Bài học

Số giao điểm của (P): y = ax² và đường thẳng y = mx + n

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em lập được phương trình hoành độ giao điểm của một parabol $(P):y=ax^2$ và một đường thẳng $d:y=mx+n$ , rồi dùng dấu của delta để xác định (P) và d cắt nhau tại hai điểm, tiếp xúc nhau, hay không giao nhau.

Sau bài này, em lập được phương trình hoành độ giao điểm của một parabol $(P):y=ax^2$ và một đường thẳng $d:y=mx+n$, rồi dùng dấu của delta để xác định (P) và d cắt nhau tại hai điểm, tiếp xúc nhau, hay không giao nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết cách xét dấu và giải phương trình bậc hai một ẩn dạng $Ax^2+Bx+C=0$ qua công thức nghiệm với $\Delta=B^2-4AC$ (delta>0: hai nghiệm phân biệt; delta=0: nghiệm kép; delta<0: vô nghiệm) — công cụ này em sẽ dùng lại nguyên vẹn ở bài học hôm nay, chỉ khác là ẩn số bây giờ mang một ý nghĩa hình học cụ thể: nó là hoành độ của điểm chung giữa hai đồ thị. Em cũng cần nhớ: hai đồ thị giao nhau tại một điểm khi và chỉ khi điểm đó vừa thuộc đồ thị này, vừa thuộc đồ thị kia — tức tọa độ của nó thỏa mãn ĐỒNG THỜI cả hai phương trình.

Khởi động

Vẽ parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $d:y=2x+3$ lên cùng một hệ trục, em sẽ thấy chúng cắt nhau tại hai điểm nhìn khá rõ trên hình — nhưng đọc chính xác tọa độ hai điểm đó từ hình vẽ tay thường sai lệch vài đơn vị. Có cách nào tính ra tọa độ giao điểm chính xác tuyệt đối, không phụ thuộc vào việc vẽ hình có khéo hay không?

Kiến thức trọng tâm

Một điểm thuộc CẢ $(P):y=ax^2$ lẫn $d:y=mx+n$ phải có tung độ tính theo (P) bằng đúng tung độ tính theo d tại cùng một hoành độ x, tức $ax^2=mx+n$ . Chuyển vế, ta được $ax^2-mx-n=0$ — đây là một phương trình bậc hai (vì a≠0), gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d. Mỗi nghiệm x của phương trình này là hoành độ của một giao điểm; thay ngược x đó vào y=ax² (hoặc vào y=mx+n, kết quả như nhau) sẽ ra tung độ tương ứng.

Một điểm thuộc CẢ $(P):y=ax^2$ lẫn $d:y=mx+n$ phải có tung độ tính theo (P) bằng đúng tung độ tính theo d tại cùng một hoành độ x, tức $ax^2=mx+n$. Chuyển vế, ta được $ax^2-mx-n=0$ — đây là một phương trình bậc hai (vì a≠0), gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d. Mỗi nghiệm x của phương trình này là hoành độ của một giao điểm; thay ngược x đó vào y=ax² (hoặc vào y=mx+n, kết quả như nhau) sẽ ra tung độ tương ứng.

Vì đây là phương trình bậc hai, số nghiệm của nó — cũng là số giao điểm của (P) và d — hoàn toàn do dấu của delta quyết định, đúng theo quy tắc đã học: delta>0 cho hai nghiệm phân biệt, tức (P) và d cắt nhau tại HAI điểm phân biệt; delta=0 cho một nghiệm kép, tức d chỉ chạm (P) tại đúng MỘT điểm — trường hợp này gọi là d TIẾP XÚC với (P); delta<0 nghĩa là phương trình vô nghiệm, tức (P) và d KHÔNG có điểm chung nào.

Điều đáng chú ý: không cần vẽ hình, chỉ cần xét dấu delta là biết ngay được số giao điểm — công cụ đại số này chính xác tuyệt đối, còn đọc trên hình vẽ tay chỉ cho một ước lượng. Khi bài toán có thêm tham số (ví dụ hệ số của d chứa m), delta trở thành một biểu thức theo tham số đó, và 'tìm m để d cắt (P) tại hai điểm' chính là giải bất phương trình delta>0 theo m.

Hai giao điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm x² − 2x − 3 = 0.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm tọa độ giao điểm của

(P):y=x^2

và

d:y=2x+3

Tìm tọa độ giao điểm của $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$

1
Tìm tọa độ giao điểm của $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$ .
Tìm tọa độ giao điểm của $(P):y=x^2$ và $d:y=2x+3$.
2
$x^2=2x+3 \iff x^2-2x-3=0$ .
$x^2=2x+3 \iff x^2-2x-3=0$.
3
$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16>0$ — phương trình có hai nghiệm phân biệt, tức (P) và d cắt nhau tại hai điểm.
$\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16>0$ — phương trình có hai nghiệm phân biệt, tức (P) và d cắt nhau tại hai điểm.
4
$\sqrt\Delta=4$ , nên $x_1=\dfrac{2+4}{2}=3$ , $x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1$ .
$\sqrt\Delta=4$, nên $x_1=\dfrac{2+4}{2}=3$, $x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1$.
5
Thay vào $y=x^2$ : $x_1=3\Rightarrow y_1=9$ ; $x_2=-1\Rightarrow y_2=1$ .
Thay vào $y=x^2$: $x_1=3\Rightarrow y_1=9$; $x_2=-1\Rightarrow y_2=1$.
6
Vậy (P) và d cắt nhau tại hai điểm $A(3;9)$ và $B(-1;1)$ .
Vậy (P) và d cắt nhau tại hai điểm $A(3;9)$ và $B(-1;1)$.

Ví dụ

Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc với parabol

1
Tìm m để $d:y=2x+m$ tiếp xúc với $(P):y=x^2$ , rồi tìm tọa độ tiếp điểm.
Tìm m để $d:y=2x+m$ tiếp xúc với $(P):y=x^2$, rồi tìm tọa độ tiếp điểm.
2
$x^2=2x+m \iff x^2-2x-m=0$ .
$x^2=2x+m \iff x^2-2x-m=0$.
3
d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép, tức $\Delta=0$ : $\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-m)=4+4m$ .
d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi phương trình có nghiệm kép, tức $\Delta=0$: $\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-m)=4+4m$.
4
$4+4m=0 \iff m=-1$ .
$4+4m=0 \iff m=-1$.
5
Với $m=-1$ , nghiệm kép là $x=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}=1$ ; thay vào $y=x^2$ được $y=1$ .
Với $m=-1$, nghiệm kép là $x=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}=1$; thay vào $y=x^2$ được $y=1$.
6
Vậy với $m=-1$ , đường thẳng $d:y=2x-1$ tiếp xúc với (P) tại đúng một điểm $(1;1)$ .
Vậy với $m=-1$, đường thẳng $d:y=2x-1$ tiếp xúc với (P) tại đúng một điểm $(1;1)$.

Ví dụ

Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt

1
Tìm m để $d:y=mx-1$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt.
Tìm m để $d:y=mx-1$ cắt $(P):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt.
2
$x^2=mx-1 \iff x^2-mx+1=0$ .
$x^2=mx-1 \iff x^2-mx+1=0$.
3
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta>0$ : $\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot1=m^2-4$ .
d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta>0$: $\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot1=m^2-4$.
4
$m^2-4>0 \iff m^2>4 \iff m>2$ hoặc $m<-2$ .
$m^2-4>0 \iff m^2>4 \iff m>2$ hoặc $m<-2$.
5
Vậy với $m>2$ hoặc $m<-2$ , đường thẳng $d:y=mx-1$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Vậy với $m>2$ hoặc $m<-2$, đường thẳng $d:y=mx-1$ cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ

Xét trường hợp một đường thẳng không cắt parabol

1
Đường thẳng $d:y=x+1$ có cắt parabol $(P):y=-x^2$ hay không?
Đường thẳng $d:y=x+1$ có cắt parabol $(P):y=-x^2$ hay không?
2
$-x^2=x+1 \iff x^2+x+1=0$ (nhân hai vế với $-1$ để hệ số của $x^2$ dương, dễ tính hơn).
$-x^2=x+1 \iff x^2+x+1=0$ (nhân hai vế với $-1$ để hệ số của $x^2$ dương, dễ tính hơn).
3
$\Delta=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0$ .
$\Delta=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0$.
4
Vì $\Delta<0$ , phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm.
Vì $\Delta<0$, phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm.
5
Vậy d và (P) không có điểm chung nào — trên hình vẽ, đường thẳng $y=x+1$ nằm hẳn phía trên parabol $y=-x^2$ (vốn luôn có $y\le0$ ) trong suốt miền giá trị, nên không thể chạm nhau.
Vậy d và (P) không có điểm chung nào — trên hình vẽ, đường thẳng $y=x+1$ nằm hẳn phía trên parabol $y=-x^2$ (vốn luôn có $y\le0$) trong suốt miền giá trị, nên không thể chạm nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn chỉ nhớ 'delta lớn hơn 0 thì cắt nhau' mà quên mất phải LẬP ĐÚNG phương trình hoành độ giao điểm trước — nhầm dấu khi chuyển vế là lỗi phổ biến nhất. Từ $ax^2=mx+n$ , phải chuyển thành $ax^2-mx-n=0$ (trừ cả hai số hạng bên phải), chứ không phải $ax^2-mx+n=0$ . Một lỗi khác: quên mất trường hợp delta=0 nghĩa là TIẾP XÚC (một điểm), không phải 'không cắt nhau' — chỉ delta<0 mới là vô nghiệm, không có điểm chung nào.

Nhiều bạn chỉ nhớ 'delta lớn hơn 0 thì cắt nhau' mà quên mất phải LẬP ĐÚNG phương trình hoành độ giao điểm trước — nhầm dấu khi chuyển vế là lỗi phổ biến nhất. Từ $ax^2=mx+n$, phải chuyển thành $ax^2-mx-n=0$ (trừ cả hai số hạng bên phải), chứ không phải $ax^2-mx+n=0$. Một lỗi khác: quên mất trường hợp delta=0 nghĩa là TIẾP XÚC (một điểm), không phải 'không cắt nhau' — chỉ delta<0 mới là vô nghiệm, không có điểm chung nào.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hoành độ giao điểm của $(P):y=ax^2$ và $d:y=mx+n$ là nghiệm của $ax^2-mx-n=0$ . Dấu của delta quyết định số giao điểm: delta>0 — hai điểm phân biệt; delta=0 — tiếp xúc tại một điểm; delta<0 — không giao nhau. Luôn kiểm tra lại dấu khi chuyển vế trước khi tính delta.

Hoành độ giao điểm của $(P):y=ax^2$ và $d:y=mx+n$ là nghiệm của $ax^2-mx-n=0$. Dấu của delta quyết định số giao điểm: delta>0 — hai điểm phân biệt; delta=0 — tiếp xúc tại một điểm; delta<0 — không giao nhau. Luôn kiểm tra lại dấu khi chuyển vế trước khi tính delta.

Biết SỐ giao điểm là chưa đủ trong nhiều bài toán thi. Bài sau đi xa hơn: khi (P) và d cắt nhau tại hai điểm, làm sao tìm tham số từ một điều kiện đặt lên chính hai hoành độ giao điểm đó — chẳng hạn tổng của chúng bằng một số cho trước?