Bài học

Đồ thị vận tốc – thời gian trong chuyển động biến đổi đều

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc được đồ thị vận tốc – thời gian của chuyển động biến đổi đều: nhận ra độ dốc của đường thẳng chính là gia tốc, diện tích giữa đường đó và trục thời gian chính là độ dịch chuyển, và tính đúng cả hai đại lượng này ngay cả khi đồ thị gồm nhiều đoạn khác độ dốc.

Kiến thức nền cần nhớ

Khoá trước đã dạy em đọc đồ thị $x$ – $t$ của chuyển động thẳng đều (same-grade bridge): độ dốc của đường đó là vận tốc. Hai bài trước của khoá này cũng cho $a = \Delta v/\Delta t$ (same-grade bridge). Ghép hai ý đó lại: nếu độ dốc của $x$ – $t$ là vận tốc, thì độ dốc của đồ thị $v$ – $t$ hẳn phải là gia tốc — đúng theo đúng logic đã quen.

Khoá trước đã dạy em đọc đồ thị $x$–$t$ của chuyển động thẳng đều (same-grade bridge): độ dốc của đường đó là vận tốc. Hai bài trước của khoá này cũng cho $a = \Delta v/\Delta t$ (same-grade bridge). Ghép hai ý đó lại: nếu độ dốc của $x$–$t$ là vận tốc, thì độ dốc của đồ thị $v$–$t$ hẳn phải là gia tốc — đúng theo đúng logic đã quen.

Khởi động

Nếu độ dốc của đồ thị $x$ – $t$ cho ta vận tốc, thì độ dốc của đồ thị $v$ – $t$ sẽ cho ta điều gì? Và ở bài trước, diện tích hình chữ nhật dưới đồ thị $v$ – $t$ của chuyển động thẳng đều chính là quãng đường — nếu đường đó không còn nằm ngang mà xiên lên, diện tích dưới nó có còn mang ý nghĩa quãng đường nữa không?

Nếu độ dốc của đồ thị $x$–$t$ cho ta vận tốc, thì độ dốc của đồ thị $v$–$t$ sẽ cho ta điều gì? Và ở bài trước, diện tích hình chữ nhật dưới đồ thị $v$–$t$ của chuyển động thẳng đều chính là quãng đường — nếu đường đó không còn nằm ngang mà xiên lên, diện tích dưới nó có còn mang ý nghĩa quãng đường nữa không?

Kiến thức trọng tâm

Điều mới của bài này là ý nghĩa của diện tích dưới đồ thị. Với chuyển động thẳng đều, diện tích hình chữ nhật giữa đường $v$ – $t$ nằm ngang và trục hoành đúng bằng quãng đường ( $s = v \times t$ ). Khi vận tốc thay đổi đều (đường xiên), quy tắc đó vẫn đúng, chỉ khác hình dạng: diện tích giữa đoạn thẳng xiên và trục hoành — một hình thang hoặc tam giác — vẫn đúng bằng độ dịch chuyển trong khoảng thời gian đó. Có thể hiểu vì sao bằng chính công thức $x = v_0t + \tfrac{1}{2}at^2$ đã học ở bài trước: số hạng $v_0 t$ là diện tích hình chữ nhật đáy $t$ , chiều cao $v_0$ ; số hạng $\tfrac{1}{2}at^2 = \tfrac{1}{2}(at)(t) = \tfrac{1}{2}(v-v_0)t$ đúng bằng diện tích tam giác phần nhô thêm lên trên hình chữ nhật đó — cộng hai phần diện tích lại vừa đúng bằng diện tích hình thang tạo bởi đoạn thẳng xiên, trục hoành và hai đường thẳng đứng tại $t=0$ và $t$ .

Nhờ vậy, thay vì nhớ công thức đại số, em có thể đọc trực tiếp quãng đường từ hình vẽ: chia đồ thị thành các hình quen thuộc (hình chữ nhật, tam giác, hình thang) theo từng đoạn có độ dốc khác nhau, tính diện tích từng hình bằng công thức hình học đã học ở Toán, rồi cộng lại. Cách làm theo thứ tự nên là: xác định các điểm gãy khúc trên đồ thị (nơi độ dốc đổi đột ngột), tách đồ thị thành từng đoạn thẳng giữa hai điểm gãy liên tiếp, tính độ dốc (gia tốc) và diện tích (quãng đường) riêng cho từng đoạn, rồi cộng quãng đường của tất cả các đoạn lại nếu vận tốc không đổi dấu trong suốt quá trình.

Một điểm dễ nhầm: độ lớn của độ dốc, không phải chỉ dấu của nó, mới nói lên gia tốc lớn hay nhỏ — một đoạn dốc đứng (trị tuyệt đối lớn) ứng với vận tốc thay đổi nhanh, một đoạn dốc thoải ứng với thay đổi chậm, bất kể đoạn đó đang ở nửa trên hay nửa dưới trục $v$ . Tương tự, diện tích tính quãng đường luôn phải được tính theo từng hình riêng biệt của từng đoạn có độ dốc khác nhau — không thể gộp cả đồ thị nhiều đoạn thành một hình duy nhất rồi áp một công thức diện tích chung.

Khi đồ thị $v$ – $t$ cắt trục hoành (vận tốc đổi dấu), vật đổi hướng chuyển động ngay tại thời điểm đó. Diện tích phần đồ thị nằm trên trục hoành (khi $v>0$ ) đóng góp dương vào độ dịch chuyển, còn diện tích phần nằm dưới trục hoành (khi $v<0$ ) phải trừ đi khi tính độ dịch chuyển, vì ứng với việc vật đang lùi theo chiều âm. Nhưng nếu chỉ cần tính quãng đường (không quan tâm chiều), phải cộng trị tuyệt đối của cả hai phần diện tích đó lại, không được trừ — ví dụ, nếu một đoạn đồ thị cho diện tích 12 m khi $v>0$ và một đoạn khác cho diện tích 5 m khi $v<0$ , độ dịch chuyển tổng là $12-5=7$ m theo chiều dương, còn quãng đường tổng là $12+5=17$ m. Đây là điểm phân biệt quan trọng giữa quãng đường và độ dịch chuyển ngay trên chính đồ thị $v$ – $t$ : quãng đường luôn cộng dồn diện tích không dấu của mọi đoạn, còn độ dịch chuyển cộng đại số có dấu theo từng đoạn nằm trên hay dưới trục hoành.

Trên đồ thị vận tốc – thời gian, trục hoành là thời gian $t$, trục tung là vận tốc $v$. Với một đoạn thẳng của đồ thị, độ dốc chính là gia tốc trên đoạn đó: $a = \Delta v/\Delta t$, lấy hai điểm bất kì nằm trên đúng đoạn thẳng. Đoạn dốc lên ứng với $a>0$ (vận tốc tăng), đoạn dốc xuống ứng với $a<0$ (vận tốc giảm), đoạn nằm ngang ứng với $a=0$ (chuyển động thẳng đều, vận tốc không đổi) — đây chính là trường hợp riêng em đã học ở khoá trước. Điều mới của bài này là ý nghĩa của **diện tích dưới đồ thị**. Với chuyển động thẳng đều, diện tích hình chữ nhật giữa đường $v$–$t$ nằm ngang và trục hoành đúng bằng quãng đường ($s = v \times t$). Khi vận tốc thay đổi đều (đường xiên), quy tắc đó vẫn đúng, chỉ khác hình dạng: diện tích giữa đoạn thẳng xiên và trục hoành — một hình thang hoặc tam giác — vẫn đúng bằng độ dịch chuyển trong khoảng thời gian đó. Có thể hiểu vì sao bằng chính công thức $x = v_0t + \tfrac{1}{2}at^2$ đã học ở bài trước: số hạng $v_0 t$ là diện tích hình chữ nhật đáy $t$, chiều cao $v_0$; số hạng $\tfrac{1}{2}at^2 = \tfrac{1}{2}(at)(t) = \tfrac{1}{2}(v-v_0)t$ đúng bằng diện tích tam giác phần nhô thêm lên trên hình chữ nhật đó — cộng hai phần diện tích lại vừa đúng bằng diện tích hình thang tạo bởi đoạn thẳng xiên, trục hoành và hai đường thẳng đứng tại $t=0$ và $t$. Nhờ vậy, thay vì nhớ công thức đại số, em có thể đọc trực tiếp quãng đường từ hình vẽ: chia đồ thị thành các hình quen thuộc (hình chữ nhật, tam giác, hình thang) theo từng đoạn có độ dốc khác nhau, tính diện tích từng hình bằng công thức hình học đã học ở Toán, rồi cộng lại. Cách làm theo thứ tự nên là: xác định các điểm gãy khúc trên đồ thị (nơi độ dốc đổi đột ngột), tách đồ thị thành từng đoạn thẳng giữa hai điểm gãy liên tiếp, tính độ dốc (gia tốc) và diện tích (quãng đường) riêng cho từng đoạn, rồi cộng quãng đường của tất cả các đoạn lại nếu vận tốc không đổi dấu trong suốt quá trình. Một điểm dễ nhầm: độ **lớn** của độ dốc, không phải chỉ dấu của nó, mới nói lên gia tốc lớn hay nhỏ — một đoạn dốc đứng (trị tuyệt đối lớn) ứng với vận tốc thay đổi nhanh, một đoạn dốc thoải ứng với thay đổi chậm, bất kể đoạn đó đang ở nửa trên hay nửa dưới trục $v$. Tương tự, diện tích tính quãng đường luôn phải được tính theo từng hình riêng biệt của từng đoạn có độ dốc khác nhau — không thể gộp cả đồ thị nhiều đoạn thành một hình duy nhất rồi áp một công thức diện tích chung. Khi đồ thị $v$–$t$ cắt trục hoành (vận tốc đổi dấu), vật đổi hướng chuyển động ngay tại thời điểm đó. Diện tích phần đồ thị nằm trên trục hoành (khi $v>0$) đóng góp dương vào độ dịch chuyển, còn diện tích phần nằm dưới trục hoành (khi $v<0$) phải trừ đi khi tính độ dịch chuyển, vì ứng với việc vật đang lùi theo chiều âm. Nhưng nếu chỉ cần tính quãng đường (không quan tâm chiều), phải cộng trị tuyệt đối của cả hai phần diện tích đó lại, không được trừ — ví dụ, nếu một đoạn đồ thị cho diện tích 12 m khi $v>0$ và một đoạn khác cho diện tích 5 m khi $v<0$, độ dịch chuyển tổng là $12-5=7$ m theo chiều dương, còn quãng đường tổng là $12+5=17$ m. Đây là điểm phân biệt quan trọng giữa quãng đường và độ dịch chuyển ngay trên chính đồ thị $v$–$t$: quãng đường luôn cộng dồn diện tích không dấu của mọi đoạn, còn độ dịch chuyển cộng đại số có dấu theo từng đoạn nằm trên hay dưới trục hoành.

Đoạn đầu là tam giác (diện tích 16 m), đoạn sau là hình chữ nhật (diện tích 48 m); tổng quãng đường là 64 m.

Ví dụ

Tính gia tốc và quãng đường từ một đoạn thẳng xiên

1
Đồ thị vận tốc – thời gian của một xe là một đường thẳng đi từ $(0\text{ s}; 0\text{ m/s})$ đến $(6\text{ s}; 12\text{ m/s})$ . Tính gia tốc của xe và quãng đường xe đi được trong 6 giây đó.
Đồ thị vận tốc – thời gian của một xe là một đường thẳng đi từ $(0\text{ s}; 0\text{ m/s})$ đến $(6\text{ s}; 12\text{ m/s})$. Tính gia tốc của xe và quãng đường xe đi được trong 6 giây đó.
2
Áp dụng $a = \Delta v/\Delta t$ giữa hai điểm đầu và cuối đoạn thẳng: $a = (12-0)/(6-0) = 2$ m/s².
Áp dụng $a = \Delta v/\Delta t$ giữa hai điểm đầu và cuối đoạn thẳng: $a = (12-0)/(6-0) = 2$ m/s².
3
Vùng dưới đoạn thẳng này là một tam giác vuông có đáy là thời gian $t=6$ s, chiều cao là vận tốc cuối $v=12$ m/s. Áp dụng công thức diện tích tam giác: $s = \tfrac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36$ m.
Vùng dưới đoạn thẳng này là một tam giác vuông có đáy là thời gian $t=6$ s, chiều cao là vận tốc cuối $v=12$ m/s. Áp dụng công thức diện tích tam giác: $s = \tfrac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36$ m.
4
Vậy gia tốc của xe là 2 m/s² và xe đã đi được 36 m trong 6 giây đó — đúng bằng diện tích tam giác dưới đồ thị.

Ví dụ

Đồ thị hình thang: xe tăng tốc rồi chạy đều (dạng đề thi)

1
Một xe khởi hành từ trạng thái đứng yên, tăng tốc đều trong 4 giây đầu để đạt vận tốc 8 m/s, sau đó giữ nguyên vận tốc 8 m/s trong 6 giây tiếp theo. Tính gia tốc trong giai đoạn đầu và tổng quãng đường xe đi được trong cả 10 giây.
2
Đoạn đầu là đoạn xiên từ $(0;0)$ đến $(4;8)$ . Áp dụng $a = \Delta v/\Delta t = (8-0)/(4-0) = 2$ m/s². (1)
Đoạn đầu là đoạn xiên từ $(0;0)$ đến $(4;8)$. Áp dụng $a = \Delta v/\Delta t = (8-0)/(4-0) = 2$ m/s². (1)
3
Diện tích tam giác đáy 4 s, chiều cao 8 m/s: $s_1 = \tfrac{1}{2}\times 4 \times 8 = 16$ m. (2)
Diện tích tam giác đáy 4 s, chiều cao 8 m/s: $s_1 = \tfrac{1}{2}\times 4 \times 8 = 16$ m. (2)
4
Đoạn sau nằm ngang tại $v=8$ m/s trong $10-4=6$ s: $s_2 = 8 \times 6 = 48$ m. (3)
Đoạn sau nằm ngang tại $v=8$ m/s trong $10-4=6$ s: $s_2 = 8 \times 6 = 48$ m. (3)
5
Tốc độ trung bình cả chuyến $=64/10=6{,}4$ m/s phải nằm giữa 0 m/s (lúc xuất phát) và 8 m/s (tốc độ lớn nhất đạt được) — đúng như vậy, nên kết quả (2) và (3) hợp lí.
Tốc độ trung bình cả chuyến $=64/10=6{,}4$ m/s phải nằm giữa 0 m/s (lúc xuất phát) và 8 m/s (tốc độ lớn nhất đạt được) — đúng như vậy, nên kết quả (2) và (3) hợp lí.
6
Cộng (2) và (3): $s = s_1+s_2 = 16+48 = 64$ m. Vậy gia tốc trong 4 giây đầu là 2 m/s² (theo (1)), và tổng quãng đường xe đi trong cả 10 giây là 64 m, gồm 16 m lúc tăng tốc và 48 m lúc chạy đều.
Cộng (2) và (3): $s = s_1+s_2 = 16+48 = 64$ m. Vậy gia tốc trong 4 giây đầu là 2 m/s² (theo (1)), và tổng quãng đường xe đi trong cả 10 giây là 64 m, gồm 16 m lúc tăng tốc và 48 m lúc chạy đều.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất khi đồ thị có nhiều đoạn là chỉ tính diện tích của tam giác đầu tiên rồi quên cộng thêm phần hình chữ nhật hoặc hình thang phía sau, dẫn tới quãng đường tính thiếu. Sai lầm khác là dùng công thức $s=vt$ của chuyển động thẳng đều cho cả đoạn có gia tốc khác 0, trong khi đoạn đó vận tốc không hề không đổi nên phải tính bằng diện tích tam giác hoặc hình thang, không phải hình chữ nhật.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trên đồ thị $v$ – $t$ : độ dốc của một đoạn thẳng là gia tốc trên đoạn đó; diện tích giữa đoạn thẳng và trục thời gian là độ dịch chuyển, dù đoạn đó nằm ngang (hình chữ nhật), xiên từ gốc (tam giác) hay xiên không từ gốc (hình thang). Đồ thị nhiều đoạn thì cộng diện tích từng đoạn lại.

Trên đồ thị $v$–$t$: độ dốc của một đoạn thẳng là gia tốc trên đoạn đó; diện tích giữa đoạn thẳng và trục thời gian là độ dịch chuyển, dù đoạn đó nằm ngang (hình chữ nhật), xiên từ gốc (tam giác) hay xiên không từ gốc (hình thang). Đồ thị nhiều đoạn thì cộng diện tích từng đoạn lại.

Chương tiếp theo áp dụng đúng các công thức và cách đọc đồ thị này vào một chuyển động biến đổi rất quen thuộc trong đời sống — vật rơi tự do.