Bài học

Hệ thức giữa cạnh góc vuông, cạnh huyền và hình chiếu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng hai hệ thức $b^2=a\cdot b'$ và $c^2=a\cdot c'$ trong tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền, và dùng chúng để tính cạnh góc vuông, cạnh huyền hoặc hình chiếu còn thiếu khi biết một vài đại lượng trong số đó.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần vững định lý Pythagore đã học ở lớp 7-8: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông ( $a^2=b^2+c^2$ ). Em cũng cần nhớ khái niệm đường cao của một tam giác (đoạn thẳng từ một đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện) và khái niệm hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng (chân đường vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng). Toàn bộ chương hình học của khóa này xoay quanh MỘT hình duy nhất — tam giác vuông với đường cao ứng với cạnh huyền — nên hình đó đáng để em vẽ thành thạo ngay từ bài đầu tiên.

Em cần vững định lý Pythagore đã học ở lớp 7-8: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông ($a^2=b^2+c^2$). Em cũng cần nhớ khái niệm đường cao của một tam giác (đoạn thẳng từ một đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện) và khái niệm hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng (chân đường vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng). Toàn bộ chương hình học của khóa này xoay quanh MỘT hình duy nhất — tam giác vuông với đường cao ứng với cạnh huyền — nên hình đó đáng để em vẽ thành thạo ngay từ bài đầu tiên.

Khởi động

Một tấm biển tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 6 dm và 8 dm. Nếu dựng thêm một thanh chống từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền (vuông góc với cạnh huyền), thanh chống đó chia cạnh huyền thành hai đoạn không bằng nhau. Liệu có công thức nào tính thẳng độ dài mỗi đoạn đó, mà không cần đo trực tiếp trên hình vẽ?

Kiến thức trọng tâm

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , gọi $a=BC$ (cạnh huyền), $b=AC$ , $c=AB$ (hai cạnh góc vuông). Kẻ đường cao $AH$ từ $A$ xuống $BC$ ( $H\in BC$ ). Khi đó $H$ chia $BC$ thành hai đoạn: $b'=CH$ (hình chiếu của cạnh $b$ lên cạnh huyền, kề đỉnh $C$ ) và $c'=BH$ (hình chiếu của cạnh $c$ lên cạnh huyền, kề đỉnh $B$ ). Hai hệ thức nền tảng của cả chương là:

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, gọi $a=BC$ (cạnh huyền), $b=AC$, $c=AB$ (hai cạnh góc vuông). Kẻ đường cao $AH$ từ $A$ xuống $BC$ ($H\in BC$). Khi đó $H$ chia $BC$ thành hai đoạn: $b'=CH$ (hình chiếu của cạnh $b$ lên cạnh huyền, kề đỉnh $C$) và $c'=BH$ (hình chiếu của cạnh $c$ lên cạnh huyền, kề đỉnh $B$). Hai hệ thức nền tảng của cả chương là:

$b^2=a\cdot b' \qquad c^2=a\cdot c'$

$$b^2=a\cdot b' \qquad c^2=a\cdot c'$$

Vì sao hai hệ thức này đúng? Tam giác $AHB$ và tam giác $CAB$ đều vuông và cùng chứa góc $B$ , nên chúng đồng dạng (g-g); từ đó $\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}$ , suy ra $AB^2=CB\cdot HB$ , tức $c^2=a\cdot c'$ . Lập luận tương tự với góc $C$ cho $b^2=a\cdot b'$ . Em không cần trình bày lại phần đồng dạng này mỗi lần làm bài — chỉ cần nhớ đúng hệ thức và áp dụng — nhưng hiểu vì sao nó đúng giúp em không nhầm cạnh nào ứng với hình chiếu nào.

Vì sao hai hệ thức này đúng? Tam giác $AHB$ và tam giác $CAB$ đều vuông và cùng chứa góc $B$, nên chúng đồng dạng (g-g); từ đó $\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}$, suy ra $AB^2=CB\cdot HB$, tức $c^2=a\cdot c'$. Lập luận tương tự với góc $C$ cho $b^2=a\cdot b'$. Em không cần trình bày lại phần đồng dạng này mỗi lần làm bài — chỉ cần nhớ đúng hệ thức và áp dụng — nhưng hiểu vì sao nó đúng giúp em không nhầm cạnh nào ứng với hình chiếu nào.

Điểm hay nhầm nhất: $b'$ và $c'$ luôn kề với ĐÚNG đỉnh cùng tên với cạnh đang xét — $b'=CH$ kề $C$ vì nó xuất hiện trong hệ thức của $b=AC$ (cạnh cũng đi qua $C$ ); còn $c'=BH$ kề $B$ vì nó đi cùng $c=AB$ . Cộng hai hình chiếu lại luôn đúng bằng cạnh huyền: $b'+c'=a$ , vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ — đây là một phép kiểm tra nhanh cực hữu ích sau khi tính xong.

Điểm hay nhầm nhất: $b'$ và $c'$ luôn kề với ĐÚNG đỉnh cùng tên với cạnh đang xét — $b'=CH$ kề $C$ vì nó xuất hiện trong hệ thức của $b=AC$ (cạnh cũng đi qua $C$); còn $c'=BH$ kề $B$ vì nó đi cùng $c=AB$. Cộng hai hình chiếu lại luôn đúng bằng cạnh huyền: $b'+c'=a$, vì $H$ nằm giữa $B$ và $C$ — đây là một phép kiểm tra nhanh cực hữu ích sau khi tính xong.

Lời giải có hình

Tam giác vuông ABC với đường cao AH và hai hình chiếu BH, CH

Bước 1

Vẽ tam giác ABC vuông tại A (góc A = 90°), với AB = 6 cm, AC = 8 cm.

giả thiết đề bài

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính hình chiếu khi biết hai cạnh góc vuông

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính BC, BH, CH.
2
Theo Pythagore: $BC^2=AB^2+AC^2=36+64=100$ , suy ra $BC=10$ cm.
Theo Pythagore: $BC^2=AB^2+AC^2=36+64=100$, suy ra $BC=10$ cm.
3
$c^2=a\cdot c' \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=3,6$ cm. $b^2=a\cdot b' \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{64}{10}=6,4$ cm.
$c^2=a\cdot c' \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{36}{10}=3,6$ cm. $b^2=a\cdot b' \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{64}{10}=6,4$ cm.
4
BH + CH = 3,6 + 6,4 = 10 = BC (đúng bằng cạnh huyền).
5
Vậy BC = 10 cm, BH = 3,6 cm, CH = 6,4 cm.

Ví dụ

Tìm cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và một hình chiếu

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 25 cm, BH = 9 cm. Tính AB, AC.
2
$AB^2=BC\cdot BH=25\times9=225$ , suy ra $AB=15$ cm.
$AB^2=BC\cdot BH=25\times9=225$, suy ra $AB=15$ cm.
3
$CH=BC-BH=25-9=16$ cm. (1)
$CH=BC-BH=25-9=16$ cm. (1)
4
Từ (1): $AC^2=BC\cdot CH=25\times16=400$ , suy ra $AC=20$ cm.
Từ (1): $AC^2=BC\cdot CH=25\times16=400$, suy ra $AC=20$ cm.
5
Vậy AB = 15 cm, AC = 20 cm.

Ví dụ

Bài toán dạng thi — biết đường cao và một hình chiếu

1
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 12 cm, BH = 9 cm. Tính AB, BC, AC.
2
Tam giác AHB vuông tại H: $AB^2=AH^2+BH^2=144+81=225$ , suy ra $AB=15$ cm. (1)
Tam giác AHB vuông tại H: $AB^2=AH^2+BH^2=144+81=225$, suy ra $AB=15$ cm. (1)
3
Từ (1) và $c^2=a\cdot c'$ : $225=a\times9$ , suy ra $BC=25$ cm. (2)
Từ (1) và $c^2=a\cdot c'$: $225=a\times9$, suy ra $BC=25$ cm. (2)
4
Từ (2): $CH=BC-BH=25-9=16$ cm. Áp dụng $b^2=a\cdot b'$ : $AC^2=25\times16=400$ , suy ra $AC=20$ cm.
Từ (2): $CH=BC-BH=25-9=16$ cm. Áp dụng $b^2=a\cdot b'$: $AC^2=25\times16=400$, suy ra $AC=20$ cm.
5
$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ cm — khớp với kết quả trên.
$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$ cm — khớp với kết quả trên.
6
Vậy AB = 15 cm, BC = 25 cm, AC = 20 cm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhầm lẫn phổ biến nhất là gán sai hình chiếu cho cạnh — viết $b^2=a\cdot c'$ thay vì $b^2=a\cdot b'$ . Quy tắc để nhớ đúng: hình chiếu MANG TÊN cạnh nào thì KỀ đỉnh cùng tên với cạnh đó ( $b'=CH$ đi với $b=AC$ vì cả hai cùng chạm đỉnh $C$ ; $c'=BH$ đi với $c=AB$ vì cả hai cùng chạm đỉnh $B$ ). Một lỗi khác: quên kiểm tra $b'+c'=a$ sau khi tính — phép cộng này bắt được ngay nếu em tính nhầm một hình chiếu.

Nhầm lẫn phổ biến nhất là gán sai hình chiếu cho cạnh — viết $b^2=a\cdot c'$ thay vì $b^2=a\cdot b'$. Quy tắc để nhớ đúng: hình chiếu MANG TÊN cạnh nào thì KỀ đỉnh cùng tên với cạnh đó ($b'=CH$ đi với $b=AC$ vì cả hai cùng chạm đỉnh $C$; $c'=BH$ đi với $c=AB$ vì cả hai cùng chạm đỉnh $B$). Một lỗi khác: quên kiểm tra $b'+c'=a$ sau khi tính — phép cộng này bắt được ngay nếu em tính nhầm một hình chiếu.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trong tam giác vuông có đường cao AH ứng với cạnh huyền $a$ : $b^2=a\cdot b'$ , $c^2=a\cdot c'$ , với $b'+c'=a$ . Hình chiếu luôn kề đỉnh cùng tên với cạnh góc vuông tương ứng.

Trong tam giác vuông có đường cao AH ứng với cạnh huyền $a$: $b^2=a\cdot b'$, $c^2=a\cdot c'$, với $b'+c'=a$. Hình chiếu luôn kề đỉnh cùng tên với cạnh góc vuông tương ứng.

Hai hệ thức hôm nay liên hệ mỗi cạnh góc vuông với cạnh huyền và hình chiếu của chính nó — còn bản thân đường cao $AH$ thì sao? Bài sau tìm ra hệ thức trực tiếp giữa đường cao và hai hình chiếu, rồi quay lại bài toán thang dựa tường quen thuộc để ôn cách dùng Pythagore trong thực tế.