Bài học

Tính chất cơ bản và rút gọn phân thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng tính chất cơ bản của phân thức và dùng nó để rút gọn một phân thức về dạng đơn giản nhất, luôn kèm theo ĐKXĐ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết cách tìm ĐKXĐ của một phân thức bằng cách cho mẫu thức bằng 0 và phân tích nhân tử khi cần. Em cũng cần nhớ lại các hằng đẳng thức đáng nhớ — bình phương một tổng, bình phương một hiệu, hiệu hai bình phương — vì rút gọn phân thức gần như luôn bắt đầu bằng việc phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Khởi động

Với phân số, em từng rút gọn $\dfrac{6}{8}$ thành $\dfrac{3}{4}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2. Với phân thức $\dfrac{6x^2y}{3xy}$ , liệu có cách rút gọn tương tự, khi tử và mẫu bây giờ là hai đa thức chứ không còn là hai số?

Với phân số, em từng rút gọn $\dfrac{6}{8}$ thành $\dfrac{3}{4}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2. Với phân thức $\dfrac{6x^2y}{3xy}$, liệu có cách rút gọn tương tự, khi tử và mẫu bây giờ là hai đa thức chứ không còn là hai số?

Tính chất cơ bản của phân thức

Tính chất cơ bản của phân thức phát biểu giống hệt tính chất em đã học với phân số: nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Với $M$ là một đa thức khác 0 và $N$ là một nhân tử chung của cả $A$ và $B$ : $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A:N}{B:N}$ .

Tính chất cơ bản của phân thức phát biểu giống hệt tính chất em đã học với phân số: nhân hoặc chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Với $M$ là một đa thức khác 0 và $N$ là một nhân tử chung của cả $A$ và $B$: $\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} = \dfrac{A:N}{B:N}$.

Vì sao tính chất này đúng? Với mọi giá trị $x$ thỏa ĐKXĐ (làm cả $B$ và $M$ khác 0), nhân tử $M$ xuất hiện ở cả tử lẫn mẫu của $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ triệt tiêu lẫn nhau khi tính giá trị số, nên hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{A \cdot M}{B \cdot M}$ luôn cho cùng một giá trị tại mọi $x$ đó — đây chính là lý do em được phép "thêm vào" hoặc "bớt đi" cùng một nhân tử $M$ ở cả tử và mẫu mà không làm phân thức thay đổi giá trị.

Rút gọn 6/8 cho 2 ở cả tử và mẫu ra 3/4 — đúng nguyên tắc phân thức áp dụng ngay sau đây với tử, mẫu là đa thức.

Rút gọn một phân thức nghĩa là dùng tính chất cơ bản để đưa nó về dạng có tử và mẫu không còn nhân tử chung nào (ngoài 1 và $-1$ ). Quy trình gồm ba bước: tìm ĐKXĐ trước tiên, phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử, rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Thứ tự này không đổi được — ĐKXĐ phải tìm trước khi rút gọn, vì sau khi rút gọn, phân thức mới trông đơn giản hơn có thể che mất giá trị bị cấm ban đầu. Ví dụ $\dfrac{x^2-4}{x+2}$ rút gọn thành $x-2$ , nhưng $x=-2$ vẫn phải bị loại, dù biểu thức $x-2$ sau khi rút gọn không còn dấu hiệu nào cho thấy điều đó.

Rút gọn một phân thức nghĩa là dùng tính chất cơ bản để đưa nó về dạng có tử và mẫu không còn nhân tử chung nào (ngoài 1 và $-1$). Quy trình gồm ba bước: tìm ĐKXĐ trước tiên, phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử, rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Thứ tự này không đổi được — ĐKXĐ phải tìm trước khi rút gọn, vì sau khi rút gọn, phân thức mới trông đơn giản hơn có thể che mất giá trị bị cấm ban đầu. Ví dụ $\dfrac{x^2-4}{x+2}$ rút gọn thành $x-2$, nhưng $x=-2$ vẫn phải bị loại, dù biểu thức $x-2$ sau khi rút gọn không còn dấu hiệu nào cho thấy điều đó.

Sau khi rút gọn, nếu đề bài yêu cầu tính giá trị phân thức tại một số cụ thể, em kiểm tra số đó có thỏa ĐKXĐ hay không trước khi thay vào. Nếu thỏa, ghi rõ "Với $x=a$ (TMĐK)…" rồi thay vào biểu thức đã rút gọn để tính nhanh hơn. Nếu giá trị đó vi phạm ĐKXĐ, phân thức không xác định tại đó — đây là điều học sinh hay bỏ qua nhất khi làm bài kiểm tra.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn phân thức có tử và mẫu là đơn thức

1
Rút gọn phân thức $\dfrac{6x^2y}{3xy}$ .
Rút gọn phân thức $\dfrac{6x^2y}{3xy}$.
2
Mẫu thức $3xy$ khác 0 khi $x \ne 0$ và $y \ne 0$ .
Mẫu thức $3xy$ khác 0 khi $x \ne 0$ và $y \ne 0$.
3
Ta có $6x^2y = 3xy \cdot 2x$ , nên $\dfrac{6x^2y}{3xy} = \dfrac{3xy \cdot 2x}{3xy} = 2x$ .
Ta có $6x^2y = 3xy \cdot 2x$, nên $\dfrac{6x^2y}{3xy} = \dfrac{3xy \cdot 2x}{3xy} = 2x$.
4
Vậy $\dfrac{6x^2y}{3xy} = 2x$ với $x \ne 0, y \ne 0$ .
Vậy $\dfrac{6x^2y}{3xy} = 2x$ với $x \ne 0, y \ne 0$.

Ví dụ

Rút gọn phân thức dùng hằng đẳng thức

1
Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2-4}{x+2}$ .
Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2-4}{x+2}$.
2
Mẫu thức $x+2$ khác 0 khi $x \ne -2$ .
Mẫu thức $x+2$ khác 0 khi $x \ne -2$.
3
Theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , nên $\dfrac{x^2-4}{x+2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$ .
Theo hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, $x^2-4=(x-2)(x+2)$, nên $\dfrac{x^2-4}{x+2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$.
4
Vậy $\dfrac{x^2-4}{x+2} = x-2$ với $x \ne -2$ . Với $x=3$ (TMĐK vì $3 \ne -2$ ), giá trị phân thức là $3-2=1$ .
Vậy $\dfrac{x^2-4}{x+2} = x-2$ với $x \ne -2$. Với $x=3$ (TMĐK vì $3 \ne -2$), giá trị phân thức là $3-2=1$.

Ví dụ

Rút gọn phân thức có mẫu bậc hai cần phân tích cả hai vế

1
Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}$ .
Rút gọn phân thức $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}$.
2
Mẫu thức $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , khác 0 khi $x \ne 2$ và $x \ne -2$ .
Mẫu thức $x^2-4=(x-2)(x+2)$, khác 0 khi $x \ne 2$ và $x \ne -2$.
3
Tử thức phân tích được $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ . Do đó $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-3}{x+2}$ .
Tử thức phân tích được $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Do đó $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-3}{x+2}$.
4
Vậy $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \dfrac{x-3}{x+2}$ với $x \ne 2, x \ne -2$ . Với $x=0$ (TMĐK), giá trị phân thức là $\dfrac{0-3}{0+2} = -\dfrac{3}{2}$ .
Vậy $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4} = \dfrac{x-3}{x+2}$ với $x \ne 2, x \ne -2$. Với $x=0$ (TMĐK), giá trị phân thức là $\dfrac{0-3}{0+2} = -\dfrac{3}{2}$.

Ví dụ

Rút gọn phân thức có tử là đa thức bậc ba

1
Rút gọn phân thức $\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1}$ .
Rút gọn phân thức $\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1}$.
2
Mẫu thức $x^2-1=(x-1)(x+1)$ khác 0 khi $x \ne 1$ và $x \ne -1$ .
Mẫu thức $x^2-1=(x-1)(x+1)$ khác 0 khi $x \ne 1$ và $x \ne -1$.
3
Tử thức đặt nhân tử chung: $x^3-x^2 = x^2(x-1)$ . Do đó $\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2}{x+1}$ .
Tử thức đặt nhân tử chung: $x^3-x^2 = x^2(x-1)$. Do đó $\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2}{x+1}$.
4
Vậy $\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2}{x+1}$ với $x \ne 1, x \ne -1$ — chú ý $x \ne 1$ vẫn giữ trong ĐKXĐ dù nhân tử $(x-1)$ đã bị rút gọn khỏi biểu thức cuối.
Vậy $\dfrac{x^3-x^2}{x^2-1} = \dfrac{x^2}{x+1}$ với $x \ne 1, x \ne -1$ — chú ý $x \ne 1$ vẫn giữ trong ĐKXĐ dù nhân tử $(x-1)$ đã bị rút gọn khỏi biểu thức cuối.

Sai lầm thường gặp

Lỗi nặng nhất ở bài này là rút gọn xong mà không nêu ĐKXĐ — bài làm chỉ còn $x-2$ mà không ai biết $x=-2$ vẫn bị cấm suốt từ đầu. Lỗi thứ hai là chỉ được chia cả tử và mẫu cho một NHÂN TỬ chung, không được chia riêng từng số hạng: nhiều bạn rút gọn $\dfrac{x+2}{x+5}$ thành $\dfrac{2}{5}$ , tưởng như "bỏ $x$ ở cả hai bên", nhưng $x$ không phải nhân tử của $x+2$ hay $x+5$ nên phép "rút gọn" này sai hoàn toàn — $x+2$ và $x+5$ không có nhân tử chung nào khác 1, nên phân thức đó vốn đã tối giản. Lỗi thứ ba, như ở ví dụ trên, là quên giữ lại giá trị bị cấm của một nhân tử đã bị rút gọn mất khỏi biểu thức — nhân tử $(x-1)$ không còn xuất hiện trong $\dfrac{x^2}{x+1}$ , nhưng $x \ne 1$ vẫn phải ghi trong ĐKXĐ vì nó thuộc mẫu thức gốc.

Lỗi nặng nhất ở bài này là rút gọn xong mà không nêu ĐKXĐ — bài làm chỉ còn $x-2$ mà không ai biết $x=-2$ vẫn bị cấm suốt từ đầu. Lỗi thứ hai là chỉ được chia cả tử và mẫu cho một NHÂN TỬ chung, không được chia riêng từng số hạng: nhiều bạn rút gọn $\dfrac{x+2}{x+5}$ thành $\dfrac{2}{5}$, tưởng như "bỏ $x$ ở cả hai bên", nhưng $x$ không phải nhân tử của $x+2$ hay $x+5$ nên phép "rút gọn" này sai hoàn toàn — $x+2$ và $x+5$ không có nhân tử chung nào khác 1, nên phân thức đó vốn đã tối giản. Lỗi thứ ba, như ở ví dụ trên, là quên giữ lại giá trị bị cấm của một nhân tử đã bị rút gọn mất khỏi biểu thức — nhân tử $(x-1)$ không còn xuất hiện trong $\dfrac{x^2}{x+1}$, nhưng $x \ne 1$ vẫn phải ghi trong ĐKXĐ vì nó thuộc mẫu thức gốc.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức cho phép nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0. Rút gọn là áp dụng tính chất này để loại nhân tử chung, theo đúng thứ tự: tìm ĐKXĐ, phân tích nhân tử, rồi rút gọn — và ĐKXĐ luôn đi kèm kết quả cuối cùng.

Trên đề kiểm tra, câu hỏi rút gọn phân thức hiếm khi dừng ở một bước phân tích duy nhất — đề thường ghép sẵn một hằng đẳng thức với một nhân tử chung, hoặc yêu cầu tính thêm giá trị sau khi rút gọn, đúng như hai ví dụ khó nhất ở trên.

Bài tiếp theo dùng lại kỹ năng phân tích nhân tử này để quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức cùng lúc.