Bài học

Ôn tập tổng hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một bài toán tổng hợp trên MỘT tam giác vuông duy nhất, huy động đủ cả bốn nhóm công cụ đã học trong khoá: hệ thức cạnh-hình chiếu, hệ thức đường cao, Pythagore, và tỉ số lượng giác — đúng cấu trúc nhiều câu hỏi nhỏ (a, b, c) thường gặp ở câu hình học của đề tuyển sinh vào lớp 10.

Kiến thức nền cần nhớ

Đây là bài ôn tập — không có kiến thức mới, chỉ hệ thống hoá bốn công cụ đã học: $b^2=a\cdot b'$ , $c^2=a\cdot c'$ (Chương 1); $h^2=b'\cdot c'$ và Pythagore ứng dụng (Chương 2); định nghĩa và giá trị đặc biệt của $\sin,\cos,\tan,\cot$ (Chương 3); hệ thức $b=a\sin B=a\cos C$ (Chương 4). Kỹ năng thật sự cần luyện ở bài này là chọn ĐÚNG công cụ cho từng câu hỏi nhỏ, và dùng kết quả câu trước để làm câu sau — đúng cách một đề thi thật yêu cầu.

Đây là bài ôn tập — không có kiến thức mới, chỉ hệ thống hoá bốn công cụ đã học: $b^2=a\cdot b'$, $c^2=a\cdot c'$ (Chương 1); $h^2=b'\cdot c'$ và Pythagore ứng dụng (Chương 2); định nghĩa và giá trị đặc biệt của $\sin,\cos,\tan,\cot$ (Chương 3); hệ thức $b=a\sin B=a\cos C$ (Chương 4). Kỹ năng thật sự cần luyện ở bài này là chọn ĐÚNG công cụ cho từng câu hỏi nhỏ, và dùng kết quả câu trước để làm câu sau — đúng cách một đề thi thật yêu cầu.

Khởi động

Với tam giác quen thuộc $AB=6,AC=8$ : em đã tính được $BC=10$ , $AH=4,8$ , $BH=3,6$ , $CH=6,4$ , và $\sin B=0,8$ . Nếu đề hỏi tiếp "góc B bằng bao nhiêu độ", em có công cụ nào để trả lời — biết một tỉ số lượng giác, làm sao suy ngược ra số đo góc?

Với tam giác quen thuộc $AB=6,AC=8$: em đã tính được $BC=10$, $AH=4,8$, $BH=3,6$, $CH=6,4$, và $\sin B=0,8$. Nếu đề hỏi tiếp \"góc B bằng bao nhiêu độ", em có công cụ nào để trả lời — biết một tỉ số lượng giác, làm sao suy ngược ra số đo góc?

Kiến thức trọng tâm

Khi biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn α (ví dụ $\sin\alpha=0,8$ ) nhưng góc đó không phải một trong ba góc đặc biệt, em dùng chức năng nghịch đảo trên máy tính cầm tay ( $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , hoặc $\tan^{-1}$ ) để tìm lại số đo góc: $\alpha=\sin^{-1}(0,8)\approx53,13^\circ$ , thường làm tròn đến độ: $\alpha\approx53^\circ$ . Đây là kỹ năng cuối cùng khép lại chuỗi "cạnh → tỉ số → góc" của cả chương — trước đó em luôn đi từ góc suy ra tỉ số rồi suy ra cạnh; giờ đi ngược từ cạnh về góc.

Khi biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn α (ví dụ $\sin\alpha=0,8$) nhưng góc đó không phải một trong ba góc đặc biệt, em dùng chức năng nghịch đảo trên máy tính cầm tay ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, hoặc $\tan^{-1}$) để tìm lại số đo góc: $\alpha=\sin^{-1}(0,8)\approx53,13^\circ$, thường làm tròn đến độ: $\alpha\approx53^\circ$. Đây là kỹ năng cuối cùng khép lại chuỗi "cạnh → tỉ số → góc" của cả chương — trước đó em luôn đi từ góc suy ra tỉ số rồi suy ra cạnh; giờ đi ngược từ cạnh về góc.

Một bài toán tổng hợp thường có cấu trúc: câu (a) hỏi một đại lượng cơ bản (thường là cạnh huyền, bằng Pythagore hoặc hệ thức cạnh-hình chiếu); câu (b) dùng kết quả câu (a) để tính đường cao hoặc hình chiếu; câu (c) chuyển sang tỉ số lượng giác hoặc số đo góc. Luôn đọc hết đề trước khi làm, xác định xem các câu có phụ thuộc lẫn nhau hay không, và trình bày rõ số liệu nào lấy từ câu trước để giám khảo dễ theo dõi.

Lời giải có hình

Bài toán tổng hợp: hình chiếu, đường cao, và tỉ số lượng giác trên cùng một tam giác

Bước 1

Tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bài toán tổng hợp trên tam giác quen thuộc

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm. a) Tính BC, AH, BH, CH. b) Tính sinB, cosB, tanB, cotB. c) Tính số đo góc B, góc C (làm tròn đến độ).
2
$BC=\sqrt{36+64}=10$ cm; $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{48}{10}=4,8$ cm; $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3,6$ cm; $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=6,4$ cm.
$BC=\sqrt{36+64}=10$ cm; $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{48}{10}=4,8$ cm; $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3,6$ cm; $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=6,4$ cm.
3
$\sin B=\dfrac{8}{10}=0,8$ ; $\cos B=\dfrac{6}{10}=0,6$ ; $\tan B=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$ ; $\cot B=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$ .
$\sin B=\dfrac{8}{10}=0,8$; $\cos B=\dfrac{6}{10}=0,6$; $\tan B=\dfrac{8}{6}=\dfrac43$; $\cot B=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$.
4
$\widehat B=\sin^{-1}(0,8)\approx53,13^\circ\approx53^\circ$ (làm tròn đến độ); $\widehat C=90^\circ-\widehat B\approx37^\circ$ .
$\widehat B=\sin^{-1}(0,8)\approx53,13^\circ\approx53^\circ$ (làm tròn đến độ); $\widehat C=90^\circ-\widehat B\approx37^\circ$.
5
Vậy BC = 10 cm, AH = 4,8 cm, BH = 3,6 cm, CH = 6,4 cm; sinB = 0,8; và góc B ≈ 53°, góc C ≈ 37°.

Ví dụ

Bài toán tổng hợp với bộ ba Pythagore khác (5-12-13)

1
Tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK, MN = 5 cm, MP = 12 cm. Tính NP, MK, NK, KP, và sinN, cosN (làm tròn đến hàng phần trăm nếu cần).
2
$NP=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
$NP=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
3
$MK=\dfrac{MN\cdot MP}{NP}=\dfrac{60}{13}\approx4,62$ cm; $NK=\dfrac{MN^2}{NP}=\dfrac{25}{13}\approx1,92$ cm; $KP=\dfrac{MP^2}{NP}=\dfrac{144}{13}\approx11,08$ cm.
$MK=\dfrac{MN\cdot MP}{NP}=\dfrac{60}{13}\approx4,62$ cm; $NK=\dfrac{MN^2}{NP}=\dfrac{25}{13}\approx1,92$ cm; $KP=\dfrac{MP^2}{NP}=\dfrac{144}{13}\approx11,08$ cm.
4
NK + KP ≈ 1,92 + 11,08 = 13,00 ≈ NP (khớp, sai số do làm tròn).
5
$\sin N=\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{12}{13}\approx0,92$ ; $\cos N=\dfrac{MN}{NP}=\dfrac{5}{13}\approx0,38$ .
$\sin N=\dfrac{MP}{NP}=\dfrac{12}{13}\approx0,92$; $\cos N=\dfrac{MN}{NP}=\dfrac{5}{13}\approx0,38$.
6
Vậy NP = 13 cm, MK ≈ 4,62 cm, NK ≈ 1,92 cm, KP ≈ 11,08 cm, sinN ≈ 0,92, cosN ≈ 0,38.

Ví dụ

Bài toán dạng thi — cho tỉ số hai cạnh góc vuông

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và BC = 15 cm. Tính AB, AC, AH, BH, CH.
2
Vì $AB:AC=3:4$ , đặt $AB=3k$ , $AC=4k$ ( $k>0$ ). (1)
Vì $AB:AC=3:4$, đặt $AB=3k$, $AC=4k$ ($k>0$). (1)
3
Từ (1): $BC^2=AB^2+AC^2 \Rightarrow 225=9k^2+16k^2=25k^2$ , suy ra $k^2=9$ , $k=3$ (nhận vì $k>0$ ).
Từ (1): $BC^2=AB^2+AC^2 \Rightarrow 225=9k^2+16k^2=25k^2$, suy ra $k^2=9$, $k=3$ (nhận vì $k>0$).
4
$AB=3k=9$ cm, $AC=4k=12$ cm. (2)
$AB=3k=9$ cm, $AC=4k=12$ cm. (2)
5
Từ (2): $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{9\times12}{15}=7,2$ cm; $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4$ cm; $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{144}{15}=9,6$ cm.
Từ (2): $AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{9\times12}{15}=7,2$ cm; $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{81}{15}=5,4$ cm; $CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{144}{15}=9,6$ cm.
6
BH + CH = 5,4 + 9,6 = 15 = BC — đúng.
7
Vậy AB = 9 cm, AC = 12 cm, AH = 7,2 cm, BH = 5,4 cm, CH = 9,6 cm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Ở một bài toán nhiều câu hỏi nhỏ, lỗi phổ biến nhất là dùng số liệu ĐÃ LÀM TRÒN của câu trước để tính tiếp câu sau, khiến sai số tích luỹ dần và đáp số cuối lệch xa giá trị đúng. Luôn giữ số liệu dạng phân số hoặc căn thức chính xác xuyên suốt các bước tính trung gian, chỉ làm tròn ở bước CUỐI CÙNG khi viết đáp số.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp không đòi hỏi công cụ mới — chỉ đòi hỏi em nhận ra ĐÚNG công cụ cho từng câu hỏi nhỏ và dùng lại kết quả câu trước một cách chính xác (không làm tròn giữa chừng). Đi từ góc suy ra tỉ số suy ra cạnh; hoặc ngược lại, đi từ cạnh suy ra tỉ số rồi suy ra góc bằng hàm nghịch đảo trên máy tính.

Đến đây, khoá Hệ thức lượng trong tam giác vuông đã trang bị cho em trọn bộ công cụ hình học lớp 9 để giải câu hình học đầu tiên của đề tuyển sinh vào lớp 10 — từ hình chiếu, đường cao, Pythagore, đến tỉ số lượng giác. Khoá tiếp theo mở rộng sang một hình mới: đường tròn, cùng các tính chất tiếp tuyến và góc nội tiếp thường gặp ở câu hình học thứ hai của đề thi.