Bài học

Định lý Pythagore và ứng dụng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra được một tam giác vuông ẩn trong một tình huống thực tế (thang dựa tường, hai đường vuông góc, đường chéo một hình chữ nhật), và dùng định lý Pythagore để tính khoảng cách hoặc chiều cao mà không đo trực tiếp được.

Kiến thức nền cần nhớ

Định lý Pythagore em đã học từ lớp 7: trong tam giác vuông, $a^2=b^2+c^2$ , với $a$ là cạnh huyền. Hai bài trước đã cho em thêm các hệ thức về hình chiếu và đường cao — riêng bài này KHÔNG dùng những hệ thức đó, mà quay lại công cụ gốc để luyện kỹ năng khó hơn: nhìn một tình huống đời sống và nhận ra đâu là cạnh huyền, đâu là hai cạnh góc vuông, trước khi tính toán được bất cứ điều gì.

Định lý Pythagore em đã học từ lớp 7: trong tam giác vuông, $a^2=b^2+c^2$, với $a$ là cạnh huyền. Hai bài trước đã cho em thêm các hệ thức về hình chiếu và đường cao — riêng bài này KHÔNG dùng những hệ thức đó, mà quay lại công cụ gốc để luyện kỹ năng khó hơn: nhìn một tình huống đời sống và nhận ra đâu là cạnh huyền, đâu là hai cạnh góc vuông, trước khi tính toán được bất cứ điều gì.

Khởi động

Một chiếc thang dài 5 m dựa vào một bức tường, đầu trên chạm tường ở độ cao 4 m so với mặt đất. Chân thang cách chân tường bao xa? Bức tường vuông góc với mặt đất, thang là đoạn thẳng nối từ mặt đất lên tường — ba yếu tố đó vẽ nên đúng một tam giác vuông quen thuộc.

Kiến thức trọng tâm

Bước đầu tiên của mọi bài Pythagore ứng dụng KHÔNG PHẢI là tính toán — mà là DỰNG mô hình: xác định ba đại lượng của đề bài tương ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông thật sự. Với thang dựa tường: bức tường (thẳng đứng) và mặt đất (nằm ngang) luôn vuông góc với nhau, nên hai cạnh đó là hai cạnh góc vuông; chiếc thang nối liền đầu tường với chân thang trên mặt đất chính là cạnh huyền — độ dài thang luôn là cạnh LỚN NHẤT trong ba cạnh, đúng vai trò cạnh huyền.

Sau khi dựng đúng mô hình, phần còn lại chỉ là đại số: $a^2=b^2+c^2$ , trong đó $a$ là cạnh đã xác định là cạnh huyền. Kỹ năng thật sự được luyện ở bài này không phải công thức — công thức đã biết từ lớp 7 — mà là bước dựng mô hình phía trước: đọc kỹ đề, vẽ hình minh hoạ, và chỉ đúng cạnh nào đóng vai trò cạnh huyền trước khi thay số.

Sau khi dựng đúng mô hình, phần còn lại chỉ là đại số: $a^2=b^2+c^2$, trong đó $a$ là cạnh đã xác định là cạnh huyền. Kỹ năng thật sự được luyện ở bài này không phải công thức — công thức đã biết từ lớp 7 — mà là bước dựng mô hình phía trước: đọc kỹ đề, vẽ hình minh hoạ, và chỉ đúng cạnh nào đóng vai trò cạnh huyền trước khi thay số.

Lời giải có hình

Thang dựa vào tường tạo thành tam giác vuông

Bước 1

Bức tường AC cao 4 m, dựng vuông góc với mặt đất tại chân tường C.

giả thiết đề bài

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bài toán thang dựa tường

1
Một chiếc thang dài 5 m dựa vào tường, đầu trên chạm tường ở độ cao 4 m. Tính khoảng cách từ chân thang đến chân tường.
2
Tường và mặt đất vuông góc tại chân tường C; thang AB = 5 m là cạnh huyền, tường AC = 4 m là một cạnh góc vuông, khoảng cách cần tìm CB là cạnh góc vuông còn lại.
3
$AB^2=AC^2+CB^2 \Rightarrow CB^2=AB^2-AC^2=25-16=9$ , suy ra $CB=3$ m.
$AB^2=AC^2+CB^2 \Rightarrow CB^2=AB^2-AC^2=25-16=9$, suy ra $CB=3$ m.
4
Vậy chân thang cách chân tường 3 m.

Ví dụ

Tính chiều cao màn hình từ chiều rộng và đường chéo

1
Một ti vi màn hình phẳng hình chữ nhật rộng 80 cm, đường chéo dài 100 cm. Tính chiều cao màn hình.
2
Chiều rộng và chiều cao màn hình vuông góc với nhau (hai cạnh hình chữ nhật); đường chéo là cạnh huyền của tam giác vuông tạo bởi hai cạnh đó.
3
$100^2=80^2+h^2 \Rightarrow h^2=10\,000-6\,400=3\,600$ , suy ra $h=60$ cm.
$100^2=80^2+h^2 \Rightarrow h^2=10\,000-6\,400=3\,600$, suy ra $h=60$ cm.
4
Vậy chiều cao màn hình là 60 cm.

Ví dụ

Bài toán dạng thi — hai người di chuyển theo hai hướng vuông góc

1
Hai con đường thẳng cắt nhau vuông góc tại một ngã tư O. Một người đi xe từ O theo đường thứ nhất được 8 km, một người khác đi từ O theo đường thứ hai được x km. Biết khoảng cách giữa hai người lúc này là 17 km, tìm x.
2
Hai đường vuông góc tại O nên quãng đường của hai người là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông đỉnh O; khoảng cách 17 km giữa họ chính là cạnh huyền.
3
$17^2=8^2+x^2 \Rightarrow x^2=289-64=225$ .
$17^2=8^2+x^2 \Rightarrow x^2=289-64=225$.
4
$x=\sqrt{225}=15$ (nhận giá trị dương vì x là một quãng đường).
$x=\sqrt{225}=15$ (nhận giá trị dương vì x là một quãng đường).
5
Vậy người thứ hai đã đi 15 km.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất không nằm ở phép tính mà ở bước dựng mô hình: nhầm cạnh huyền với một cạnh góc vuông, đặc biệt khi đề không vẽ sẵn hình. Luôn tự hỏi: cạnh nào là cạnh DÀI NHẤT, nối hai điểm mà đường đi giữa chúng bị chặn bởi góc vuông (như đường chéo, khoảng cách xiên)? Đó mới là cạnh huyền — cộng bình phương của nó vào một trong hai cạnh còn lại để tìm cạnh thứ ba là một lỗi cộng/trừ ngược dấu rất hay gặp.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trước khi thay số, luôn dựng mô hình: xác định cạnh huyền (cạnh dài nhất, đối diện góc vuông) rồi mới áp dụng a² = b² + c². Phần khó của bài toán Pythagore ứng dụng nằm ở bước đọc đề và dựng hình, không nằm ở phép tính.

Đến đây, chương 1 và chương 2 đã cho em trọn bộ công cụ về CẠNH của một tam giác vuông — từ hình chiếu, đường cao, đến Pythagore. Nhưng một tam giác vuông còn có hai góc nhọn, và số đo của chúng cũng liên hệ chặt chẽ với độ dài các cạnh. Chương sau mở ra công cụ hoàn toàn mới cho mối liên hệ đó: tỉ số lượng giác.