Bài học

Tần số và liên hệ tốc độ dài – tốc độ góc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em định nghĩa và tính được tần số của chuyển động tròn đều, và vận dụng đúng công thức $v = \omega r$ để tính tốc độ dài của một điểm cách trục quay một khoảng $r$ cho trước, kể cả khi đề bài cho tốc độ quay dưới dạng vòng/phút.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã tính chu kì $T$ và tốc độ góc $\omega$ của một vật chuyển động tròn đều, và biết rằng mọi điểm trên cùng một vật rắn quay đều có cùng $\omega$ , cùng $T$ (same-grade bridge). Bài này đặt tên cho đại lượng nghịch đảo của $T$ — tần số — rồi đi tìm đại lượng KHÔNG giống nhau giữa các điểm: tốc độ dài.

Bài trước em đã tính chu kì $T$ và tốc độ góc $\omega$ của một vật chuyển động tròn đều, và biết rằng mọi điểm trên cùng một vật rắn quay đều có cùng $\omega$, cùng $T$ (same-grade bridge). Bài này đặt tên cho đại lượng nghịch đảo của $T$ — tần số — rồi đi tìm đại lượng KHÔNG giống nhau giữa các điểm: tốc độ dài.

Khởi động

Một chiếc quạt trần ghi trên hộp: '1200 vòng/phút'. Con số đó cho biết điều gì về chuyển động của cánh quạt? Và nếu một con ruồi đậu gần trục quạt, một con khác đậu ở đầu cánh xa hơn, con nào bay nhanh hơn dù cả hai đều quay cùng cánh quạt?

Kiến thức trọng tâm

Tần số của chuyển động tròn đều, kí hiệu $f$ , là số vòng quay vật thực hiện được trong một giây, và bằng nghịch đảo của chu kì:

$f = \dfrac{1}{T}$

Đơn vị của tần số là Hz (Héc), với $1$ Hz nghĩa là một vòng mỗi giây. Từ $T = 2\pi/\omega$ suy ra luôn có $f = \omega/2\pi$ , tức $\omega = 2\pi f$ — một cách viết khác của cùng một mối quan hệ, chỉ thay $T$ bằng $f$ . Ba đại lượng $T$ , $f$ , $\omega$ vì vậy chỉ là ba cách nói về cùng một tốc độ quay, và biết một trong ba, em luôn suy ra được hai đại lượng còn lại.

Nhiều đề bài, đặc biệt trong kỹ thuật, không cho $T$ hay $f$ trực tiếp mà cho tốc độ quay theo đơn vị vòng/phút (rpm) — như con số $1200$ vòng/phút của quạt trần. Để dùng được các công thức trên, luôn đổi về vòng/giây trước: $f$ (Hz) $=$ số vòng/phút $\div 60$ .

**Tần số** của chuyển động tròn đều, kí hiệu $f$, là số vòng quay vật thực hiện được trong một giây, và bằng nghịch đảo của chu kì: $$f = \dfrac{1}{T}$$ Đơn vị của tần số là Hz (Héc), với $1$ Hz nghĩa là một vòng mỗi giây. Từ $T = 2\pi/\omega$ suy ra luôn có $f = \omega/2\pi$, tức $\omega = 2\pi f$ — một cách viết khác của cùng một mối quan hệ, chỉ thay $T$ bằng $f$. Ba đại lượng $T$, $f$, $\omega$ vì vậy chỉ là ba cách nói về cùng một tốc độ quay, và biết một trong ba, em luôn suy ra được hai đại lượng còn lại. Nhiều đề bài, đặc biệt trong kỹ thuật, không cho $T$ hay $f$ trực tiếp mà cho tốc độ quay theo đơn vị vòng/phút (rpm) — như con số $1200$ vòng/phút của quạt trần. Để dùng được các công thức trên, luôn đổi về vòng/giây trước: $f$ (Hz) $=$ số vòng/phút $\div 60$.

Đơn vị vòng/phút xuất hiện rất phổ biến ngoài đời thực: tốc độ động cơ ô tô hiển thị trên đồng hồ vòng tua (thường vài nghìn vòng/phút), tốc độ quay của đĩa cứng máy tính (thường 5400 hoặc 7200 vòng/phút), hay tốc độ quay của máy ly tâm trong phòng thí nghiệm (có thể lên tới hàng chục nghìn vòng/phút). Trong mọi trường hợp này, kỹ sư cần đổi rpm sang Hz rồi sang rad/s trước khi tính bất kỳ đại lượng cơ học nào khác — ví dụ lực li tâm tác dụng lên mẫu trong máy ly tâm phụ thuộc trực tiếp vào $\omega^2$ , nên chỉ một sai sót nhỏ khi đổi đơn vị cũng khiến kết quả sai lệch rất lớn.

Đơn vị vòng/phút xuất hiện rất phổ biến ngoài đời thực: tốc độ động cơ ô tô hiển thị trên đồng hồ vòng tua (thường vài nghìn vòng/phút), tốc độ quay của đĩa cứng máy tính (thường 5400 hoặc 7200 vòng/phút), hay tốc độ quay của máy ly tâm trong phòng thí nghiệm (có thể lên tới hàng chục nghìn vòng/phút). Trong mọi trường hợp này, kỹ sư cần đổi rpm sang Hz rồi sang rad/s trước khi tính bất kỳ đại lượng cơ học nào khác — ví dụ lực li tâm tác dụng lên mẫu trong máy ly tâm phụ thuộc trực tiếp vào $\omega^2$, nên chỉ một sai sót nhỏ khi đổi đơn vị cũng khiến kết quả sai lệch rất lớn.

$v = \omega r$

Công thức này cho thấy rõ: $\omega$ như nhau cho mọi điểm trên vật rắn quay, nhưng $v$ tỉ lệ thuận với khoảng cách $r$ đến trục — điểm càng xa trục, tốc độ dài càng lớn, dù tốc độ góc không đổi. Đây là lí do khi ngồi trên vòng đu quay, người ngồi ở ghế ngoài rìa cảm nhận tốc độ nhanh hơn hẳn người đứng gần trục, dù cả vòng đu quay chỉ có một tốc độ góc duy nhất.

Hệ quả này có ứng dụng thực tế đáng chú ý: tại tâm Trái Đất quay quanh trục của nó (bỏ qua quỹ đạo quanh Mặt Trời), một điểm ở xích đạo và một điểm ở gần cực đều hoàn thành một vòng trong đúng $24$ giờ — cùng $\omega$ — nhưng điểm ở xích đạo có bán kính quay lớn hơn hẳn, nên tốc độ dài của nó lớn hơn nhiều so với điểm gần cực (nơi bán kính quay gần bằng 0). Đây chính là lí do các trạm phóng vệ tinh thường đặt gần xích đạo: điểm phóng đã có sẵn tốc độ dài lớn theo phương tiếp tuyến, giúp tiết kiệm nhiên liệu khi đưa vệ tinh lên quỹ đạo.

Bây giờ trả lời câu hỏi mở đầu bài: hai con ruồi đậu trên cùng một cánh quạt đang quay đều có cùng tốc độ góc $\omega$ (vì cùng quay với cả cánh quạt như một khối cứng), nhưng con đậu xa trục hơn phải đi trên một đường tròn lớn hơn trong cùng một khoảng thời gian — vì vậy nó phải bay nhanh hơn. **Tốc độ dài** (hay tốc độ tuyến tính) $v$ của một điểm cách trục quay một khoảng $r$ liên hệ với tốc độ góc theo công thức: $$v = \omega r$$ Công thức này cho thấy rõ: $\omega$ như nhau cho mọi điểm trên vật rắn quay, nhưng $v$ tỉ lệ thuận với khoảng cách $r$ đến trục — điểm càng xa trục, tốc độ dài càng lớn, dù tốc độ góc không đổi. Đây là lí do khi ngồi trên vòng đu quay, người ngồi ở ghế ngoài rìa cảm nhận tốc độ nhanh hơn hẳn người đứng gần trục, dù cả vòng đu quay chỉ có một tốc độ góc duy nhất. Hệ quả này có ứng dụng thực tế đáng chú ý: tại tâm Trái Đất quay quanh trục của nó (bỏ qua quỹ đạo quanh Mặt Trời), một điểm ở xích đạo và một điểm ở gần cực đều hoàn thành một vòng trong đúng $24$ giờ — cùng $\omega$ — nhưng điểm ở xích đạo có bán kính quay lớn hơn hẳn, nên tốc độ dài của nó lớn hơn nhiều so với điểm gần cực (nơi bán kính quay gần bằng 0). Đây chính là lí do các trạm phóng vệ tinh thường đặt gần xích đạo: điểm phóng đã có sẵn tốc độ dài lớn theo phương tiếp tuyến, giúp tiết kiệm nhiên liệu khi đưa vệ tinh lên quỹ đạo.

Cùng tốc độ góc

\omega = 4\pi

rad/s, điểm xa trục hơn (

r=0{,}3

m) có tốc độ dài lớn hơn hẳn điểm gần trục (

r=0{,}1

m), đúng theo tỉ lệ thuận

v=\omega r

.Cùng tốc độ góc $\omega = 4\pi$ rad/s, điểm xa trục hơn ($r=0{,}3$ m) có tốc độ dài lớn hơn hẳn điểm gần trục ($r=0{,}1$ m), đúng theo tỉ lệ thuận $v=\omega r$.

Ví dụ

Tần số và tốc độ dài trên bánh xe đạp (tiếp bài trước)

1
Bánh xe đạp ở bài trước quay đều với chu kì $T=0{,}5$ s và tốc độ góc $\omega = 4\pi$ rad/s. a) Tính tần số quay của bánh xe. b) Một điểm trên vành bánh xe cách trục quay $r = 0{,}3$ m. Tính tốc độ dài của điểm đó.
Bánh xe đạp ở bài trước quay đều với chu kì $T=0{,}5$ s và tốc độ góc $\omega = 4\pi$ rad/s. a) Tính tần số quay của bánh xe. b) Một điểm trên vành bánh xe cách trục quay $r = 0{,}3$ m. Tính tốc độ dài của điểm đó.
2
Áp dụng $f = 1/T = 1/0{,}5 = 2$ Hz.
Áp dụng $f = 1/T = 1/0{,}5 = 2$ Hz.
3
Áp dụng $v = \omega r = 4\pi \times 0{,}3 = 1{,}2\pi \approx 3{,}77$ m/s.
Áp dụng $v = \omega r = 4\pi \times 0{,}3 = 1{,}2\pi \approx 3{,}77$ m/s.
4
Thay $\omega = 2\pi f$ vào: $v = 2\pi f \times r = 2\pi \times 2 \times 0{,}3 = 1{,}2\pi \approx 3{,}77$ m/s, trùng khớp với cách tính trên — kết quả nhất quán dù dùng $\omega$ hay $f$ .
Thay $\omega = 2\pi f$ vào: $v = 2\pi f \times r = 2\pi \times 2 \times 0{,}3 = 1{,}2\pi \approx 3{,}77$ m/s, trùng khớp với cách tính trên — kết quả nhất quán dù dùng $\omega$ hay $f$.
5
Nếu xét một điểm khác trên cùng bánh xe, chỉ cách trục $r'=0{,}1$ m, tốc độ dài của nó là $v' = \omega r' = 4\pi \times 0{,}1 \approx 1{,}26$ m/s — nhỏ hơn hẳn $3{,}77$ m/s dù cùng quay với cùng một bánh xe, đúng vì $v$ tỉ lệ thuận với $r$ .
Nếu xét một điểm khác trên cùng bánh xe, chỉ cách trục $r'=0{,}1$ m, tốc độ dài của nó là $v' = \omega r' = 4\pi \times 0{,}1 \approx 1{,}26$ m/s — nhỏ hơn hẳn $3{,}77$ m/s dù cùng quay với cùng một bánh xe, đúng vì $v$ tỉ lệ thuận với $r$.
6
Vậy bánh xe quay với tần số $f = 2$ Hz, và điểm cách trục $0{,}3$ m trên vành bánh xe có tốc độ dài $v \approx 3{,}77$ m/s — lớn hơn tốc độ dài của một điểm gần trục hơn trên cùng bánh xe đó.
Vậy bánh xe quay với tần số $f = 2$ Hz, và điểm cách trục $0{,}3$ m trên vành bánh xe có tốc độ dài $v \approx 3{,}77$ m/s — lớn hơn tốc độ dài của một điểm gần trục hơn trên cùng bánh xe đó.

Ví dụ

Đĩa quay 300 vòng/phút (dạng đề thi)

1
Một đĩa quay đều với tốc độ $300$ vòng/phút. Tính chu kì, tần số, tốc độ góc của đĩa, và tốc độ dài của một điểm cách trục quay $0{,}2$ m.
Một đĩa quay đều với tốc độ $300$ vòng/phút. Tính chu kì, tần số, tốc độ góc của đĩa, và tốc độ dài của một điểm cách trục quay $0{,}2$ m.
2
Đổi $300$ vòng/phút về vòng/giây: $f = 300/60 = 5$ Hz. (1)
Đổi $300$ vòng/phút về vòng/giây: $f = 300/60 = 5$ Hz. (1)
3
Từ (1): $T = 1/f = 1/5 = 0{,}2$ s.
Từ (1): $T = 1/f = 1/5 = 0{,}2$ s.
4
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi$ rad/s $\approx 31{,}4$ rad/s. (2)
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 10\pi$ rad/s $\approx 31{,}4$ rad/s. (2)
5
Từ (2), áp dụng $v = \omega r$ với $r=0{,}2$ m: $v = 10\pi \times 0{,}2 = 2\pi \approx 6{,}28$ m/s.
Từ (2), áp dụng $v = \omega r$ với $r=0{,}2$ m: $v = 10\pi \times 0{,}2 = 2\pi \approx 6{,}28$ m/s.
6
Trong $1$ giây, đĩa quay $f=5$ vòng, mỗi vòng điểm ở $r=0{,}2$ m đi được quãng đường bằng chu vi $2\pi r = 2\pi\times 0{,}2\approx 1{,}257$ m. Vậy tốc độ dài $v \approx 5\times 1{,}257 \approx 6{,}28$ m/s — trùng khớp với kết quả tính bằng công thức $v=\omega r$ ở trên.
Trong $1$ giây, đĩa quay $f=5$ vòng, mỗi vòng điểm ở $r=0{,}2$ m đi được quãng đường bằng chu vi $2\pi r = 2\pi\times 0{,}2\approx 1{,}257$ m. Vậy tốc độ dài $v \approx 5\times 1{,}257 \approx 6{,}28$ m/s — trùng khớp với kết quả tính bằng công thức $v=\omega r$ ở trên.
7
Vậy đĩa quay với chu kì $T=0{,}2$ s, tần số $f=5$ Hz, tốc độ góc $\omega \approx 31{,}4$ rad/s, và điểm cách trục $0{,}2$ m có tốc độ dài $v \approx 6{,}28$ m/s.
Vậy đĩa quay với chu kì $T=0{,}2$ s, tần số $f=5$ Hz, tốc độ góc $\omega \approx 31{,}4$ rad/s, và điểm cách trục $0{,}2$ m có tốc độ dài $v \approx 6{,}28$ m/s.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp là dùng thẳng số vòng/phút vào công thức mà quên đổi sang giây, khiến $\omega$ và $v$ bị sai lệch đúng 60 lần. Một sai lầm khác là nghĩ tốc độ dài $v$ giống nhau ở mọi điểm trên cùng một vật quay giống như tốc độ góc — thực ra chỉ $\omega$ , $T$ , $f$ là như nhau; $v$ luôn phụ thuộc vào khoảng cách $r$ đến trục quay.

Sai lầm thường gặp là dùng thẳng số vòng/phút vào công thức mà quên đổi sang giây, khiến $\omega$ và $v$ bị sai lệch đúng 60 lần. Một sai lầm khác là nghĩ tốc độ dài $v$ giống nhau ở mọi điểm trên cùng một vật quay giống như tốc độ góc — thực ra chỉ $\omega$, $T$, $f$ là như nhau; $v$ luôn phụ thuộc vào khoảng cách $r$ đến trục quay.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tần số $f=1/T$ (Hz) đếm số vòng quay mỗi giây. Tốc độ dài $v=\omega r$ tỉ lệ thuận với khoảng cách đến trục quay — trong khi $\omega$ , $T$ , $f$ như nhau cho mọi điểm trên cùng một vật rắn quay, $v$ thì không.

Tần số $f=1/T$ (Hz) đếm số vòng quay mỗi giây. Tốc độ dài $v=\omega r$ tỉ lệ thuận với khoảng cách đến trục quay — trong khi $\omega$, $T$, $f$ như nhau cho mọi điểm trên cùng một vật rắn quay, $v$ thì không.

Đến đây em đã mô tả đầy đủ 'động học' của chuyển động tròn đều — vị trí góc, tốc độ góc, tốc độ dài. Nhưng nếu tốc độ không đổi, vật có gia tốc hay không? Bài tiếp theo trả lời câu hỏi tưởng chừng nghịch lí đó.