Bài học

Ôn tập tổng hợp — Pythagore và Tứ giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vận dụng phối hợp các công cụ đã học trong cả khóa — định lý Pythagore thuận và đảo, tổng bốn góc tứ giác, tính chất hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật và hình thoi — để giải các bài toán tổng hợp đúng phong cách một đề kiểm tra thật, thay vì chỉ áp dụng riêng lẻ từng công cụ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không đưa thêm kiến thức mới. Em cần huy động lại toàn bộ sáu bài đã học: định lý Pythagore thuận và đảo (Chương 1–2); tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360°$ (Chương 3); hình thang cân với cạnh bên và đường chéo bằng nhau (Chương 4); ba tính chất của hình bình hành — cạnh đối, góc đối, đường chéo (Chương 5); và tính chất riêng của hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông (Chương 6).

Điểm khác biệt của bài ôn tập so với các bài trước là: đề bài không nói sẵn "dùng định lý Pythagore" hay "đây là hình bình hành" — em phải TỰ nhận ra hình đang xét là hình gì, và tự chọn đúng công cụ trong sáu bài đã học để giải. Đây chính là kỹ năng một đề kiểm tra cuối chương thật sự đòi hỏi.

Khởi động

Một hình thoi mang trong mình cả hai chủ đề của khóa học này: định lý Pythagore và tứ giác. Chỉ biết độ dài hai đường chéo, em có tính được cạnh của hình thoi hay không, mà không cần đo trực tiếp?

Tổng hợp 1 — Pythagore và hình thoi

Lời giải có hình

Tính cạnh hình thoi từ hai đường chéo

Bước 1

Hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC=8$ cm và $BD=6$ cm, cắt nhau tại $O$ . Tính cạnh $AB$ .Hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC=8$ cm và $BD=6$ cm, cắt nhau tại $O$. Tính cạnh $AB$.

Tổng hợp 2 — Pythagore và hình thang cân

Lời giải có hình

Tính chiều cao mảnh vườn hình thang cân

Bước 1

Một mảnh vườn hình thang cân $ABCD$ ( $AB\parallel CD$ ) có đáy lớn $AB=10$ m, đáy nhỏ $CD=4$ m, cạnh bên $AD=BC=5$ m. Tính chiều cao mảnh vườn.Một mảnh vườn hình thang cân $ABCD$ ($AB\parallel CD$) có đáy lớn $AB=10$ m, đáy nhỏ $CD=4$ m, cạnh bên $AD=BC=5$ m. Tính chiều cao mảnh vườn.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: đường chéo hình vuông (dạng thi)

1
Một tấm gạch lát hình vuông có cạnh 30 cm. Tính độ dài đường chéo của tấm gạch, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
2
Hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt nên đường chéo chia nó thành tam giác vuông với hai cạnh góc vuông đều bằng cạnh hình vuông: 30 cm và 30 cm.
3
Đường chéo $^2=30^2+30^2=900+900=1800$ , suy ra đường chéo $=\sqrt{1800}\approx 42,4$ cm.
Đường chéo$^2=30^2+30^2=900+900=1800$, suy ra đường chéo $=\sqrt{1800}\approx 42,4$ cm.
4
Vậy đường chéo tấm gạch dài khoảng 42,4 cm — bài toán này dùng đúng cả hai chủ đề: tính chất hình vuông (đường chéo chia thành tam giác vuông cân) và định lý Pythagore để tính độ dài.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: nhận diện hình từ các tính chất đã cho

1
Tứ giác $ABCD$ có $AB\parallel CD$ và $AB=CD$ . Ngoài ra, hai đường chéo $AC=BD$ . Hỏi $ABCD$ là hình gì?
Tứ giác $ABCD$ có $AB\parallel CD$ và $AB=CD$. Ngoài ra, hai đường chéo $AC=BD$. Hỏi $ABCD$ là hình gì?
2
Một cặp cạnh đối vừa song song ( $AB\parallel CD$ ) vừa bằng nhau ( $AB=CD$ ) là một dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Chương 5). Vậy $ABCD$ là hình bình hành.
Một cặp cạnh đối vừa song song ($AB\parallel CD$) vừa bằng nhau ($AB=CD$) là một dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Chương 5). Vậy $ABCD$ là hình bình hành.
3
Trong hình bình hành, hai đường chéo bằng nhau ( $AC=BD$ ) là dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật (Chương 6): hình bình hành có đường chéo bằng nhau chính là hình chữ nhật.
Trong hình bình hành, hai đường chéo bằng nhau ($AC=BD$) là dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật (Chương 6): hình bình hành có đường chéo bằng nhau chính là hình chữ nhật.
4
Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật — bài toán này ghép đúng hai dấu hiệu từ hai bài khác nhau: dấu hiệu hình bình hành trước, dấu hiệu hình chữ nhật sau, chứ không dùng được ngay từ đầu.
Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật — bài toán này ghép đúng hai dấu hiệu từ hai bài khác nhau: dấu hiệu hình bình hành trước, dấu hiệu hình chữ nhật sau, chứ không dùng được ngay từ đầu.

Luyện tập tổng hợp

Sai lầm thường gặp

Khi một đề bài trộn nhiều chủ đề, lỗi phổ biến nhất là dùng nhầm tính chất của hình này cho hình khác — ví dụ gán "đường chéo vuông góc" cho hình chữ nhật, hoặc dùng công thức Pythagore cho một tam giác chưa chắc vuông. Trước khi tính, luôn xác định rõ: hình đang xét là hình gì, tính chất nào của đúng hình đó được phép dùng, và tam giác nào (nếu có) thật sự vuông.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Toàn bộ khóa học gồm hai công cụ lớn: định lý Pythagore ( $c^2=a^2+b^2$ , và chiều ngược để kiểm tra tam giác vuông), và họ tứ giác đặc biệt xây từ tổng góc $360°$ lên hình thang cân, hình bình hành, rồi tới hình chữ nhật – hình thoi – hình vuông. Một bài toán tổng hợp thường cần ba bước theo đúng thứ tự: xác định đúng hình đang xét, chọn đúng tính chất của hình đó, rồi mới áp dụng Pythagore hoặc phép tính để ra số cuối cùng.

Toàn bộ khóa học gồm hai công cụ lớn: định lý Pythagore ($c^2=a^2+b^2$, và chiều ngược để kiểm tra tam giác vuông), và họ tứ giác đặc biệt xây từ tổng góc $360°$ lên hình thang cân, hình bình hành, rồi tới hình chữ nhật – hình thoi – hình vuông. Một bài toán tổng hợp thường cần ba bước theo đúng thứ tự: xác định đúng hình đang xét, chọn đúng tính chất của hình đó, rồi mới áp dụng Pythagore hoặc phép tính để ra số cuối cùng.

Đến đây, khóa Định lý Pythagore và Tứ giác đã hoàn thành. Chương trình Toán 8 tiếp theo mở rộng sang tỉ số đoạn thẳng với định lý Thalès và tam giác đồng dạng — công cụ đo gián tiếp mà em sẽ thấy áp dụng lại chính những tứ giác vừa học làm ví dụ minh hoạ.