Bài học

Định lý Pythagore thuận

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định lý Pythagore, giải thích được vì sao định lý đúng bằng cách so sánh diện tích hai hình vuông, và tính được cạnh còn lại của một tam giác vuông khi biết hai cạnh kia, kể cả trong một tình huống thực tế.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ lại tam giác vuông từ lớp 7: cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại gọi là cạnh góc vuông; cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất trong ba cạnh. Em cũng cần dùng thành thạo bình phương một số ( $a^2=a\times a$ ) và căn bậc hai số học (căn bậc hai không âm của một số không âm), cùng công thức diện tích hình vuông cạnh $x$ là $x^2$ .

Em cần nhớ lại tam giác vuông từ lớp 7: cạnh đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại gọi là cạnh góc vuông; cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất trong ba cạnh. Em cũng cần dùng thành thạo bình phương một số ($a^2=a\times a$) và căn bậc hai số học (căn bậc hai không âm của một số không âm), cùng công thức diện tích hình vuông cạnh $x$ là $x^2$.

Khởi động

Một chiếc thang dài đúng 5 m được dựng nghiêng vào một bức tường, chân thang đặt cách chân tường 3 m. Không cần trèo lên đo, làm sao em tính được chính xác thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu mét?

Kiến thức trọng tâm

Định lý Pythagore phát biểu: trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Với tam giác vuông tại $A$ , hai cạnh góc vuông $AB$ , $AC$ và cạnh huyền $BC$ , hệ thức được viết gọn là $BC^2=AB^2+AC^2$ .

Định lý Pythagore phát biểu: trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Với tam giác vuông tại $A$, hai cạnh góc vuông $AB$, $AC$ và cạnh huyền $BC$, hệ thức được viết gọn là $BC^2=AB^2+AC^2$.

Một công thức chỉ đưa ra mà không giải thích thì rất dễ quên, hoặc tệ hơn, dễ nhớ nhầm cạnh nào bình phương cộng cạnh nào. Cách chắc nhất để nhớ đúng là hiểu vì sao nó đúng — dưới đây là một cách chứng minh chỉ dùng công thức tính diện tích hình vuông và diện tích tam giác mà em đã biết.

Lời giải có hình

Chứng minh định lý Pythagore bằng diện tích

Bước 1

Vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a+b$ , với $a, b$ là hai cạnh góc vuông cần so sánh với cạnh huyền.Vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a+b$, với $a, b$ là hai cạnh góc vuông cần so sánh với cạnh huyền.

Ví dụ

Trình bày lại chứng minh bằng đại số

1
Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$ , $b$ và cạnh huyền $c$ . Trình bày lại chứng minh $a^2+b^2=c^2$ bằng đại số, dựa trên hình đã dựng ở trên.
Cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$, $b$ và cạnh huyền $c$. Trình bày lại chứng minh $a^2+b^2=c^2$ bằng đại số, dựa trên hình đã dựng ở trên.
2
Ta có hình vuông cạnh $a+b$ nên diện tích của nó bằng $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . (1)
Ta có hình vuông cạnh $a+b$ nên diện tích của nó bằng $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. (1)
3
Mặt khác, diện tích đó cũng bằng tổng diện tích bốn tam giác vuông cộng diện tích hình vuông $EFGH$ ở giữa: $4\cdot\frac{1}{2}ab+S_{EFGH}=2ab+S_{EFGH}$ . (2)
Mặt khác, diện tích đó cũng bằng tổng diện tích bốn tam giác vuông cộng diện tích hình vuông $EFGH$ ở giữa: $4\cdot\frac{1}{2}ab+S_{EFGH}=2ab+S_{EFGH}$. (2)
4
Theo chứng minh hình học ở trên, $EFGH$ là hình vuông cạnh $c$ , nên $S_{EFGH}=c^2$ . Thay vào (2): diện tích hình vuông lớn bằng $2ab+c^2$ . (3)
Theo chứng minh hình học ở trên, $EFGH$ là hình vuông cạnh $c$, nên $S_{EFGH}=c^2$. Thay vào (2): diện tích hình vuông lớn bằng $2ab+c^2$. (3)
5
Từ (1) và (3), ta có $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$ . Trừ $2ab$ ở cả hai vế, suy ra $a^2+b^2=c^2$ — đúng là nội dung định lý Pythagore.
Từ (1) và (3), ta có $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$. Trừ $2ab$ ở cả hai vế, suy ra $a^2+b^2=c^2$ — đúng là nội dung định lý Pythagore.

Ví dụ minh hoạ

Lời giải có hình

Tính cạnh huyền khi biết hai cạnh góc vuông

Bước 1

Cho tam giác vuông tại $P$ , hai cạnh góc vuông $PQ=3$ cm và $PR=4$ cm. Tính cạnh huyền $QR$ .Cho tam giác vuông tại $P$, hai cạnh góc vuông $PQ=3$ cm và $PR=4$ cm. Tính cạnh huyền $QR$.

Lời giải có hình

Tính một cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền

Bước 1

Cho tam giác vuông tại $P$ , cạnh huyền $QR=13$ cm và một cạnh góc vuông $PQ=5$ cm. Tính cạnh góc vuông còn lại $PR$ .Cho tam giác vuông tại $P$, cạnh huyền $QR=13$ cm và một cạnh góc vuông $PQ=5$ cm. Tính cạnh góc vuông còn lại $PR$.

Lời giải có hình

Tính đường chéo màn hình laptop (dạng thi)

Bước 1

Một màn hình laptop hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng $AB=24$ cm và chiều cao $BC=18$ cm. Tính độ dài đường chéo $AC$ của màn hình.Một màn hình laptop hình chữ nhật $ABCD$ có chiều rộng $AB=24$ cm và chiều cao $BC=18$ cm. Tính độ dài đường chéo $AC$ của màn hình.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn cộng thẳng hai cạnh góc vuông rồi coi đó là cạnh huyền, ví dụ nghĩ $3+4=7$ là cạnh huyền thay vì $\sqrt{3^2+4^2}=5$ — định lý Pythagore cộng bình phương chứ không cộng độ dài. Một lỗi khác là dùng công thức cho một tam giác KHÔNG vuông; định lý Pythagore chỉ áp dụng đúng khi tam giác đã biết chắc có một góc vuông.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trong tam giác vuông, $c^2=a^2+b^2$ với $c$ là cạnh huyền (cạnh dài nhất, đối diện góc vuông), $a, b$ là hai cạnh góc vuông. Biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông thì trừ bình phương rồi khai căn để tìm cạnh còn lại; biết hai cạnh góc vuông thì cộng bình phương rồi khai căn để tìm cạnh huyền.

Định lý vừa học cho phép em tính cạnh khi ĐÃ BIẾT tam giác vuông. Bài tiếp theo hỏi ngược lại: chỉ biết ba cạnh của một tam giác, làm sao khẳng định chắc chắn nó có vuông hay không — đó là định lý Pythagore đảo.