Bài học

Tổng hợp dao động điều hòa và con lắc

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em ôn lại và vận dụng thành thạo phương trình li độ, vận tốc, gia tốc trong dao động điều hòa, công thức chu kì của con lắc lò xo và con lắc đơn, cùng công thức cơ năng dao động, để giải một bài toán tổng hợp nhiều đại lượng trên cùng một hệ dao động.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã học phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ , vận tốc $v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)$ và gia tốc $a = -\omega^2 x$ ; chu kì con lắc lò xo $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ , chu kì con lắc đơn $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ khi góc lệch nhỏ, và cơ năng dao động $W = \dfrac{1}{2}kA^2$ không đổi khi bỏ qua ma sát. Bài này còn nhắc lại dao động tắt dần, dao động cưỡng bức và cộng hưởng từ Course 3.

Em đã học phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, vận tốc $v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)$ và gia tốc $a = -\omega^2 x$; chu kì con lắc lò xo $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$, chu kì con lắc đơn $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ khi góc lệch nhỏ, và cơ năng dao động $W = \dfrac{1}{2}kA^2$ không đổi khi bỏ qua ma sát. Bài này còn nhắc lại dao động tắt dần, dao động cưỡng bức và cộng hưởng từ Course 3.

Khởi động

Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa. Nếu biết khối lượng vật nặng, độ cứng lò xo và biên độ, em tìm được bao nhiêu đại lượng khác của dao động này mà không cần đo thêm gì nữa? Thử liệt kê trước khi đọc tiếp.

Kiến thức trọng tâm

Phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ mô tả trọn vẹn một dao động điều hòa: $A$ là biên độ, không đổi trong suốt quá trình dao động khi bỏ qua ma sát; $\omega$ là tần số góc, quyết định tốc độ dao động nhanh hay chậm; $(\omega t + \varphi)$ là pha dao động tại thời điểm $t$ . Đạo hàm liên tiếp cho vận tốc $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ và gia tốc $a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$ — gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ thuận với độ lớn li độ.

Phương trình $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ mô tả trọn vẹn một dao động điều hòa: $A$ là biên độ, không đổi trong suốt quá trình dao động khi bỏ qua ma sát; $\omega$ là tần số góc, quyết định tốc độ dao động nhanh hay chậm; $(\omega t + \varphi)$ là pha dao động tại thời điểm $t$. Đạo hàm liên tiếp cho vận tốc $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ và gia tốc $a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$ — gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ thuận với độ lớn li độ.

Với con lắc lò xo, tần số góc gắn trực tiếp với độ cứng lò xo và khối lượng vật nặng qua $\omega^2 = \dfrac{k}{m}$ , nên chu kì $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ chỉ phụ thuộc $m$ và $k$ , không phụ thuộc biên độ $A$ — dù kéo con lắc lệch nhiều hay ít, nó vẫn dao động với đúng chu kì đó. Với con lắc đơn (góc lệch nhỏ, $\alpha \le 10°$ ), chu kì $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ chỉ phụ thuộc chiều dài dây treo $\ell$ và gia tốc trọng trường $g$ , không phụ thuộc khối lượng vật nặng hay biên độ.

Với con lắc lò xo, tần số góc gắn trực tiếp với độ cứng lò xo và khối lượng vật nặng qua $\omega^2 = \dfrac{k}{m}$, nên chu kì $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ chỉ phụ thuộc $m$ và $k$, không phụ thuộc biên độ $A$ — dù kéo con lắc lệch nhiều hay ít, nó vẫn dao động với đúng chu kì đó. Với con lắc đơn (góc lệch nhỏ, $\alpha \le 10°$), chu kì $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ chỉ phụ thuộc chiều dài dây treo $\ell$ và gia tốc trọng trường $g$, không phụ thuộc khối lượng vật nặng hay biên độ.

Cơ năng dao động $W = W_đ + W_t = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2 A^2$ là một hằng số khi bỏ qua ma sát, dù $W_đ$ và $W_t$ liên tục đổi cho nhau theo thời gian. Từ đẳng thức $\dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}kA^2$ , em rút ra vận tốc tại một li độ $x$ bất kỳ mà không cần biết thời điểm $t$ : $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$ — công cụ rất hữu ích khi đề bài cho vị trí thay vì cho thời gian.

Cơ năng dao động $W = W_đ + W_t = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2}m\omega^2 A^2$ là một hằng số khi bỏ qua ma sát, dù $W_đ$ và $W_t$ liên tục đổi cho nhau theo thời gian. Từ đẳng thức $\dfrac{1}{2}mv^2 + \dfrac{1}{2}kx^2 = \dfrac{1}{2}kA^2$, em rút ra vận tốc tại một li độ $x$ bất kỳ mà không cần biết thời điểm $t$: $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$ — công cụ rất hữu ích khi đề bài cho vị trí thay vì cho thời gian.

Trong thực tế, ma sát và lực cản luôn làm biên độ giảm dần theo thời gian — đó là dao động tắt dần, ứng dụng trong giảm xóc xe. Khi một ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên hệ, hệ dao động cưỡng bức theo đúng tần số của ngoại lực, không phải tần số riêng của nó. Nếu tần số ngoại lực trùng đúng tần số riêng $f_0$ của hệ, biên độ dao động cưỡng bức đạt cực đại — đó là hiện tượng cộng hưởng, vừa có thể hữu ích (đàn violin cộng hưởng để khuếch đại âm) vừa có thể nguy hiểm (cầu rung sập khi đoàn người bước đều đúng nhịp).

Khi làm bài tổng hợp, em cần chọn đúng công thức chu kì theo đúng hệ đang xét: con lắc lò xo dùng khối lượng và độ cứng, con lắc đơn dùng chiều dài dây và gia tốc trọng trường — hai công thức không thể dùng thay cho nhau dù cùng dạng $T = 2\pi\sqrt{\cdot}$ . Đây cũng là lý do đồng hồ quả lắc cổ dùng con lắc đơn chứ không dùng con lắc lò xo: chu kì của nó không phụ thuộc khối lượng quả nặng hay việc biên độ dao động nhỏ dần theo thời gian do ma sát, nên đồng hồ vẫn chạy đúng nhịp trong nhiều ngày liền mà không cần chỉnh lại độ dài dây.

Khi làm bài tổng hợp, em cần chọn đúng công thức chu kì theo đúng hệ đang xét: con lắc lò xo dùng khối lượng và độ cứng, con lắc đơn dùng chiều dài dây và gia tốc trọng trường — hai công thức không thể dùng thay cho nhau dù cùng dạng $T = 2\pi\sqrt{\cdot}$. Đây cũng là lý do đồng hồ quả lắc cổ dùng con lắc đơn chứ không dùng con lắc lò xo: chu kì của nó không phụ thuộc khối lượng quả nặng hay việc biên độ dao động nhỏ dần theo thời gian do ma sát, nên đồng hồ vẫn chạy đúng nhịp trong nhiều ngày liền mà không cần chỉnh lại độ dài dây.

Con lắc lò xo m=0,5kg, k=50N/m: đồ thị x(t) minh hoạ đúng dạng hàm cos tuần hoàn với chu kì T≈0,628s.

Ví dụ

Tổng hợp chu kì, vận tốc cực đại, gia tốc cực đại và cơ năng của con lắc lò xo

1
Một con lắc lò xo có khối lượng $m = 0{,}5$ kg, độ cứng $k = 50$ N/m, dao động điều hòa với biên độ $A = 4$ cm. Tính chu kì $T$ , vận tốc cực đại $v_{max}$ , gia tốc cực đại $a_{max}$ và cơ năng $W$ .
Một con lắc lò xo có khối lượng $m = 0{,}5$ kg, độ cứng $k = 50$ N/m, dao động điều hòa với biên độ $A = 4$ cm. Tính chu kì $T$, vận tốc cực đại $v_{max}$, gia tốc cực đại $a_{max}$ và cơ năng $W$.
2
$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}5}} = \sqrt{100} = 10$ rad/s. (1) Từ (1): $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}628$ s.
$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}5}} = \sqrt{100} = 10$ rad/s. (1) Từ (1): $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{10} \approx 0{,}628$ s.
3
Đổi $A = 4$ cm $= 0{,}04$ m. Từ (1): $v_{max} = A\omega = 0{,}04 \times 10 = 0{,}4$ m/s $= 40$ cm/s.
Đổi $A = 4$ cm $= 0{,}04$ m. Từ (1): $v_{max} = A\omega = 0{,}04 \times 10 = 0{,}4$ m/s $= 40$ cm/s.
4
Từ (1): $a_{max} = A\omega^2 = 0{,}04 \times 100 = 4$ m/s² $= 400$ cm/s².
Từ (1): $a_{max} = A\omega^2 = 0{,}04 \times 100 = 4$ m/s² $= 400$ cm/s².
5
$W = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2} \times 50 \times 0{,}04^2 = 0{,}04$ J.
$W = \dfrac{1}{2}kA^2 = \dfrac{1}{2} \times 50 \times 0{,}04^2 = 0{,}04$ J.
6
Tại vị trí cân bằng, toàn bộ cơ năng là động năng: $\dfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 0{,}4^2 = 0{,}04$ J, đúng bằng $W$ vừa tính — kết quả nhất quán.
Tại vị trí cân bằng, toàn bộ cơ năng là động năng: $\dfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times 0{,}4^2 = 0{,}04$ J, đúng bằng $W$ vừa tính — kết quả nhất quán.
7
Vậy $T \approx 0{,}628$ s, $v_{max} = 40$ cm/s, $a_{max} = 400$ cm/s² $= 4$ m/s², và $W = 0{,}04$ J $= 40$ mJ.
Vậy $T \approx 0{,}628$ s, $v_{max} = 40$ cm/s, $a_{max} = 400$ cm/s² $= 4$ m/s², và $W = 0{,}04$ J $= 40$ mJ.

Ví dụ

Bài dạng thi: con lắc lò xo với dao động cưỡng bức và cộng hưởng

1
Một con lắc lò xo có $m = 0{,}2$ kg, $k = 20$ N/m dao động điều hòa với biên độ ban đầu $A_0 = 5$ cm. Do ma sát nhỏ, dao động tắt dần chậm; hệ được gắn thêm một ngoại lực tuần hoàn có tần số điều chỉnh được để bù năng lượng. (a) Tính tần số riêng $f_0$ của con lắc. (b) Nếu ngoại lực có tần số $f = f_0$ , hiện tượng gì xảy ra và vì sao đây là lựa chọn để bù đắp năng lượng mất do ma sát? (c) Nếu tần số ngoại lực lệch xa $f_0$ , biên độ dao động cưỡng bức thay đổi thế nào?
Một con lắc lò xo có $m = 0{,}2$ kg, $k = 20$ N/m dao động điều hòa với biên độ ban đầu $A_0 = 5$ cm. Do ma sát nhỏ, dao động tắt dần chậm; hệ được gắn thêm một ngoại lực tuần hoàn có tần số điều chỉnh được để bù năng lượng. (a) Tính tần số riêng $f_0$ của con lắc. (b) Nếu ngoại lực có tần số $f = f_0$, hiện tượng gì xảy ra và vì sao đây là lựa chọn để bù đắp năng lượng mất do ma sát? (c) Nếu tần số ngoại lực lệch xa $f_0$, biên độ dao động cưỡng bức thay đổi thế nào?
2
$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{20}{0{,}2}} = \sqrt{100} = 10$ rad/s. (1) Từ (1): $f_0 = \dfrac{\omega}{2\pi} \approx 1{,}59$ Hz.
$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{20}{0{,}2}} = \sqrt{100} = 10$ rad/s. (1) Từ (1): $f_0 = \dfrac{\omega}{2\pi} \approx 1{,}59$ Hz.
3
Khi $f = f_0 \approx 1{,}59$ Hz, hệ xảy ra hiện tượng cộng hưởng: biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, vì ngoại lực cung cấp năng lượng đúng nhịp với dao động riêng của hệ, bù hoàn toàn phần năng lượng mất do lực cản nên biên độ không giảm.
Khi $f = f_0 \approx 1{,}59$ Hz, hệ xảy ra hiện tượng cộng hưởng: biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, vì ngoại lực cung cấp năng lượng đúng nhịp với dao động riêng của hệ, bù hoàn toàn phần năng lượng mất do lực cản nên biên độ không giảm.
4
Biên độ dao động cưỡng bức nhỏ hơn giá trị cực đại và giảm dần khi $|f - f_0|$ tăng, vì ngoại lực không còn đồng bộ nhịp với dao động riêng của hệ, phần lớn công của ngoại lực không chuyển thành năng lượng dao động hữu ích.
Biên độ dao động cưỡng bức nhỏ hơn giá trị cực đại và giảm dần khi $|f - f_0|$ tăng, vì ngoại lực không còn đồng bộ nhịp với dao động riêng của hệ, phần lớn công của ngoại lực không chuyển thành năng lượng dao động hữu ích.
5
Vậy tần số riêng của con lắc là $f_0 \approx 1{,}59$ Hz; chọn tần số ngoại lực đúng bằng $f_0$ tạo cộng hưởng, biên độ đạt cực đại và duy trì dao động ổn định bất chấp ma sát; lệch xa $f_0$ thì biên độ giảm.
Vậy tần số riêng của con lắc là $f_0 \approx 1{,}59$ Hz; chọn tần số ngoại lực đúng bằng $f_0$ tạo cộng hưởng, biên độ đạt cực đại và duy trì dao động ổn định bất chấp ma sát; lệch xa $f_0$ thì biên độ giảm.

Sai lầm thường gặp

Học sinh hay nghĩ chu kì con lắc lò xo phụ thuộc biên độ A — thực chất T chỉ phụ thuộc m và k, không phụ thuộc A hay điều kiện thả ban đầu. Một sai lầm khác: nhầm điều kiện cộng hưởng là tần số ngoại lực gấp đôi tần số riêng, trong khi điều kiện đúng là hai tần số bằng nhau.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Con lắc lò xo: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ , không phụ thuộc A. Con lắc đơn: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$ , không phụ thuộc m hay A. Cơ năng $W = \dfrac{1}{2}kA^2$ không đổi khi bỏ ma sát. Cộng hưởng xảy ra khi tần số ngoại lực bằng tần số riêng của hệ.

Con lắc lò xo: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$, không phụ thuộc A. Con lắc đơn: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$, không phụ thuộc m hay A. Cơ năng $W = \dfrac{1}{2}kA^2$ không đổi khi bỏ ma sát. Cộng hưởng xảy ra khi tần số ngoại lực bằng tần số riêng của hệ.

Bài tiếp theo rời khỏi dao động cơ và chuyển sang một dạng dao động lan truyền trong không gian — sóng cơ, với các đại lượng bước sóng, tần số và tốc độ truyền sóng.