Bài học

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em quy đồng được mẫu thức của hai hay nhiều phân thức, bằng cách tìm mẫu thức chung (MTC) và nhân tử phụ tương ứng.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử vừa luyện ở bài rút gọn, và nhắc lại cách quy đồng mẫu số hai phân số ở tiểu học: tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu, rồi nhân cả tử và mẫu mỗi phân số với thừa số thích hợp.

Khởi động

Muốn cộng $\dfrac{1}{4}$ và $\dfrac{1}{6}$ , em quy đồng về mẫu số chung 12 trước khi cộng hai tử. Với hai phân thức $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{x+1}$ , mẫu thức không còn là số cụ thể nữa — vậy "mẫu thức chung" của chúng là gì, và tìm bằng cách nào?

Muốn cộng $\dfrac{1}{4}$ và $\dfrac{1}{6}$, em quy đồng về mẫu số chung 12 trước khi cộng hai tử. Với hai phân thức $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{x+1}$, mẫu thức không còn là số cụ thể nữa — vậy "mẫu thức chung" của chúng là gì, và tìm bằng cách nào?

Mẫu thức chung và nhân tử phụ

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới bằng chúng, có cùng một mẫu thức, gọi tắt là mẫu thức chung (MTC). Cách làm song song với quy đồng mẫu số phân số, chỉ khác ở chỗ "bội chung nhỏ nhất" của các số nay trở thành "tích các nhân tử chung và riêng" của các đa thức mẫu.

Quy đồng 1/4 và 1/6 về mẫu chung 12 — đúng nguyên tắc dùng lại ngay sau đây với phân thức chứa biến.

Muốn tìm MTC của nhiều phân thức, em phân tích từng mẫu thức thành nhân tử, rồi lấy MTC là tích của: mọi nhân tử chung, mỗi nhân tử lấy với số mũ lớn nhất nó xuất hiện, và mọi nhân tử riêng của từng mẫu. Sau khi có MTC, với mỗi phân thức, em tìm nhân tử phụ — bằng cách lấy MTC chia cho mẫu thức của chính phân thức đó — rồi nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Kết quả là các phân thức mới, bằng phân thức cũ, cùng chung một mẫu thức là MTC.

Vì sao phải lấy số mũ LỚN NHẤT khi một nhân tử xuất hiện ở nhiều mẫu với số mũ khác nhau? MTC phải là một bội chung của mọi mẫu thức — nghĩa là mỗi mẫu phải "chia hết" vào MTC để tìm được nhân tử phụ. Nếu lấy số mũ nhỏ hơn số mũ cao nhất đã xuất hiện, mẫu thức có số mũ cao đó sẽ không chia hết vào MTC, và bước tìm nhân tử phụ sẽ thất bại ngay từ đầu.

ĐKXĐ của bài toán quy đồng là giao ĐKXĐ của từng phân thức ban đầu — vì MTC được ghép từ đúng các nhân tử đã có trong các mẫu gốc, nên tập giá trị bị cấm của MTC luôn trùng khớp với hợp các giá trị bị cấm của từng mẫu ban đầu.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Quy đồng hai phân thức có mẫu là đơn thức và nhị thức

1
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{x+1}$ .
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{1}{x+1}$.
2
Hai mẫu thức $x$ và $x+1$ không có nhân tử chung, nên MTC là tích của chúng: $x(x+1)$ .
Hai mẫu thức $x$ và $x+1$ không có nhân tử chung, nên MTC là tích của chúng: $x(x+1)$.
3
Nhân tử phụ của $\dfrac{1}{x}$ là $x+1$ , của $\dfrac{1}{x+1}$ là $x$ . Vậy $\dfrac{1}{x} = \dfrac{x+1}{x(x+1)}$ và $\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x}{x(x+1)}$ .
Nhân tử phụ của $\dfrac{1}{x}$ là $x+1$, của $\dfrac{1}{x+1}$ là $x$. Vậy $\dfrac{1}{x} = \dfrac{x+1}{x(x+1)}$ và $\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x}{x(x+1)}$.
4
Vậy hai phân thức sau khi quy đồng là $\dfrac{x+1}{x(x+1)}$ và $\dfrac{x}{x(x+1)}$ , với ĐKXĐ chung $x \ne 0, x \ne -1$ .
Vậy hai phân thức sau khi quy đồng là $\dfrac{x+1}{x(x+1)}$ và $\dfrac{x}{x(x+1)}$, với ĐKXĐ chung $x \ne 0, x \ne -1$.

Ví dụ

Quy đồng hai phân thức có mẫu là nhị thức khác nhau

1
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{x}{x-1}$ và $\dfrac{2}{x+1}$ .
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{x}{x-1}$ và $\dfrac{2}{x+1}$.
2
Hai mẫu thức $x-1$ và $x+1$ không có nhân tử chung, nên MTC là $(x-1)(x+1)$ .
Hai mẫu thức $x-1$ và $x+1$ không có nhân tử chung, nên MTC là $(x-1)(x+1)$.
3
Nhân tử phụ của $\dfrac{x}{x-1}$ là $x+1$ , của $\dfrac{2}{x+1}$ là $x-1$ . Ta có $\dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ và $\dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$ .
Nhân tử phụ của $\dfrac{x}{x-1}$ là $x+1$, của $\dfrac{2}{x+1}$ là $x-1$. Ta có $\dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$ và $\dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)}$.
4
Vậy hai phân thức sau khi quy đồng là $\dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ và $\dfrac{2x-2}{x^2-1}$ , với ĐKXĐ chung $x \ne 1, x \ne -1$ .
Vậy hai phân thức sau khi quy đồng là $\dfrac{x^2+x}{x^2-1}$ và $\dfrac{2x-2}{x^2-1}$, với ĐKXĐ chung $x \ne 1, x \ne -1$.

Ví dụ

Quy đồng khi các mẫu có chung một nhân tử lặp

1
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{1}{x^2-1}$ và $\dfrac{1}{x^2-2x+1}$ .
Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\dfrac{1}{x^2-1}$ và $\dfrac{1}{x^2-2x+1}$.
2
Ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$ và $x^2-2x+1=(x-1)^2$ (hằng đẳng thức bình phương một hiệu).
Ta có $x^2-1=(x-1)(x+1)$ và $x^2-2x+1=(x-1)^2$ (hằng đẳng thức bình phương một hiệu).
3
Nhân tử chung là $(x-1)$ , xuất hiện với số mũ lớn nhất là 2 (ở mẫu thứ hai); nhân tử riêng là $(x+1)$ . Vậy MTC $= (x-1)^2(x+1)$ .
Nhân tử chung là $(x-1)$, xuất hiện với số mũ lớn nhất là 2 (ở mẫu thứ hai); nhân tử riêng là $(x+1)$. Vậy MTC $= (x-1)^2(x+1)$.
4
Nhân tử phụ của $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$ là $(x-1)$ , của $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ là $(x+1)$ . Ta được $\dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{x-1}{(x-1)^2(x+1)}$ và $\dfrac{1}{x^2-2x+1} = \dfrac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}$ , với ĐKXĐ chung $x \ne 1, x \ne -1$ .
Nhân tử phụ của $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}$ là $(x-1)$, của $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ là $(x+1)$. Ta được $\dfrac{1}{x^2-1} = \dfrac{x-1}{(x-1)^2(x+1)}$ và $\dfrac{1}{x^2-2x+1} = \dfrac{x+1}{(x-1)^2(x+1)}$, với ĐKXĐ chung $x \ne 1, x \ne -1$.

Ví dụ

Quy đồng ba phân thức cùng lúc

1
Quy đồng mẫu thức ba phân thức $\dfrac{1}{x-2}$ , $\dfrac{1}{x+2}$ và $\dfrac{3}{x^2-4}$ .
Quy đồng mẫu thức ba phân thức $\dfrac{1}{x-2}$, $\dfrac{1}{x+2}$ và $\dfrac{3}{x^2-4}$.
2
Phân tích $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Nhân tử chung của cả ba mẫu là $(x-2)$ và $(x+2)$ , mỗi nhân tử đã đủ số mũ 1 ở mẫu thứ ba, nên MTC $=(x-2)(x+2)=x^2-4$ — không cần thêm nhân tử nào khác.
Phân tích $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Nhân tử chung của cả ba mẫu là $(x-2)$ và $(x+2)$, mỗi nhân tử đã đủ số mũ 1 ở mẫu thứ ba, nên MTC $=(x-2)(x+2)=x^2-4$ — không cần thêm nhân tử nào khác.
3
Nhân tử phụ của $\dfrac{1}{x-2}$ là $(x+2)$ , của $\dfrac{1}{x+2}$ là $(x-2)$ , còn $\dfrac{3}{x^2-4}$ đã đúng mẫu MTC nên giữ nguyên. Ta được $\dfrac{x+2}{x^2-4}$ , $\dfrac{x-2}{x^2-4}$ và $\dfrac{3}{x^2-4}$ .
Nhân tử phụ của $\dfrac{1}{x-2}$ là $(x+2)$, của $\dfrac{1}{x+2}$ là $(x-2)$, còn $\dfrac{3}{x^2-4}$ đã đúng mẫu MTC nên giữ nguyên. Ta được $\dfrac{x+2}{x^2-4}$, $\dfrac{x-2}{x^2-4}$ và $\dfrac{3}{x^2-4}$.
4
Vậy ba phân thức sau khi quy đồng đều có mẫu chung $x^2-4$ , với ĐKXĐ $x \ne 2, x \ne -2$ .
Vậy ba phân thức sau khi quy đồng đều có mẫu chung $x^2-4$, với ĐKXĐ $x \ne 2, x \ne -2$.

Sai lầm thường gặp

Lỗi thường gặp nhất là quên lấy nhân tử chung với số mũ LỚN NHẤT: với $(x-1)(x+1)$ và $(x-1)^2$ , nhiều bạn viết MTC là $(x-1)(x+1)$ — bỏ sót số mũ 2 — khiến bước quy đồng sau đó không triệt tiêu hết mẫu. Lỗi thứ hai là quên nhân tử phụ vào cả tử VÀ mẫu; có bạn chỉ nhân vào mẫu mà quên nhân vào tử, làm phân thức mới không còn bằng phân thức ban đầu. Lỗi thứ ba, khi quy đồng từ ba phân thức trở lên như ví dụ trên, là quên kiểm tra phân thức nào đã có sẵn đúng mẫu MTC — phân thức đó chỉ cần giữ nguyên, không cần nhân tử phụ nào cả.

Lỗi thường gặp nhất là quên lấy nhân tử chung với số mũ LỚN NHẤT: với $(x-1)(x+1)$ và $(x-1)^2$, nhiều bạn viết MTC là $(x-1)(x+1)$ — bỏ sót số mũ 2 — khiến bước quy đồng sau đó không triệt tiêu hết mẫu. Lỗi thứ hai là quên nhân tử phụ vào cả tử VÀ mẫu; có bạn chỉ nhân vào mẫu mà quên nhân vào tử, làm phân thức mới không còn bằng phân thức ban đầu. Lỗi thứ ba, khi quy đồng từ ba phân thức trở lên như ví dụ trên, là quên kiểm tra phân thức nào đã có sẵn đúng mẫu MTC — phân thức đó chỉ cần giữ nguyên, không cần nhân tử phụ nào cả.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Quy đồng mẫu thức là đưa các phân thức về cùng một MTC, tìm bằng cách phân tích nhân tử từng mẫu rồi lấy tích các nhân tử chung (số mũ lớn nhất) và riêng. Mỗi phân thức được nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ của riêng nó.

Riêng bước tìm MTC là bước học sinh mất điểm nhiều nhất trong cả bài quy đồng lẫn bài cộng trừ phía sau, vì một MTC sai khiến toàn bộ các bước còn lại sai theo — nên trước khi quy đồng, luôn dành thời gian phân tích nhân tử cho thật kỹ.

Bài tiếp theo dùng chính kỹ năng quy đồng này để cộng và trừ các phân thức khác mẫu.