(x-3)$ là quy được về cùng một mẫu ngay. Lỗi thứ ba, khi cộng trừ từ ba phân thức trở lên như ví dụ trên, là quên kiểm tra phân thức nào đã có sẵn đúng mẫu MTC — phân thức $\dfrac{2}{x(x-1)}$ ở trên không cần nhân tử phụ, chỉ những phân thức chưa đúng mẫu mới cần quy đồng.

Lỗi hay gặp nhất khi trừ khác mẫu là quên đổi dấu toàn bộ tử thức bị trừ — chỉ đổi dấu số hạng đầu tiên rồi giữ nguyên số hạng sau, ra sai kết quả. Lỗi thứ hai xảy ra khi hai mẫu đối nhau như $x-3$ và $3-x$: có bạn coi hai mẫu này "khác nhau hoàn toàn" rồi đi tìm MTC bằng cách nhân trực tiếp $(x-3)(3-x)$, khiến bài toán phức tạp không cần thiết — trong khi chỉ cần nhận ra $3-x=-(x-3)$ là quy được về cùng một mẫu ngay. Lỗi thứ ba, khi cộng trừ từ ba phân thức trở lên như ví dụ trên, là quên kiểm tra phân thức nào đã có sẵn đúng mẫu MTC — phân thức $\dfrac{2}{x(x-1)}$ ở trên không cần nhân tử phụ, chỉ những phân thức chưa đúng mẫu mới cần quy đồng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cộng trừ phân thức cùng mẫu thì cộng trừ tử, giữ nguyên mẫu. Khác mẫu thì quy đồng trước. Khi trừ, đổi dấu đúng cho toàn bộ tử bị trừ; khi hai mẫu đối nhau, đổi dấu một mẫu để đưa về cùng mẫu trước khi quy đồng.

Bẫy mẫu đối nhau như ở ví dụ 4 xuất hiện rất thường xuyên trong đề kiểm tra giữa kì và cuối kì lớp 8, thường được cài cùng một câu với yêu cầu tính giá trị, để kiểm tra cả kỹ năng đổi dấu lẫn kỹ năng đối chiếu ĐKXĐ trong cùng một câu hỏi.

Bài tiếp theo học hai phép tính còn lại — nhân và chia phân thức — để hoàn thiện bốn phép tính trên phân thức đại số.