Bài học

Hàm số bậc hai: đỉnh, trục đối xứng và bảng biến thiên

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em xác định được toạ độ đỉnh, trục đối xứng của một hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ , và lập được bảng biến thiên của nó dựa vào dấu của hệ số $a$ .

Sau bài học này, em xác định được toạ độ đỉnh, trục đối xứng của một hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$, và lập được bảng biến thiên của nó dựa vào dấu của hệ số $a$.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã trang bị ngôn ngữ cần thiết: khái niệm hàm số, tập xác định, và cách xét sự biến thiên bằng định nghĩa. Ở lớp 9 (prior-grade review), em đã vẽ đồ thị $y=ax^2$ dạng đơn giản nhất khi $b=c=0$ . Bài này tổng quát hoá lên dạng đầy đủ $y=ax^2+bx+c$ với $a \ne 0$ .

Hai bài trước đã trang bị ngôn ngữ cần thiết: khái niệm hàm số, tập xác định, và cách xét sự biến thiên bằng định nghĩa. Ở lớp 9 (prior-grade review), em đã vẽ đồ thị $y=ax^2$ dạng đơn giản nhất khi $b=c=0$. Bài này tổng quát hoá lên dạng đầy đủ $y=ax^2+bx+c$ với $a \ne 0$.

Khởi động

Một quả bóng ném lên có độ cao thay đổi theo thời gian theo một hàm số bậc hai. Bóng lên cao dần rồi lại rơi xuống — hàm số này đổi chiều biến thiên đúng một lần, tại đúng một thời điểm. Vì sao lại đúng một lần, và làm sao tìm chính xác thời điểm đó chỉ từ công thức, không cần vẽ đồ thị?

Hàm số bậc hai và công thức đỉnh

Hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2+bx+c$ , trong đó $a,b,c$ là các hằng số và $a \ne 0$ — nếu $a=0$ , hàm số suy biến thành hàm bậc nhất hoặc hàm hằng, không còn là bậc hai nữa. Tập xác định của mọi hàm số bậc hai luôn là $D=\mathbb{R}$ vì đây là một đa thức, không có căn, không có mẫu chứa biến.

Hàm số bậc hai có dạng $y=ax^2+bx+c$, trong đó $a,b,c$ là các hằng số và $a \ne 0$ — nếu $a=0$, hàm số suy biến thành hàm bậc nhất hoặc hàm hằng, không còn là bậc hai nữa. Tập xác định của mọi hàm số bậc hai luôn là $D=\mathbb{R}$ vì đây là một đa thức, không có căn, không có mẫu chứa biến.

Biểu thức $ax^2+bx+c$ còn có một tên riêng khi đứng một mình, không gắn với $y=$ : tam thức bậc hai. Cùng một biểu thức đó, khi ta hỏi nó bằng bao nhiêu tại từng $x$ và vẽ thành đồ thị, ta có một hàm số bậc hai; khi ta hỏi dấu của nó dương hay âm ứng với từng khoảng của $x$ , ta có bài toán xét dấu tam thức bậc hai — nội dung em sẽ học ngay sau khoá này. Đỉnh và $\Delta$ tìm được hôm nay chính là công cụ dùng lại nguyên vẹn ở đó.

Biểu thức $ax^2+bx+c$ còn có một tên riêng khi đứng một mình, không gắn với $y=$: tam thức bậc hai. Cùng một biểu thức đó, khi ta hỏi nó bằng bao nhiêu tại từng $x$ và vẽ thành đồ thị, ta có một hàm số bậc hai; khi ta hỏi dấu của nó dương hay âm ứng với từng khoảng của $x$, ta có bài toán xét dấu tam thức bậc hai — nội dung em sẽ học ngay sau khoá này. Đỉnh và $\Delta$ tìm được hôm nay chính là công cụ dùng lại nguyên vẹn ở đó.

Bằng cách biến đổi về dạng bình phương đủ, ta viết được $y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$ với $\Delta=b^2-4ac$ . Từ đó suy ra điểm đặc biệt nhất của đồ thị — đỉnh $I$ — có toạ độ $I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ . Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình $x=-\dfrac{b}{2a}$ — mọi điểm trên đồ thị đều có một điểm anh em đối xứng qua đường thẳng này.

Bằng cách biến đổi về dạng bình phương đủ, ta viết được $y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}$ với $\Delta=b^2-4ac$. Từ đó suy ra điểm đặc biệt nhất của đồ thị — đỉnh $I$ — có toạ độ $I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$. Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình $x=-\dfrac{b}{2a}$ — mọi điểm trên đồ thị đều có một điểm anh em đối xứng qua đường thẳng này.

Dấu của hệ số $a$ quyết định hướng bề lõm và hình dạng biến thiên. Khi $a>0$ , parabol quay bề lõm lên trên: hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)$ rồi đồng biến trên $\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)$ — đỉnh là điểm thấp nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $-\dfrac{\Delta}{4a}$ . Khi $a<0$ , parabol quay bề lõm xuống dưới: hàm số đồng biến trước đỉnh rồi nghịch biến sau đỉnh — đỉnh là điểm cao nhất, giá trị lớn nhất cũng bằng $-\dfrac{\Delta}{4a}$ .

Dấu của hệ số $a$ quyết định hướng bề lõm và hình dạng biến thiên. Khi $a>0$, parabol quay bề lõm lên trên: hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty;-\dfrac{b}{2a}\right)$ rồi đồng biến trên $\left(-\dfrac{b}{2a};+\infty\right)$ — đỉnh là điểm thấp nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $-\dfrac{\Delta}{4a}$. Khi $a<0$, parabol quay bề lõm xuống dưới: hàm số đồng biến trước đỉnh rồi nghịch biến sau đỉnh — đỉnh là điểm cao nhất, giá trị lớn nhất cũng bằng $-\dfrac{\Delta}{4a}$.

Chú ý cụm trên $\mathbb{R}$ trong hai kết luận trên: giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất chỉ chắc chắn đúng khi $x$ được phép chạy khắp $\mathbb{R}$ . Nếu một bài toán chỉ cho $x$ chạy trong một khoảng hẹp hơn — ví dụ vì $x$ là một đại lượng thực tế như thời gian hay chiều dài, luôn có điều kiện ràng buộc — giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên khoảng đó có thể đạt tại đỉnh (nếu đỉnh nằm trong khoảng) hoặc tại một đầu mút của khoảng (nếu đỉnh nằm ngoài). Đây chính là điều cần để ý khi hàm số bậc hai mô hình hoá một tình huống thực tế, như em sẽ gặp ở bài Ứng dụng.

Chú ý cụm trên $\mathbb{R}$ trong hai kết luận trên: giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất chỉ chắc chắn đúng khi $x$ được phép chạy khắp $\mathbb{R}$. Nếu một bài toán chỉ cho $x$ chạy trong một khoảng hẹp hơn — ví dụ vì $x$ là một đại lượng thực tế như thời gian hay chiều dài, luôn có điều kiện ràng buộc — giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên khoảng đó có thể đạt tại đỉnh (nếu đỉnh nằm trong khoảng) hoặc tại một đầu mút của khoảng (nếu đỉnh nằm ngoài). Đây chính là điều cần để ý khi hàm số bậc hai mô hình hoá một tình huống thực tế, như em sẽ gặp ở bài Ứng dụng.

Bảng biến thiên chỉ là cách trình bày gọn hai khoảng đơn điệu đó cùng giá trị tại đỉnh, thay cho việc vẽ cả đồ thị. Với $a>0$ , mũi tên đi xuống rồi đi lên, đáy mũi tên chạm giá trị $-\Delta/4a$ tại $x=-b/2a$ ; với $a<0$ , mũi tên đi lên rồi đi xuống, đỉnh mũi tên chạm giá trị đó.

Bảng biến thiên chỉ là cách trình bày gọn hai khoảng đơn điệu đó cùng giá trị tại đỉnh, thay cho việc vẽ cả đồ thị. Với $a>0$, mũi tên đi xuống rồi đi lên, đáy mũi tên chạm giá trị $-\Delta/4a$ tại $x=-b/2a$; với $a<0$, mũi tên đi lên rồi đi xuống, đỉnh mũi tên chạm giá trị đó.

Ví dụ

Phép biến đổi bình phương đủ — vì sao công thức đỉnh đúng

1
Biến đổi $y=2x^2-8x+5$ về dạng bình phương đủ để thấy rõ toạ độ đỉnh.
Biến đổi $y=2x^2-8x+5$ về dạng bình phương đủ để thấy rõ toạ độ đỉnh.
2
$y=2x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5$ .
$y=2x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5$.
3
$x^2-4x=(x-2)^2-4$ , nên $y=2\big[(x-2)^2-4\big]+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3$ .
$x^2-4x=(x-2)^2-4$, nên $y=2\big[(x-2)^2-4\big]+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3$.
4
Vì $(x-2)^2\ge0$ với mọi $x$ , số hạng $2(x-2)^2$ nhỏ nhất bằng 0 khi $x=2$ , khi đó $y$ nhỏ nhất bằng $-3$ . Vậy đỉnh $I(2;-3)$ — đây chính là lý do $y\ge-3$ với mọi $x$ , đạt dấu bằng đúng tại $x=2$ .
Vì $(x-2)^2\ge0$ với mọi $x$, số hạng $2(x-2)^2$ nhỏ nhất bằng 0 khi $x=2$, khi đó $y$ nhỏ nhất bằng $-3$. Vậy đỉnh $I(2;-3)$ — đây chính là lý do $y\ge-3$ với mọi $x$, đạt dấu bằng đúng tại $x=2$.
5
Kiểm tra bằng công thức: $a=2,b=-8,c=5$ , $\Delta=64-40=24$ . $x_0=8/4=2$ , $y_0=-24/8=-3$ — khớp hoàn toàn với dạng bình phương đủ vừa biến đổi, xác nhận công thức đỉnh không phải điều ghi nhớ suông mà bắt nguồn trực tiếp từ phép biến đổi này.
Kiểm tra bằng công thức: $a=2,b=-8,c=5$, $\Delta=64-40=24$. $x_0=8/4=2$, $y_0=-24/8=-3$ — khớp hoàn toàn với dạng bình phương đủ vừa biến đổi, xác nhận công thức đỉnh không phải điều ghi nhớ suông mà bắt nguồn trực tiếp từ phép biến đổi này.

Ví dụ

Lập bảng biến thiên của

y=x^2-4x+3

Lập bảng biến thiên của $y=x^2-4x+3$

1
Lập bảng biến thiên của hàm số $y=x^2-4x+3$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số $y=x^2-4x+3$.
2
Ta có $a=1$ , $b=-4$ , $c=3$ , và $\Delta=b^2-4ac=16-12=4$ .
Ta có $a=1$, $b=-4$, $c=3$, và $\Delta=b^2-4ac=16-12=4$.
3
Hoành độ đỉnh $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$ . Tung độ đỉnh $y_0=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4}{4}=-1$ . Vậy đỉnh $I(2;-1)$ , trục đối xứng $x=2$ .
Hoành độ đỉnh $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$. Tung độ đỉnh $y_0=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4}{4}=-1$. Vậy đỉnh $I(2;-1)$, trục đối xứng $x=2$.
4
Vì $a=1>0$ , parabol quay bề lõm lên trên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2)$ , đồng biến trên $(2;+\infty)$ ; giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=2$ .
Vì $a=1>0$, parabol quay bề lõm lên trên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty)$; giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=2$.
5
Thay trực tiếp $x=2$ vào công thức gốc: $2^2-4\cdot2+3=4-8+3=-1$ — khớp với $y_0$ vừa tính từ $\Delta$ .
Thay trực tiếp $x=2$ vào công thức gốc: $2^2-4\cdot2+3=4-8+3=-1$ — khớp với $y_0$ vừa tính từ $\Delta$.

Ví dụ

Tìm GTLN của

y=-2x^2+8x+1

Tìm GTLN của $y=-2x^2+8x+1$

1
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^2+8x+1$ trên $\mathbb{R}$ .
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-2x^2+8x+1$ trên $\mathbb{R}$.
2
$a=-2$ , $b=8$ , $c=1$ , $\Delta=64-4(-2)(1)=64+8=72$ .
$a=-2$, $b=8$, $c=1$, $\Delta=64-4(-2)(1)=64+8=72$.
3
$x_0=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=2$ . $y_0=-\dfrac{72}{4\cdot(-2)}=-\dfrac{72}{-8}=9$ . Đỉnh $I(2;9)$ .
$x_0=-\dfrac{8}{2\cdot(-2)}=2$. $y_0=-\dfrac{72}{4\cdot(-2)}=-\dfrac{72}{-8}=9$. Đỉnh $I(2;9)$.
4
Vì $a=-2<0$ , đồ thị quay bề lõm xuống nên đỉnh là điểm cao nhất. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng 9, đạt tại $x=2$ .
Vì $a=-2<0$, đồ thị quay bề lõm xuống nên đỉnh là điểm cao nhất. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng 9, đạt tại $x=2$.
5
Thay $x=2$ : $-2(4)+16+1=-8+16+1=9$ — khớp kết quả.
Thay $x=2$: $-2(4)+16+1=-8+16+1=9$ — khớp kết quả.

Đường nét đứt là trục đối xứng

x=2

— mọi điểm trên parabol đều có một điểm đối xứng qua đường này.Đường nét đứt là trục đối xứng $x=2$ — mọi điểm trên parabol đều có một điểm đối xứng qua đường này.

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là nhầm dấu trong công thức $x_0=-b/2a$ — nhiều em quên dấu trừ và tính ra $b/2a$ . Một lỗi khác là kết luận sai chiều biến thiên: khi $a>0$ , hàm số NGHỊCH biến trước đỉnh rồi mới ĐỒNG biến, không phải ngược lại — nhớ rằng $a$ dương thì đồ thị giống chữ U, đi xuống rồi đi lên. Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn: khi tính $\Delta$ , nhiều em quên dấu trừ trước $4ac$ và viết nhầm thành $b^2+4ac$ , dẫn đến toạ độ đỉnh sai dù các bước sau đều làm đúng quy trình — luôn viết rõ $\Delta=b^2-4ac$ trước khi thay số, đừng nhẩm tắt trong đầu.

Lỗi phổ biến nhất là nhầm dấu trong công thức $x_0=-b/2a$ — nhiều em quên dấu trừ và tính ra $b/2a$. Một lỗi khác là kết luận sai chiều biến thiên: khi $a>0$, hàm số NGHỊCH biến trước đỉnh rồi mới ĐỒNG biến, không phải ngược lại — nhớ rằng $a$ dương thì đồ thị giống chữ U, đi xuống rồi đi lên. Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn: khi tính $\Delta$, nhiều em quên dấu trừ trước $4ac$ và viết nhầm thành $b^2+4ac$, dẫn đến toạ độ đỉnh sai dù các bước sau đều làm đúng quy trình — luôn viết rõ $\Delta=b^2-4ac$ trước khi thay số, đừng nhẩm tắt trong đầu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tóm tắt

Với $y=ax^2+bx+c$ ( $a\ne0$ ), đỉnh $I(-b/2a;-\Delta/4a)$ và trục đối xứng $x=-b/2a$ là hai mốc quyết định toàn bộ hình dạng đồ thị. Dấu của $a$ cho biết bề lõm và xác định đỉnh là điểm thấp nhất ( $a>0$ , GTNN) hay điểm cao nhất ( $a<0$ , GTLN) trên $\mathbb{R}$ .

Với $y=ax^2+bx+c$ ($a\ne0$), đỉnh $I(-b/2a;-\Delta/4a)$ và trục đối xứng $x=-b/2a$ là hai mốc quyết định toàn bộ hình dạng đồ thị. Dấu của $a$ cho biết bề lõm và xác định đỉnh là điểm thấp nhất ($a>0$, GTNN) hay điểm cao nhất ($a<0$, GTLN) trên $\mathbb{R}$.

Có đỉnh và trục đối xứng trong tay, bài tiếp theo sẽ dùng chúng để vẽ hoàn chỉnh đồ thị hàm số bậc hai, và ngược lại — đọc lại các thông tin đó từ một đồ thị cho trước, hoàn thiện nốt bức tranh mà bài học hôm nay mới dừng ở bảng biến thiên.