Bài học

Ôn tập dạng bài tổng hợp thi vào lớp 10

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải trọn vẹn được một câu hỏi hàm số bậc hai kiểu đề thi tuyển sinh vào lớp 10, gồm nhiều phần nối tiếp nhau, và tự tin xử lý các dạng biến thể của cùng một câu hỏi gốc.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không thêm công thức mới, mà LUYỆN ĐÚNG ĐỊNH DẠNG một câu hỏi thi thật: thường có 2-3 phần nhỏ (a, b, c...), phần sau có thể dùng kết quả của phần trước, và luôn đòi hỏi trình bày đầy đủ từng bước — không chỉ ghi đáp số. Em cần huy động lại toàn bộ những gì đã học ở năm bài trước, và tập thói quen đọc đề chậm để tách rõ từng phần cần làm.

Khởi động

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(P):y=x^2$ và $d:y=6x-3$ . Không cần giải ngay, chỉ cần nhìn hình dạng câu hỏi: đây là (P) và d QUEN THUỘC — cùng dạng với mọi bài đã luyện suốt khóa. Điều khác biệt duy nhất của một câu hỏi thi thật là nó thường ghép 2-3 yêu cầu vào một câu, thay vì hỏi riêng lẻ như các bài luyện tập trước đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(P):y=x^2$ và $d:y=6x-3$. Không cần giải ngay, chỉ cần nhìn hình dạng câu hỏi: đây là (P) và d QUEN THUỘC — cùng dạng với mọi bài đã luyện suốt khóa. Điều khác biệt duy nhất của một câu hỏi thi thật là nó thường ghép 2-3 yêu cầu vào một câu, thay vì hỏi riêng lẻ như các bài luyện tập trước đó.

Kiến thức trọng tâm

Một câu hỏi hàm số bậc hai điển hình của đề thi tuyển sinh 10 thường có cấu trúc: phần a) cho một trường hợp cụ thể (một giá trị tham số cụ thể, hoặc yêu cầu vẽ đồ thị) để em làm quen với bài toán; phần b) hoặc c) mới đưa tham số vào, yêu cầu biện luận theo điều kiện của tham số đó. Cách làm hiệu quả nhất là giải phần a) trước để chắc chắn đã hiểu đúng đề, rồi mới chuyển sang phần biện luận — không nhảy thẳng vào phần khó nhất.

Một mẹo hay gặp trong các câu hỏi dạng này: đường thẳng d thường được viết dưới dạng phụ thuộc tham số sao cho delta của phương trình hoành độ giao điểm LUÔN DƯƠNG với mọi giá trị tham số — nghĩa là phần 'chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt' hầu như luôn đúng, chỉ cần biến đổi delta về dạng tổng của một bình phương cộng một số dương (như $(m-2)^2+2$ ) để thấy rõ nó không bao giờ âm hay bằng 0.

Một mẹo hay gặp trong các câu hỏi dạng này: đường thẳng d thường được viết dưới dạng phụ thuộc tham số sao cho delta của phương trình hoành độ giao điểm LUÔN DƯƠNG với mọi giá trị tham số — nghĩa là phần 'chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt' hầu như luôn đúng, chỉ cần biến đổi delta về dạng tổng của một bình phương cộng một số dương (như $(m-2)^2+2$) để thấy rõ nó không bao giờ âm hay bằng 0.

Khi biến đổi delta về dạng bình phương cộng hằng số dương, hãy làm từng bước nhỏ — khai triển bình phương, gom các số hạng chứa tham số lại thành một bình phương mới, rồi cộng phần dư — thay vì cố nhẩm ra kết quả ngay. Một bước tính sai dấu ở giữa chừng dễ làm mất hẳn tính chất 'luôn dương' của cả biểu thức.

Tại m=0,25, delta của phương trình hoành độ giao điểm bằng 0.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Câu tổng hợp cơ bản — làm quen với định dạng đề thi

1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$ . a) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục. b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d bằng phép tính.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$. a) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục. b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và d bằng phép tính.
2
(P) là parabol đỉnh O, đi qua các điểm như $(\pm1;1)$ , $(\pm2;4)$ , $(\pm3;9)$ ; d là đường thẳng đi qua (0;3) và (−1,5;0), hệ số góc 2.
(P) là parabol đỉnh O, đi qua các điểm như $(\pm1;1)$, $(\pm2;4)$, $(\pm3;9)$; d là đường thẳng đi qua (0;3) và (−1,5;0), hệ số góc 2.
3
$x^2=2x+3 \iff x^2-2x-3=0$ .
$x^2=2x+3 \iff x^2-2x-3=0$.
4
$\Delta=4+12=16$ , $\sqrt\Delta=4$ , nên $x_1=3$ , $x_2=-1$ .
$\Delta=4+12=16$, $\sqrt\Delta=4$, nên $x_1=3$, $x_2=-1$.
5
$x_1=3\Rightarrow y_1=9$ ; $x_2=-1\Rightarrow y_2=1$ .
$x_1=3\Rightarrow y_1=9$; $x_2=-1\Rightarrow y_2=1$.
6
Vậy (P) và d cắt nhau tại (3;9) và (−1;1) — đây chính là câu hỏi phần b) của một đề thi thật, chỉ khác cách trình bày đầy đủ hơn bài luyện tập trước.

Ví dụ

Xác định hệ số a rồi biện luận theo tham số của đường thẳng

1
Cho $(P):y=ax^2$ đi qua điểm $B(2;-4)$ . a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tìm m để d:y=x+m cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Cho $(P):y=ax^2$ đi qua điểm $B(2;-4)$. a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tìm m để d:y=x+m cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2
$-4=a\cdot2^2=4a \iff a=-1$ . Vậy $(P):y=-x^2$ .
$-4=a\cdot2^2=4a \iff a=-1$. Vậy $(P):y=-x^2$.
3
$-x^2=x+m \iff x^2+x+m=0$ (nhân hai vế với $-1$ ).
$-x^2=x+m \iff x^2+x+m=0$ (nhân hai vế với $-1$).
4
$\Delta=1-4m>0$ .
$\Delta=1-4m>0$.
5
$1-4m>0 \iff m<0,25$ .
$1-4m>0 \iff m<0,25$.
6
Vậy a=−1, và với m<0,25 thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ

Câu tổng hợp đầy đủ — chứng minh luôn cắt tại hai điểm rồi tìm tham số

1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(P):y=x^2$ và $d:y=2(m-1)x-2m+5$ , với m là tham số. a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi x₁,x₂ là hoành độ hai giao điểm. Tìm m để $x_1+x_2=6$ .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $(P):y=x^2$ và $d:y=2(m-1)x-2m+5$, với m là tham số. a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi x₁,x₂ là hoành độ hai giao điểm. Tìm m để $x_1+x_2=6$.
2
$x^2=2(m-1)x-2m+5 \iff x^2-2(m-1)x+2m-5=0$ .
$x^2=2(m-1)x-2m+5 \iff x^2-2(m-1)x+2m-5=0$.
3
$\Delta=[2(m-1)]^2-4(2m-5)=4(m-1)^2-8m+20$ .
$\Delta=[2(m-1)]^2-4(2m-5)=4(m-1)^2-8m+20$.
4
$\Delta=4[(m-1)^2-2m+5]=4[m^2-2m+1-2m+5]=4(m^2-4m+6)=4[(m-2)^2+2]$ . (1)
$\Delta=4[(m-1)^2-2m+5]=4[m^2-2m+1-2m+5]=4(m^2-4m+6)=4[(m-2)^2+2]$. (1)
5
Từ (1): vì $(m-2)^2\ge0$ với mọi m nên $\Delta\ge4\cdot2=8>0$ với mọi m — phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, tức d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Từ (1): vì $(m-2)^2\ge0$ với mọi m nên $\Delta\ge4\cdot2=8>0$ với mọi m — phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, tức d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
6
Với $B=-2(m-1)$ : $x_1+x_2=-B=2(m-1)$ .
Với $B=-2(m-1)$: $x_1+x_2=-B=2(m-1)$.
7
$2(m-1)=6 \iff m-1=3 \iff m=4$ .
$2(m-1)=6 \iff m-1=3 \iff m=4$.
8
Vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m, và m=4 là giá trị thỏa x₁+x₂=6.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi rút gọn delta về dạng bình phương cộng hằng số như $(m-2)^2+2$ , nhiều bạn khai triển sai một dấu ở giữa chừng — đặc biệt là dấu của số hạng −2m khi gộp hai lần xuất hiện của nó (một lần từ khai triển bình phương, một lần từ số hạng −8m gốc). Cách an toàn nhất là khai triển từng bước, không gộp tắt, và luôn thử lại bằng cách thay MỘT giá trị m cụ thể vào cả biểu thức delta gốc lẫn biểu thức đã rút gọn — nếu hai kết quả khớp nhau, phép rút gọn đúng.

Khi rút gọn delta về dạng bình phương cộng hằng số như $(m-2)^2+2$, nhiều bạn khai triển sai một dấu ở giữa chừng — đặc biệt là dấu của số hạng −2m khi gộp hai lần xuất hiện của nó (một lần từ khai triển bình phương, một lần từ số hạng −8m gốc). Cách an toàn nhất là khai triển từng bước, không gộp tắt, và luôn thử lại bằng cách thay MỘT giá trị m cụ thể vào cả biểu thức delta gốc lẫn biểu thức đã rút gọn — nếu hai kết quả khớp nhau, phép rút gọn đúng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một câu hỏi hàm số bậc hai trong đề thi tuyển sinh 10 thường có nhiều phần nối tiếp: phần cụ thể trước, phần biện luận theo tham số sau. Kỹ năng rút gọn delta về dạng bình phương cộng hằng số dương là chìa khóa của phần 'chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt' — một dạng câu hỏi lặp lại rất nhiều trong các đề thi thật.

Khóa học về hàm số $y=ax^2$ và đồ thị của em dừng lại ở đây. Khóa tiếp theo formalize đầy đủ công thức nghiệm của phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét — công cụ mà hôm nay em mới chỉ chạm tới phần 'tổng hai nghiệm' của nó.