Bài học

Định lý Pythagore đảo và ứng dụng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định lý Pythagore đảo, dùng nó để kiểm tra một tam giác có vuông hay không khi chỉ biết ba cạnh, và áp dụng cả hai chiều thuận – đảo của định lý vào các bài toán đo đạc thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã học chiều thuận: BIẾT tam giác vuông thì suy ra hệ thức giữa ba cạnh. Bài này hỏi chiều ngược lại — chỉ biết ba số đo, có suy ra được tam giác vuông hay không? Em cần nhớ lại cách so sánh các số để xác định cạnh dài nhất trong ba cạnh đã cho, và cách bình phương, cộng, so sánh hai số.

Khởi động

Một người thợ mộc cần kiểm tra xem góc của một khung cửa có đúng vuông hay không, nhưng trong tay chỉ có thước dây, không có ê-ke. Đo được ba cạnh của khung lần lượt là 30 cm, 40 cm, 50 cm. Không cần áp ê-ke vào góc, làm sao người thợ biết chắc góc đó có vuông hay không?

Kiến thức trọng tâm

Định lý Pythagore đảo phát biểu: nếu một tam giác có ba cạnh $a, b, c$ (trong đó $c$ là cạnh dài nhất) thỏa mãn $c^2=a^2+b^2$ , thì tam giác đó là tam giác vuông, với góc vuông nằm ở đỉnh đối diện cạnh $c$ . Đây đúng là chiều ngược của định lý đã học ở bài trước: bài trước đi từ "tam giác vuông" tới "hệ thức giữa ba cạnh", bài này đi từ "hệ thức giữa ba cạnh" tới "tam giác vuông".

Định lý Pythagore đảo phát biểu: nếu một tam giác có ba cạnh $a, b, c$ (trong đó $c$ là cạnh dài nhất) thỏa mãn $c^2=a^2+b^2$, thì tam giác đó là tam giác vuông, với góc vuông nằm ở đỉnh đối diện cạnh $c$. Đây đúng là chiều ngược của định lý đã học ở bài trước: bài trước đi từ "tam giác vuông" tới "hệ thức giữa ba cạnh", bài này đi từ "hệ thức giữa ba cạnh" tới "tam giác vuông".

Muốn kiểm tra một tam giác có vuông hay không khi chỉ biết ba cạnh, em làm theo ba bước: xác định cạnh dài nhất (gọi là $c$ ), tính $c^2$ và $a^2+b^2$ của hai cạnh còn lại, rồi so sánh hai kết quả đó. Bằng nhau thì tam giác vuông; khác nhau thì tam giác chắc chắn không vuông, dù các cạnh có gần đúng đến đâu.

Muốn kiểm tra một tam giác có vuông hay không khi chỉ biết ba cạnh, em làm theo ba bước: xác định cạnh dài nhất (gọi là $c$), tính $c^2$ và $a^2+b^2$ của hai cạnh còn lại, rồi so sánh hai kết quả đó. Bằng nhau thì tam giác vuông; khác nhau thì tam giác chắc chắn không vuông, dù các cạnh có gần đúng đến đâu.

Ví dụ minh hoạ

Lời giải có hình

Kiểm tra một tam giác có vuông hay không, chỉ từ ba cạnh

Bước 1

Cho tam giác có ba cạnh $AB=10$ cm, $AC=6$ cm, $BC=8$ cm. Kiểm tra tam giác này có vuông hay không, mà không đo bất kỳ góc nào.Cho tam giác có ba cạnh $AB=10$ cm, $AC=6$ cm, $BC=8$ cm. Kiểm tra tam giác này có vuông hay không, mà không đo bất kỳ góc nào.

Lời giải có hình

Chiều cao thang dựa tường

Bước 1

Một chiếc thang dài 5 m được dựng nghiêng vào một bức tường thẳng đứng, chân thang đặt cách chân tường 3 m. Tính chiều cao thang chạm tường.

Lời giải có hình

Quãng đường tắt qua khu đất trống (dạng thi)

Bước 1

Từ nhà, bạn An đi bộ 6 trăm mét về phía đông tới một ngã rẽ, rồi đi tiếp 8 trăm mét về phía bắc tới trường. Nếu có một lối đi thẳng cắt qua khu đất trống, quãng đường đi thẳng từ nhà đến trường dài bao nhiêu?

Ví dụ

Nhận biết nhanh các bộ ba Pythagore quen thuộc

1
Không tính toán dài dòng, hãy cho biết bộ ba cạnh $8, 15, 17$ (đơn vị cm) có tạo thành tam giác vuông không.
Không tính toán dài dòng, hãy cho biết bộ ba cạnh $8, 15, 17$ (đơn vị cm) có tạo thành tam giác vuông không.
2
Cạnh dài nhất là 17. Ta có $17^2=289$ và $8^2+15^2=64+225=289$ . Hai kết quả bằng nhau, nên $8-15-17$ là một bộ ba Pythagore, và tam giác tương ứng vuông tại đỉnh đối diện cạnh 17.
Cạnh dài nhất là 17. Ta có $17^2=289$ và $8^2+15^2=64+225=289$. Hai kết quả bằng nhau, nên $8-15-17$ là một bộ ba Pythagore, và tam giác tương ứng vuông tại đỉnh đối diện cạnh 17.
3
Ngoài $3-4-5$ và bội của nó ( $6-8-10$ , $9-12-15$ , $30-40-50$ …), đề kiểm tra lớp 8 còn hay dùng $5-12-13$ , $8-15-17$ , và $7-24-25$ . Nhận ra ngay các bộ này giúp em kiểm tra định lý đảo nhanh hơn, không cần bình phương những số lớn.
Ngoài $3-4-5$ và bội của nó ($6-8-10$, $9-12-15$, $30-40-50$…), đề kiểm tra lớp 8 còn hay dùng $5-12-13$, $8-15-17$, và $7-24-25$. Nhận ra ngay các bộ này giúp em kiểm tra định lý đảo nhanh hơn, không cần bình phương những số lớn.
4
Vậy $8-15-17$ là một tam giác vuông, và việc thuộc sẵn các bộ ba quen thuộc giúp em làm bài kiểm tra nhanh hơn nhiều so với thử từng cặp cạnh một cách ngẫu nhiên.
Vậy $8-15-17$ là một tam giác vuông, và việc thuộc sẵn các bộ ba quen thuộc giúp em làm bài kiểm tra nhanh hơn nhiều so với thử từng cặp cạnh một cách ngẫu nhiên.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn bình phương và cộng hai cạnh bất kỳ rồi so sánh với cạnh còn lại, quên xác định trước cạnh dài nhất. Định lý đảo chỉ đúng khi $c$ trong hệ thức $c^2=a^2+b^2$ LÀ cạnh dài nhất; chọn nhầm một cạnh ngắn hơn để đóng vai $c$ sẽ luôn cho kết quả sai, dù tam giác đó có vuông thật.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Định lý Pythagore đảo: nếu $c^2=a^2+b^2$ với $c$ là cạnh dài nhất, tam giác vuông tại đỉnh đối diện $c$ . Quy trình kiểm tra: tìm cạnh dài nhất, tính hai vế, so sánh. Bộ ba quen thuộc 3-4-5 (và các bội của nó như 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50) luôn cho tam giác vuông.

Định lý Pythagore đảo: nếu $c^2=a^2+b^2$ với $c$ là cạnh dài nhất, tam giác vuông tại đỉnh đối diện $c$. Quy trình kiểm tra: tìm cạnh dài nhất, tính hai vế, so sánh. Bộ ba quen thuộc 3-4-5 (và các bội của nó như 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50) luôn cho tam giác vuông.

Hai bài vừa học xử lý một tam giác vuông — hình có ba cạnh. Từ bài sau, em chuyển sang một hình có bốn cạnh, gọi là tứ giác, bắt đầu từ tính chất chung nhất của mọi tứ giác lồi: tổng bốn góc trong luôn bằng 360°.