Bài học

Vật trên đĩa quay

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em thiết lập được điều kiện để một vật đặt trên đĩa quay nằm ngang không bị trượt ra ngoài, và tính được tốc độ góc (hoặc bán kính) tối đa an toàn khi biết hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa vật và đĩa.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết lực ma sát nghỉ có thể đóng vai trò lực hướng tâm (same-grade bridge). Bài này dùng thêm kiến thức về lực ma sát nghỉ cực đại $F_{ms,max}=\mu mg$ đã học ở chương lực ma sát của Vật lí 10 (same-grade bridge), với $\mu$ là hệ số ma sát nghỉ giữa hai bề mặt tiếp xúc.

Khởi động

Đặt một đồng xu lên một chiếc đĩa quay nằm ngang (như đĩa hát cũ), rồi tăng dần tốc độ quay của đĩa. Ban đầu đồng xu quay theo đĩa, nhưng đến một tốc độ nào đó, nó bắt đầu trượt và văng ra ngoài. Lực nào đã giữ đồng xu quay theo đĩa lúc đầu, và vì sao nó không giữ nổi khi đĩa quay quá nhanh?

Kiến thức trọng tâm

Nhưng lực ma sát nghỉ không thể lớn tuỳ ý — nó có một giá trị cực đại $F_{ms,max}=\mu mg$ , với $\mu$ là hệ số ma sát nghỉ giữa vật và mặt đĩa. Để vật không bị trượt, lực hướng tâm CẦN THIẾT không được vượt quá lực ma sát nghỉ TỐI ĐA mà mặt đĩa có thể cung cấp:

$m\omega^2 r \le \mu mg$

Khối lượng $m$ xuất hiện ở cả hai vế nên TRIỆT TIÊU hoàn toàn — điều kiện để vật không trượt không phụ thuộc vào khối lượng của vật:

$\omega^2 \le \dfrac{\mu g}{r} \quad\text{hay tương đương}\quad v \le \sqrt{\mu g r}$

Ở đúng ranh giới bắt đầu trượt, dấu bằng xảy ra: $\omega_{max}=\sqrt{\mu g/r}$ , hoặc $v_{max}=\sqrt{\mu g r}$ . Nếu tốc độ quay của đĩa vượt quá giới hạn này, lực ma sát nghỉ không còn đủ để giữ vật chuyển động tròn cùng đĩa, và vật sẽ trượt dần ra phía ngoài.

Một vật đặt trên một đĩa quay nằm ngang, cùng quay với đĩa (không trượt), thực chất đang chuyển động tròn đều — vì vậy nó cần một lực hướng tâm $F_{ht}=m\omega^2 r$ hướng vào trục quay. Trên mặt đĩa nằm ngang, lực duy nhất có thể hướng vào tâm là lực ma sát nghỉ giữa vật và đĩa (trọng lực và phản lực pháp tuyến đều theo phương thẳng đứng, triệt tiêu lẫn nhau). Vậy chính lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực hướng tâm, giữ vật quay cùng đĩa. Nhưng lực ma sát nghỉ không thể lớn tuỳ ý — nó có một giá trị cực đại $F_{ms,max}=\mu mg$, với $\mu$ là hệ số ma sát nghỉ giữa vật và mặt đĩa. Để vật không bị trượt, lực hướng tâm CẦN THIẾT không được vượt quá lực ma sát nghỉ TỐI ĐA mà mặt đĩa có thể cung cấp: $$m\omega^2 r \le \mu mg$$ Khối lượng $m$ xuất hiện ở cả hai vế nên TRIỆT TIÊU hoàn toàn — điều kiện để vật không trượt không phụ thuộc vào khối lượng của vật: $$\omega^2 \le \dfrac{\mu g}{r} \quad\text{hay tương đương}\quad v \le \sqrt{\mu g r}$$ Ở đúng ranh giới bắt đầu trượt, dấu bằng xảy ra: $\omega_{max}=\sqrt{\mu g/r}$, hoặc $v_{max}=\sqrt{\mu g r}$. Nếu tốc độ quay của đĩa vượt quá giới hạn này, lực ma sát nghỉ không còn đủ để giữ vật chuyển động tròn cùng đĩa, và vật sẽ trượt dần ra phía ngoài.

Công thức $\omega_{max}=\sqrt{\mu g/r}$ còn cho một nhận xét đáng chú ý về vị trí đặt vật: với cùng một tốc độ góc $\omega$ và cùng hệ số ma sát $\mu$ , một vật đặt CÀNG GẦN trục quay (bán kính $r$ càng nhỏ) càng khó bị trượt, vì gia tốc hướng tâm cần thiết $\omega^2 r$ nhỏ hơn khi $r$ nhỏ. Đây là lí do trên một chiếc đĩa quay thực tế, vật đặt gần tâm bám rất chắc trong khi vật đặt ở mép ngoài dễ bị văng ra trước, dù toàn bộ đĩa quay với cùng một tốc độ góc duy nhất — mọi điểm trên đĩa cùng $\omega$ , nhưng điều kiện trượt lại khác nhau vì $r$ khác nhau.

Công thức $\omega_{max}=\sqrt{\mu g/r}$ còn cho một nhận xét đáng chú ý về vị trí đặt vật: với cùng một tốc độ góc $\omega$ và cùng hệ số ma sát $\mu$, một vật đặt CÀNG GẦN trục quay (bán kính $r$ càng nhỏ) càng khó bị trượt, vì gia tốc hướng tâm cần thiết $\omega^2 r$ nhỏ hơn khi $r$ nhỏ. Đây là lí do trên một chiếc đĩa quay thực tế, vật đặt gần tâm bám rất chắc trong khi vật đặt ở mép ngoài dễ bị văng ra trước, dù toàn bộ đĩa quay với cùng một tốc độ góc duy nhất — mọi điểm trên đĩa cùng $\omega$, nhưng điều kiện trượt lại khác nhau vì $r$ khác nhau.

Cũng cần phân biệt rõ hai loại ma sát xuất hiện ở đây: khi vật CÒN quay cùng đĩa (chưa trượt), lực giữ nó là ma sát NGHỈ, có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ $0$ đến $F_{ms,max}$ tuỳ theo lực hướng tâm cần thiết là bao nhiêu — ma sát nghỉ 'tự điều chỉnh' đúng bằng $m\omega^2 r$ , không phải lúc nào cũng bằng giá trị cực đại. Chỉ khi lực hướng tâm cần thiết VƯỢT QUÁ $F_{ms,max}$ , vật mới bắt đầu trượt, và từ thời điểm đó lực ma sát chuyển sang ma sát TRƯỢT (thường nhỏ hơn ma sát nghỉ cực đại), khiến vật trượt ra ngoài ngày càng nhanh.

Cũng cần phân biệt rõ hai loại ma sát xuất hiện ở đây: khi vật CÒN quay cùng đĩa (chưa trượt), lực giữ nó là ma sát NGHỈ, có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ $0$ đến $F_{ms,max}$ tuỳ theo lực hướng tâm cần thiết là bao nhiêu — ma sát nghỉ 'tự điều chỉnh' đúng bằng $m\omega^2 r$, không phải lúc nào cũng bằng giá trị cực đại. Chỉ khi lực hướng tâm cần thiết VƯỢT QUÁ $F_{ms,max}$, vật mới bắt đầu trượt, và từ thời điểm đó lực ma sát chuyển sang ma sát TRƯỢT (thường nhỏ hơn ma sát nghỉ cực đại), khiến vật trượt ra ngoài ngày càng nhanh.

Ví dụ

Tốc độ góc tối đa để vật không trượt trên đĩa quay

1
Một vật nhỏ khối lượng $0{,}1$ kg đặt trên một đĩa quay nằm ngang, tại vị trí cách trục quay $r=0{,}2$ m. Hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa vật và đĩa là $\mu=0{,}4$ . Lấy $g=9{,}8$ m/s². Tính tốc độ góc tối đa để vật không bị trượt.
Một vật nhỏ khối lượng $0{,}1$ kg đặt trên một đĩa quay nằm ngang, tại vị trí cách trục quay $r=0{,}2$ m. Hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa vật và đĩa là $\mu=0{,}4$. Lấy $g=9{,}8$ m/s². Tính tốc độ góc tối đa để vật không bị trượt.
2
Điều kiện để vật không trượt: $m\omega^2 r \le \mu mg$ , tức $\omega^2 \le \mu g/r$ . Ở giới hạn trượt, dấu bằng xảy ra.
Điều kiện để vật không trượt: $m\omega^2 r \le \mu mg$, tức $\omega^2 \le \mu g/r$. Ở giới hạn trượt, dấu bằng xảy ra.
3
$\omega_{max}^2 = \mu g/r = (0{,}4\times 9{,}8)/0{,}2 = 3{,}92/0{,}2=19{,}6$ , suy ra $\omega_{max}=\sqrt{19{,}6}\approx 4{,}43$ rad/s.
$\omega_{max}^2 = \mu g/r = (0{,}4\times 9{,}8)/0{,}2 = 3{,}92/0{,}2=19{,}6$, suy ra $\omega_{max}=\sqrt{19{,}6}\approx 4{,}43$ rad/s.
4
Tính theo cách khác: $v_{max}=\sqrt{\mu g r}=\sqrt{0{,}4\times 9{,}8\times 0{,}2}=\sqrt{0{,}784}\approx 0{,}885$ m/s. Kiểm lại: $v_{max}=\omega_{max}\times r = 4{,}43\times 0{,}2\approx 0{,}885$ m/s — trùng khớp, xác nhận kết quả đúng.
Tính theo cách khác: $v_{max}=\sqrt{\mu g r}=\sqrt{0{,}4\times 9{,}8\times 0{,}2}=\sqrt{0{,}784}\approx 0{,}885$ m/s. Kiểm lại: $v_{max}=\omega_{max}\times r = 4{,}43\times 0{,}2\approx 0{,}885$ m/s — trùng khớp, xác nhận kết quả đúng.
5
Vậy tốc độ góc tối đa để vật không trượt là $\omega_{max}\approx 4{,}43$ rad/s. Nếu đĩa quay nhanh hơn giá trị này, vật sẽ trượt ra phía ngoài — và kết quả này KHÔNG phụ thuộc vào khối lượng $0{,}1$ kg của vật, vì $m$ đã triệt tiêu trong điều kiện.
Vậy tốc độ góc tối đa để vật không trượt là $\omega_{max}\approx 4{,}43$ rad/s. Nếu đĩa quay nhanh hơn giá trị này, vật sẽ trượt ra phía ngoài — và kết quả này KHÔNG phụ thuộc vào khối lượng $0{,}1$ kg của vật, vì $m$ đã triệt tiêu trong điều kiện.

Ví dụ

Hạt bụi trên đĩa hát — có bị văng ra không (dạng đề thi)

1
Một đĩa hát bán kính $15$ cm quay đều với tốc độ $45$ vòng/phút. Một hạt bụi nhỏ nằm ở mép đĩa (cách trục $r=0{,}15$ m). Hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa hạt bụi và đĩa là $\mu=0{,}25$ . Lấy $g=9{,}8$ m/s². Hạt bụi có bị văng khỏi đĩa không? Nếu có, nó cần nằm cách trục tối đa bao nhiêu để không bị văng ra?
Một đĩa hát bán kính $15$ cm quay đều với tốc độ $45$ vòng/phút. Một hạt bụi nhỏ nằm ở mép đĩa (cách trục $r=0{,}15$ m). Hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa hạt bụi và đĩa là $\mu=0{,}25$. Lấy $g=9{,}8$ m/s². Hạt bụi có bị văng khỏi đĩa không? Nếu có, nó cần nằm cách trục tối đa bao nhiêu để không bị văng ra?
2
Đổi $45$ vòng/phút sang Hz: $f=45/60=0{,}75$ Hz, suy ra $\omega=2\pi f = 2\pi\times 0{,}75=1{,}5\pi\approx 4{,}71$ rad/s. (1)
Đổi $45$ vòng/phút sang Hz: $f=45/60=0{,}75$ Hz, suy ra $\omega=2\pi f = 2\pi\times 0{,}75=1{,}5\pi\approx 4{,}71$ rad/s. (1)
3
Từ (1), tại $r=0{,}15$ m: $\omega^2 r \approx 4{,}71^2\times 0{,}15\approx 22{,}2\times 0{,}15\approx 3{,}33$ m/s². (2)
Từ (1), tại $r=0{,}15$ m: $\omega^2 r \approx 4{,}71^2\times 0{,}15\approx 22{,}2\times 0{,}15\approx 3{,}33$ m/s². (2)
4
Gia tốc tối đa ma sát có thể cung cấp: $\mu g = 0{,}25\times 9{,}8=2{,}45$ m/s². (3) So (2) với (3): $3{,}33 > 2{,}45$ , tức lực hướng tâm cần thiết vượt quá lực ma sát nghỉ tối đa.
Gia tốc tối đa ma sát có thể cung cấp: $\mu g = 0{,}25\times 9{,}8=2{,}45$ m/s². (3) So (2) với (3): $3{,}33 > 2{,}45$, tức lực hướng tâm cần thiết vượt quá lực ma sát nghỉ tối đa.
5
Vậy tại mép đĩa ( $r=0{,}15$ m), hạt bụi SẼ bị văng ra khỏi đĩa vì ma sát không đủ giữ nó.
Vậy tại mép đĩa ($r=0{,}15$ m), hạt bụi SẼ bị văng ra khỏi đĩa vì ma sát không đủ giữ nó.
6
Để không trượt, cần $\omega^2 r \le \mu g$ , suy ra $r \le \mu g/\omega^2 = 2{,}45/22{,}2\approx 0{,}110$ m $= 11{,}0$ cm. Vậy hạt bụi chỉ an toàn nếu nằm cách trục không quá khoảng $11{,}0$ cm — gần trục hơn vị trí ban đầu $15$ cm.
Để không trượt, cần $\omega^2 r \le \mu g$, suy ra $r \le \mu g/\omega^2 = 2{,}45/22{,}2\approx 0{,}110$ m $= 11{,}0$ cm. Vậy hạt bụi chỉ an toàn nếu nằm cách trục không quá khoảng $11{,}0$ cm — gần trục hơn vị trí ban đầu $15$ cm.
7
Tóm lại, tại mép đĩa ( $15$ cm) hạt bụi bị văng ra vì lực hướng tâm cần thiết vượt quá khả năng ma sát; hạt bụi chỉ đứng yên trên đĩa khi được đặt trong phạm vi bán kính khoảng $11{,}0$ cm trở vào, đúng bằng vùng mà ma sát nghỉ còn đủ sức giữ nó.
Tóm lại, tại mép đĩa ($15$ cm) hạt bụi bị văng ra vì lực hướng tâm cần thiết vượt quá khả năng ma sát; hạt bụi chỉ đứng yên trên đĩa khi được đặt trong phạm vi bán kính khoảng $11{,}0$ cm trở vào, đúng bằng vùng mà ma sát nghỉ còn đủ sức giữ nó.

Vì gia tốc cần thiết (

3{,}33

m/s²) lớn hơn gia tốc tối đa ma sát cung cấp được (

2{,}45

m/s²), hạt bụi ở mép đĩa sẽ bị trượt và văng ra ngoài.Vì gia tốc cần thiết ($3{,}33$ m/s²) lớn hơn gia tốc tối đa ma sát cung cấp được ($2{,}45$ m/s²), hạt bụi ở mép đĩa sẽ bị trượt và văng ra ngoài.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp là nghĩ vật càng nặng thì càng khó bị trượt, vì lực ma sát cực đại $\mu mg$ tỉ lệ thuận với khối lượng — nhưng lực hướng tâm CẦN THIẾT $m\omega^2 r$ cũng tỉ lệ thuận với đúng khối lượng đó, nên $m$ triệt tiêu hoàn toàn trong điều kiện không trượt. Nói cách khác, khối lượng của vật KHÔNG ảnh hưởng đến việc nó có bị văng ra hay không — chỉ $\mu$ , $g$ , $\omega$ và $r$ mới quyết định.

Kết quả 'khối lượng triệt tiêu' này không chỉ là một mẹo tính toán — nó phản ánh đúng bản chất vật lí: cả lực hướng tâm cần thiết và lực ma sát nghỉ tối đa đều là những lực tỉ lệ thuận với khối lượng, nên khi so sánh hai đại lượng cùng tỉ lệ với $m$ , chính $m$ sẽ biến mất khỏi điều kiện. Đây là một ví dụ cụ thể của nguyên lí quen thuộc trong cơ học: vật nặng hơn không nhất thiết 'khó chuyển động' hơn vật nhẹ trong mọi bài toán, vì nhiều đại lượng liên quan cũng tăng theo đúng tỉ lệ khối lượng đó.

Kết quả 'khối lượng triệt tiêu' này không chỉ là một mẹo tính toán — nó phản ánh đúng bản chất vật lí: cả lực hướng tâm cần thiết và lực ma sát nghỉ tối đa đều là những lực tỉ lệ thuận với khối lượng, nên khi so sánh hai đại lượng cùng tỉ lệ với $m$, chính $m$ sẽ biến mất khỏi điều kiện. Đây là một ví dụ cụ thể của nguyên lí quen thuộc trong cơ học: vật nặng hơn không nhất thiết 'khó chuyển động' hơn vật nhẹ trong mọi bài toán, vì nhiều đại lượng liên quan cũng tăng theo đúng tỉ lệ khối lượng đó.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trên đĩa quay nằm ngang, lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực hướng tâm. Điều kiện không trượt $\omega^2 \le \mu g/r$ (hay $v\le\sqrt{\mu g r}$ ) không phụ thuộc khối lượng vật — chỉ phụ thuộc $\mu$ , $g$ , $r$ , $\omega$ .

Trên đĩa quay nằm ngang, lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực hướng tâm. Điều kiện không trượt $\omega^2 \le \mu g/r$ (hay $v\le\sqrt{\mu g r}$) không phụ thuộc khối lượng vật — chỉ phụ thuộc $\mu$, $g$, $r$, $\omega$.

Cùng một điều kiện toán học vừa thiết lập — lực ma sát nghỉ cấp lực hướng tâm, có giới hạn tối đa — cũng chính là điều quyết định tốc độ an toàn của ô tô khi vào khúc cua, chủ đề của bài tiếp theo.