Bài học

Ôn tập kiến thức trọng tâm hàm số y = ax² và đồ thị

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em hệ thống hoá lại toàn bộ bốn mảng kiến thức của khóa: tính chất đồng biến, nghịch biến; đồ thị parabol; phương trình hoành độ giao điểm; và cách dùng delta — đồng thời phối hợp được nhiều mảng kiến thức trong cùng một bài toán.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không giới thiệu kiến thức mới, mà ôn lại bốn bài đã học: tính chất $y=ax^2$ theo dấu a và x; hình dạng đồ thị (đỉnh O, trục đối xứng Oy); cách lập phương trình hoành độ giao điểm; và cách dùng delta để đếm số giao điểm cùng công thức tổng, hiệu hai nghiệm. Điều khác biệt của bài ôn tập là mỗi bài toán dưới đây không chỉ dùng một mảng kiến thức riêng lẻ, mà GHÉP nhiều mảng lại — đúng như cách một câu hỏi thực tế trong đề thi thường đòi hỏi.

Khởi động

Cho hàm số $y=(2-m)x^2$ . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số là một parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, trừ đúng gốc O? Câu hỏi này ghép cả hai ý: điều kiện để đây thực sự là hàm số dạng y=ax² (hệ số khác 0), và tính chất về dấu của y theo dấu của a — hai ý tưởng em đã học riêng rẽ ở hai bài khác nhau.

Cho hàm số $y=(2-m)x^2$. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số là một parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, trừ đúng gốc O? Câu hỏi này ghép cả hai ý: điều kiện để đây thực sự là hàm số dạng y=ax² (hệ số khác 0), và tính chất về dấu của y theo dấu của a — hai ý tưởng em đã học riêng rẽ ở hai bài khác nhau.

Kiến thức trọng tâm

Bốn mảng kiến thức của khóa gắn chặt với nhau theo một trật tự logic: dấu của hệ số a quyết định TÍNH CHẤT tăng giảm của hàm số (bài 1), tính chất đó lại quyết định HÌNH DẠNG đồ thị — lõm lên hay lõm xuống (bài 2); khi đặt thêm một đường thẳng bên cạnh đồ thị đó, phương trình hoành độ giao điểm xuất hiện (bài 3); và cuối cùng, nếu phương trình đó có hai nghiệm, các công thức tổng, hiệu nghiệm cho phép khai thác thêm điều kiện về vị trí hai giao điểm (bài 4).

Quay lại câu hỏi mở đầu: hàm số $y=(2-m)x^2$ là một parabol nằm phía trên trục hoành, trừ gốc O, đúng khi hệ số a=2−m dương (tính chất bài 1: a>0 thì $y\ge0$ với mọi x, bằng 0 chỉ tại x=0). Giải $2-m>0$ được $m<2$ ; điều kiện $a\ne0$ (tức $m\ne2$ ) đã tự động thỏa mãn trong tập nghiệm này. Đây chính là kiểu bài toán ôn tập: một câu hỏi, hai mảng kiến thức.

Quay lại câu hỏi mở đầu: hàm số $y=(2-m)x^2$ là một parabol nằm phía trên trục hoành, trừ gốc O, đúng khi hệ số a=2−m dương (tính chất bài 1: a>0 thì $y\ge0$ với mọi x, bằng 0 chỉ tại x=0). Giải $2-m>0$ được $m<2$; điều kiện $a\ne0$ (tức $m\ne2$) đã tự động thỏa mãn trong tập nghiệm này. Đây chính là kiểu bài toán ôn tập: một câu hỏi, hai mảng kiến thức.

Khi làm bài ôn tập tổng hợp, thứ tự xử lý luôn nên là: đọc kỹ xem đề đã cho a cụ thể hay còn ẩn dưới dạng tham số; nếu ẩn, tìm a trước (thường bằng cách thay một điểm đã biết vào phương trình); rồi mới chuyển sang phần đồ thị hoặc phần giao điểm. Làm ngược thứ tự này — chẳng hạn lập phương trình hoành độ giao điểm trước khi biết a — sẽ khiến bài toán có thêm một ẩn không cần thiết.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định hệ số a rồi xét tính chất của hàm số

1
Cho $(P):y=ax^2$ đi qua điểm $A(-3;18)$ . a) Tìm a. b) Hàm số đồng biến hay nghịch biến khi x>0? Vì sao?
Cho $(P):y=ax^2$ đi qua điểm $A(-3;18)$. a) Tìm a. b) Hàm số đồng biến hay nghịch biến khi x>0? Vì sao?
2
$18=a\cdot(-3)^2=9a \iff a=2$ .
$18=a\cdot(-3)^2=9a \iff a=2$.
3
Vì $a=2>0$ , theo tính chất đã học, hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$ .
Vì $a=2>0$, theo tính chất đã học, hàm số đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$.
4
Vậy a=2, và hàm số đồng biến khi x>0.

Ví dụ

Vẽ đồ thị rồi tìm giao điểm với một đường thẳng đơn giản

1
Cho $(P):y=\dfrac{x^2}{4}$ . a) Lập bảng giá trị để vẽ (P). b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với d:y=x.
Cho $(P):y=\dfrac{x^2}{4}$. a) Lập bảng giá trị để vẽ (P). b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với d:y=x.
2
$x=0\Rightarrow y=0$ ; $x=2\Rightarrow y=1$ ; $x=4\Rightarrow y=4$ ; lấy đối xứng qua Oy cho x=−2,−4.
$x=0\Rightarrow y=0$; $x=2\Rightarrow y=1$; $x=4\Rightarrow y=4$; lấy đối xứng qua Oy cho x=−2,−4.
3
$\dfrac{x^2}{4}=x \iff x^2-4x=0 \iff x(x-4)=0$ .
$\dfrac{x^2}{4}=x \iff x^2-4x=0 \iff x(x-4)=0$.
4
x=0 hoặc x=4.
5
$x=0\Rightarrow y=0$ ; $x=4\Rightarrow y=4$ .
$x=0\Rightarrow y=0$; $x=4\Rightarrow y=4$.
6
Vậy (P) và d cắt nhau tại hai điểm O(0;0) và (4;4).

Ví dụ

Chứng minh luôn cắt tại hai điểm rồi tìm tham số

1
Cho $(P):y=x^2$ và $d:y=mx+3$ . a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để hai hoành độ giao điểm thỏa $x_1+x_2=0$ .
Cho $(P):y=x^2$ và $d:y=mx+3$. a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Tìm m để hai hoành độ giao điểm thỏa $x_1+x_2=0$.
2
$x^2=mx+3 \iff x^2-mx-3=0$ .
$x^2=mx+3 \iff x^2-mx-3=0$.
3
$\Delta=m^2+12$ . Vì $m^2\ge0$ với mọi m nên $\Delta\ge12>0$ với mọi m — phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
$\Delta=m^2+12$. Vì $m^2\ge0$ với mọi m nên $\Delta\ge12>0$ với mọi m — phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
4
Vậy d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m — đúng như yêu cầu chứng minh.
5
$x_1+x_2=-(-m)=m$ . Yêu cầu $x_1+x_2=0 \iff m=0$ .
$x_1+x_2=-(-m)=m$. Yêu cầu $x_1+x_2=0 \iff m=0$.
6
Vậy m=0 (khi đó d là đường thẳng nằm ngang y=3, cắt (P) tại hai điểm đối xứng nhau qua Oy — đúng với trực giác hình học).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi bài toán ghép nhiều mảng kiến thức, lỗi phổ biến nhất là ÁP DỤNG SAI THỨ TỰ: chẳng hạn thay a bằng một chữ cái tham số mà quên rằng đề đã cho sẵn một điểm để tìm a — dẫn đến lời giải có tới hai tham số không cần thiết. Một lỗi khác: khi delta hoá ra một biểu thức luôn dương (như $m^2+12$ ), nhiều bạn vẫn viết thêm điều kiện $\Delta>0$ vào lời giải như một bước riêng cần 'giải', trong khi thực chất chỉ cần MỘT câu giải thích ngắn (vì $m^2\ge0$ nên...) là đủ, không cần đặt bất phương trình.

Khi bài toán ghép nhiều mảng kiến thức, lỗi phổ biến nhất là ÁP DỤNG SAI THỨ TỰ: chẳng hạn thay a bằng một chữ cái tham số mà quên rằng đề đã cho sẵn một điểm để tìm a — dẫn đến lời giải có tới hai tham số không cần thiết. Một lỗi khác: khi delta hoá ra một biểu thức luôn dương (như $m^2+12$), nhiều bạn vẫn viết thêm điều kiện $\Delta>0$ vào lời giải như một bước riêng cần 'giải', trong khi thực chất chỉ cần MỘT câu giải thích ngắn (vì $m^2\ge0$ nên...) là đủ, không cần đặt bất phương trình.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp về y=ax² thường ghép: tìm a từ một điểm cho trước, xét tính chất hoặc hình dạng theo dấu a, rồi lập phương trình hoành độ giao điểm và dùng delta cùng công thức tổng, hiệu nghiệm. Luôn xử lý theo đúng thứ tự đó, và rút gọn lời giải khi delta hoá ra luôn dương — không cần đặt bất phương trình thừa.

Bài cuối cùng của khóa đưa các kỹ thuật này vào đúng khuôn dạng một câu hỏi hàm số bậc hai trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thật sự — nơi các phần a, b, c của cùng một câu hỏi nối tiếp nhau, phần sau dùng lại kết quả của phần trước.