Bài học

Tương giao giữa đường thẳng và parabol

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em tìm được toạ độ giao điểm của một đường thẳng và một parabol, nhận ra được trường hợp tiếp xúc, và biện luận được số giao điểm theo một tham số dựa vào dấu của $\Delta$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này dùng lại phương trình bậc hai và công thức $\Delta$ đã học ở lớp 9 (prior-grade review), kết hợp với cách vẽ, đọc đồ thị hàm số bậc hai vừa học ở hai bài trước. Khác biệt duy nhất so với lớp 9: ở đó em chủ yếu gặp $(P): y=ax^2$ dạng đơn giản cắt một đường thẳng; bài này tổng quát hoá lên $(P): y=ax^2+bx+c$ với đầy đủ ba hệ số, đúng dạng hàm số bậc hai em vừa học suốt ba bài vừa qua.

Khởi động

Một đường thẳng có thể cắt một parabol tại 0, 1, hay 2 điểm — không thể nhiều hơn. Vì sao lại đúng nhiều nhất là 2 điểm, và làm sao tìm chính xác toạ độ những điểm đó mà không cần vẽ hình?

Phương trình hoành độ giao điểm

Cho parabol $(P): y=ax^2+bx+c$ và đường thẳng $d: y=mx+n$ . Một điểm vừa thuộc $(P)$ vừa thuộc $d$ thì hoành độ $x$ của nó phải thoả mãn đồng thời cả hai công thức, tức là $ax^2+bx+c=mx+n$ . Phương trình này gọi là phương trình hoành độ giao điểm — nghiệm của nó chính là hoành độ các giao điểm, còn tung độ tìm được bằng cách thay ngược lại vào công thức của $d$ (hoặc của $(P)$ , kết quả phải giống nhau).

Cho parabol $(P): y=ax^2+bx+c$ và đường thẳng $d: y=mx+n$. Một điểm vừa thuộc $(P)$ vừa thuộc $d$ thì hoành độ $x$ của nó phải thoả mãn đồng thời cả hai công thức, tức là $ax^2+bx+c=mx+n$. Phương trình này gọi là phương trình hoành độ giao điểm — nghiệm của nó chính là hoành độ các giao điểm, còn tung độ tìm được bằng cách thay ngược lại vào công thức của $d$ (hoặc của $(P)$, kết quả phải giống nhau).

Chú ý dạng $d: y=mx+n$ chỉ mô tả các đường thẳng không đứng — một đường thẳng đứng có phương trình $x=k$ không viết được dưới dạng $y=mx+n$ . Với một đường thẳng đứng, tìm giao điểm với $(P)$ đơn giản hơn nhiều: chỉ cần thay $x=k$ trực tiếp vào $y=ax^2+bx+c$ để ra đúng một tung độ — một đường thẳng đứng luôn cắt một parabol (có trục đối xứng đứng) tại đúng một điểm, vì với mỗi $x$ , hàm số bậc hai chỉ cho đúng một $y$ . Trường hợp này thường bị bỏ qua trong đề bài, nhưng đáng để nhớ vì nó không cần biện luận Δ nào cả.

Chú ý dạng $d: y=mx+n$ chỉ mô tả các đường thẳng không đứng — một đường thẳng đứng có phương trình $x=k$ không viết được dưới dạng $y=mx+n$. Với một đường thẳng đứng, tìm giao điểm với $(P)$ đơn giản hơn nhiều: chỉ cần thay $x=k$ trực tiếp vào $y=ax^2+bx+c$ để ra đúng một tung độ — một đường thẳng đứng luôn cắt một parabol (có trục đối xứng đứng) tại đúng một điểm, vì với mỗi $x$, hàm số bậc hai chỉ cho đúng một $y$. Trường hợp này thường bị bỏ qua trong đề bài, nhưng đáng để nhớ vì nó không cần biện luận Δ nào cả.

Chuyển vế, phương trình hoành độ giao điểm luôn đưa được về dạng $ax^2+(b-m)x+(c-n)=0$ — một phương trình bậc hai vì $a\ne0$ . Số nghiệm của phương trình này quyết định số giao điểm: $\Delta>0$ cho hai nghiệm phân biệt, tức $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm; $\Delta=0$ cho nghiệm kép, tức $d$ tiếp xúc $(P)$ tại đúng một điểm — đường thẳng chạm parabol mà không cắt qua; $\Delta<0$ nghĩa là phương trình vô nghiệm, $d$ và $(P)$ không có điểm chung nào.

Chuyển vế, phương trình hoành độ giao điểm luôn đưa được về dạng $ax^2+(b-m)x+(c-n)=0$ — một phương trình bậc hai vì $a\ne0$. Số nghiệm của phương trình này quyết định số giao điểm: $\Delta>0$ cho hai nghiệm phân biệt, tức $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm; $\Delta=0$ cho nghiệm kép, tức $d$ tiếp xúc $(P)$ tại đúng một điểm — đường thẳng chạm parabol mà không cắt qua; $\Delta<0$ nghĩa là phương trình vô nghiệm, $d$ và $(P)$ không có điểm chung nào.

Về mặt hình học, ba trường hợp này khớp đúng với trực giác: một đường thẳng đi ngang qua một parabol hoặc xuyên qua nó tại hai chỗ, hoặc lướt sát bên ngoài mà không chạm, hoặc chạm đúng một điểm rồi tách ra — không thể có trường hợp thứ tư, vì phương trình bậc hai không có nghiệm thứ ba. Đây cũng là lý do khẳng định ở đầu bài: một đường thẳng và một parabol không bao giờ cắt nhau tại 3 điểm trở lên.

Ví dụ

Tìm giao điểm của một parabol và một đường thẳng

1
Tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P): y=x^2-4x+3$ và đường thẳng $d: y=x-1$ .
Tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P): y=x^2-4x+3$ và đường thẳng $d: y=x-1$.
2
$x^2-4x+3=x-1 \iff x^2-5x+4=0$ .
$x^2-4x+3=x-1 \iff x^2-5x+4=0$.
3
$\Delta=25-16=9>0$ . $x=\dfrac{5-3}{2}=1$ hoặc $x=\dfrac{5+3}{2}=4$ .
$\Delta=25-16=9>0$. $x=\dfrac{5-3}{2}=1$ hoặc $x=\dfrac{5+3}{2}=4$.
4
Với $x=1$ : $y=1-1=0$ , điểm $(1;0)$ . Với $x=4$ : $y=4-1=3$ , điểm $(4;3)$ .
Với $x=1$: $y=1-1=0$, điểm $(1;0)$. Với $x=4$: $y=4-1=3$, điểm $(4;3)$.
5
Vậy $(P)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $(1;0)$ và $(4;3)$ .
Vậy $(P)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $(1;0)$ và $(4;3)$.
6
Thay lại vào $(P)$ : tại $x=1$ , $1-4+3=0$ khớp; tại $x=4$ , $16-16+3=3$ khớp. Cả hai điểm đều thoả cả hai phương trình.
Thay lại vào $(P)$: tại $x=1$, $1-4+3=0$ khớp; tại $x=4$, $16-16+3=3$ khớp. Cả hai điểm đều thoả cả hai phương trình.

Ví dụ

Trường hợp tiếp xúc — chỉ một giao điểm

1
Kiểm tra xem đường thẳng $d: y=0$ (trục hoành) có tiếp xúc với parabol $(P): y=x^2-2x+1$ hay không, và tìm tiếp điểm nếu có.
Kiểm tra xem đường thẳng $d: y=0$ (trục hoành) có tiếp xúc với parabol $(P): y=x^2-2x+1$ hay không, và tìm tiếp điểm nếu có.
2
$x^2-2x+1=0$ .
$x^2-2x+1=0$.
3
$\Delta=4-4=0$ — phương trình có nghiệm kép $x=1$ .
$\Delta=4-4=0$ — phương trình có nghiệm kép $x=1$.
4
Vì $\Delta=0$ , $d$ tiếp xúc $(P)$ tại đúng một điểm, ứng với $x=1$ . Thay vào $d$ : $y=0$ . Tiếp điểm là $(1;0)$ .
Vì $\Delta=0$, $d$ tiếp xúc $(P)$ tại đúng một điểm, ứng với $x=1$. Thay vào $d$: $y=0$. Tiếp điểm là $(1;0)$.
5
Chú ý $(P): y=x^2-2x+1=(x-1)^2$ có đỉnh chính là $(1;0)$ — với $a=1>0$ , đỉnh là điểm thấp nhất của $(P)$ , nên $(P)$ chỉ chạm trục hoành đúng tại đỉnh mà không cắt xuống dưới. Đây là lý do hình học của việc $d$ tiếp xúc chứ không cắt qua: trục hoành chạm parabol đúng tại điểm thấp nhất của nó.
Chú ý $(P): y=x^2-2x+1=(x-1)^2$ có đỉnh chính là $(1;0)$ — với $a=1>0$, đỉnh là điểm thấp nhất của $(P)$, nên $(P)$ chỉ chạm trục hoành đúng tại đỉnh mà không cắt xuống dưới. Đây là lý do hình học của việc $d$ tiếp xúc chứ không cắt qua: trục hoành chạm parabol đúng tại điểm thấp nhất của nó.

Ví dụ

Biện luận số giao điểm theo tham số

m

1
Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=2x+m$ cắt parabol $(P): y=x^2-4x+3$ tại hai điểm phân biệt.
Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=2x+m$ cắt parabol $(P): y=x^2-4x+3$ tại hai điểm phân biệt.
2
$x^2-4x+3=2x+m \iff x^2-6x+(3-m)=0$ .
$x^2-4x+3=2x+m \iff x^2-6x+(3-m)=0$.
3
Cần $\Delta>0$ . $\Delta=36-4(3-m)=36-12+4m=24+4m$ .
Cần $\Delta>0$. $\Delta=36-4(3-m)=36-12+4m=24+4m$.
4
$24+4m>0 \iff m>-6$ .
$24+4m>0 \iff m>-6$.
5
Vậy $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $m>-6$ .
Vậy $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $m>-6$.
6
Với $m=-6$ (biên), $\Delta=24+4(-6)=0$ — đúng là trường hợp tiếp xúc, xác nhận $m>-6$ (không lấy dấu bằng) cho đúng hai điểm phân biệt.
Với $m=-6$ (biên), $\Delta=24+4(-6)=0$ — đúng là trường hợp tiếp xúc, xác nhận $m>-6$ (không lấy dấu bằng) cho đúng hai điểm phân biệt.
7
Hệ số góc của $d$ luôn bằng 2, không đổi theo $m$ — thay đổi $m$ chỉ trượt đường thẳng $d$ lên xuống song song với chính nó (vì $m$ là tung độ gốc). Kết quả $m>-6$ nghĩa là: trượt $d$ lên đủ cao ( $m$ đủ lớn) thì cắt $(P)$ tại hai điểm; trượt xuống đúng ngưỡng $m=-6$ thì $d$ tiếp xúc $(P)$ ; trượt xuống thấp hơn nữa thì $d$ không còn chạm $(P)$ .
Hệ số góc của $d$ luôn bằng 2, không đổi theo $m$ — thay đổi $m$ chỉ trượt đường thẳng $d$ lên xuống song song với chính nó (vì $m$ là tung độ gốc). Kết quả $m>-6$ nghĩa là: trượt $d$ lên đủ cao ($m$ đủ lớn) thì cắt $(P)$ tại hai điểm; trượt xuống đúng ngưỡng $m=-6$ thì $d$ tiếp xúc $(P)$; trượt xuống thấp hơn nữa thì $d$ không còn chạm $(P)$.

Đường thẳng

d

cắt parabol

(P)

tại đúng hai điểm — nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.Đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại đúng hai điểm — nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Sai lầm thường gặp

Một lỗi rất hay gặp là tìm xong hoành độ giao điểm rồi dừng lại, quên tính tung độ — toạ độ giao điểm luôn cần đủ cả hai thành phần $(x;y)$ . Lỗi khác: khi biện luận theo tham số, nhiều em quên xét trường hợp phương trình sau khi rút gọn không còn là bậc hai. May mắn là ở dạng $(P)$ và $d$ trên đây, hệ số của $x^2$ luôn là $a$ của $(P)$ , không đổi theo tham số của $d$ , nên phương trình luôn giữ bậc hai. Một lỗi thứ ba: nhầm điều kiện tiếp xúc ( $\Delta=0$ ) với điều kiện cắt tại hai điểm ( $\Delta>0$ ) — dấu bằng hay không có dấu bằng làm thay đổi hẳn ý nghĩa của bài toán, nên luôn đọc kỹ đề hỏi 'cắt tại hai điểm' hay 'tiếp xúc' trước khi đặt điều kiện cho $\Delta$ .

Một lỗi rất hay gặp là tìm xong hoành độ giao điểm rồi dừng lại, quên tính tung độ — toạ độ giao điểm luôn cần đủ cả hai thành phần $(x;y)$. Lỗi khác: khi biện luận theo tham số, nhiều em quên xét trường hợp phương trình sau khi rút gọn không còn là bậc hai. May mắn là ở dạng $(P)$ và $d$ trên đây, hệ số của $x^2$ luôn là $a$ của $(P)$, không đổi theo tham số của $d$, nên phương trình luôn giữ bậc hai. Một lỗi thứ ba: nhầm điều kiện tiếp xúc ($\Delta=0$) với điều kiện cắt tại hai điểm ($\Delta>0$) — dấu bằng hay không có dấu bằng làm thay đổi hẳn ý nghĩa của bài toán, nên luôn đọc kỹ đề hỏi 'cắt tại hai điểm' hay 'tiếp xúc' trước khi đặt điều kiện cho $\Delta$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tóm tắt

Tìm giao điểm của một parabol và một đường thẳng luôn quy về giải phương trình hoành độ giao điểm — một phương trình bậc hai. Dấu của $\Delta$ của chính phương trình đó cho biết ngay số giao điểm, không cần vẽ hình trước: hai điểm khi $\Delta>0$ , tiếp xúc tại một điểm khi $\Delta=0$ , và không giao nhau khi $\Delta<0$ .

Tìm giao điểm của một parabol và một đường thẳng luôn quy về giải phương trình hoành độ giao điểm — một phương trình bậc hai. Dấu của $\Delta$ của chính phương trình đó cho biết ngay số giao điểm, không cần vẽ hình trước: hai điểm khi $\Delta>0$, tiếp xúc tại một điểm khi $\Delta=0$, và không giao nhau khi $\Delta<0$.

Chương ôn tập tiếp theo sẽ ghép lại toàn bộ những gì đã học trong khoá — từ tập xác định đến tương giao — thành một đề ôn tập tổng hợp đúng cấu trúc một bài kiểm tra giữa kỳ hay cuối kỳ thật sự.