Bài học

Sự biến thiên và tính chẵn – lẻ của hàm số

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em xét được một hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng bằng định nghĩa, và xác định được một hàm số là chẵn, lẻ, hay không chẵn không lẻ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã biết đọc đồ thị và tìm tập xác định. Bài này dùng lại chính khái niệm mỗi $x$ cho một $y$ để hỏi thêm: khi $x$ tăng dần, $y$ thay đổi theo quy luật nào, và đồ thị có tính đối xứng nào hay không (same-grade bridge, nối tiếp bài Khái niệm hàm số).

Khởi động

Nhiệt độ trong ngày thường tăng dần từ sáng đến khoảng 2 giờ chiều rồi giảm dần đến tối. Làm sao diễn tả chính xác bằng toán học cụm tăng dần hay giảm dần đó, thay vì chỉ nói chung chung?

Đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ . Hàm số gọi là đồng biến (tăng) trên $(a;b)$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a;b)$ mà $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ — $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Hàm số gọi là nghịch biến (giảm) trên $(a;b)$ nếu $x_1<x_2$ kéo theo $f(x_1)>f(x_2)$ — $x$ tăng nhưng $y$ lại giảm. Định nghĩa này không dựa vào hình vẽ mà dựa vào một phép so sánh đại số, nên dùng được cho cả hàm số chưa vẽ đồ thị.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$. Hàm số gọi là đồng biến (tăng) trên $(a;b)$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a;b)$ mà $x_1<x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$ — $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Hàm số gọi là nghịch biến (giảm) trên $(a;b)$ nếu $x_1<x_2$ kéo theo $f(x_1)>f(x_2)$ — $x$ tăng nhưng $y$ lại giảm. Định nghĩa này không dựa vào hình vẽ mà dựa vào một phép so sánh đại số, nên dùng được cho cả hàm số chưa vẽ đồ thị.

Để xét sự biến thiên bằng định nghĩa, ta thường lập hiệu $f(x_1)-f(x_2)$ với $x_1<x_2$ rồi xét dấu của hiệu đó trên khoảng đang xét. Hiệu âm ứng với đồng biến, hiệu dương ứng với nghịch biến — nhớ đúng chiều bằng cách hình dung: hiệu âm nghĩa là $f(x_1)$ nhỏ hơn $f(x_2)$ , tức giá trị hàm số cũng tăng theo $x$ .

Về mặt hình học, đồng biến trên một khoảng nghĩa là đọc đồ thị từ trái sang phải trên khoảng đó, đường cong đi lên; nghịch biến nghĩa là đường cong đi xuống. Nhưng định nghĩa bằng đại số ở trên mạnh hơn cách nhìn hình vẽ, vì nó cho kết luận chắc chắn ngay cả khi chưa vẽ đồ thị, và áp dụng được cho những hàm số có công thức phức tạp mà việc vẽ tay không chính xác.

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Xét hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ đối xứng qua 0, nghĩa là với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$ . Hàm số gọi là hàm số chẵn nếu $f(-x)=f(x)$ với mọi $x \in D$ ; đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục tung $Oy$ . Hàm số gọi là hàm số lẻ nếu $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x \in D$ ; đồ thị của một hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ $O$ . Một hàm số có thể không rơi vào cả hai loại này — khi đó ta nói nó không chẵn không lẻ.

Xét hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ đối xứng qua 0, nghĩa là với mọi $x \in D$ thì $-x \in D$. Hàm số gọi là hàm số chẵn nếu $f(-x)=f(x)$ với mọi $x \in D$; đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục tung $Oy$. Hàm số gọi là hàm số lẻ nếu $f(-x)=-f(x)$ với mọi $x \in D$; đồ thị của một hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ $O$. Một hàm số có thể không rơi vào cả hai loại này — khi đó ta nói nó không chẵn không lẻ.

Vì sao đúng như vậy về mặt hình học? Điểm $(x;f(x))$ và điểm $(-x;f(-x))$ luôn nằm đối xứng nhau qua trục tung, bất kể hàm số là gì — hai điểm cùng tung độ, hoành độ đối nhau. Nếu $f(-x)=f(x)$ (hàm chẵn), điểm thứ hai trở thành $(-x;f(x))$ , đúng là ảnh phản chiếu của điểm thứ nhất qua $Oy$ — nên toàn bộ đồ thị đối xứng qua $Oy$ . Nếu $f(-x)=-f(x)$ (hàm lẻ), điểm thứ hai là $(-x;-f(x))$ , đúng là ảnh quay 180° của điểm thứ nhất quanh gốc $O$ — nên đồ thị đối xứng qua $O$ .

Vì sao đúng như vậy về mặt hình học? Điểm $(x;f(x))$ và điểm $(-x;f(-x))$ luôn nằm đối xứng nhau qua trục tung, bất kể hàm số là gì — hai điểm cùng tung độ, hoành độ đối nhau. Nếu $f(-x)=f(x)$ (hàm chẵn), điểm thứ hai trở thành $(-x;f(x))$, đúng là ảnh phản chiếu của điểm thứ nhất qua $Oy$ — nên toàn bộ đồ thị đối xứng qua $Oy$. Nếu $f(-x)=-f(x)$ (hàm lẻ), điểm thứ hai là $(-x;-f(x))$, đúng là ảnh quay 180° của điểm thứ nhất quanh gốc $O$ — nên đồ thị đối xứng qua $O$.

Ví dụ

Xét tính chẵn – lẻ của

y=\dfrac{1}{x}

Xét tính chẵn – lẻ của $y=\dfrac{1}{x}$

1
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số $y=\dfrac{1}{x}$ .
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số $y=\dfrac{1}{x}$.
2
$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ — đối xứng qua 0, vì $x\ne0$ thì $-x$ cũng khác 0.
$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ — đối xứng qua 0, vì $x\ne0$ thì $-x$ cũng khác 0.
3
$f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$ .
$f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}$.
4
$f(-x)=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$ với mọi $x\ne0$ . Vậy hàm số lẻ — một ví dụ cho thấy hàm số không phải đa thức vẫn xét chẵn lẻ được bình thường, miễn tập xác định đối xứng qua 0.
$f(-x)=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$ với mọi $x\ne0$. Vậy hàm số lẻ — một ví dụ cho thấy hàm số không phải đa thức vẫn xét chẵn lẻ được bình thường, miễn tập xác định đối xứng qua 0.

Cách kiểm tra luôn theo ba bước: kiểm tra $D$ đối xứng qua 0, tính $f(-x)$ bằng cách thay $x$ bởi $-x$ trong công thức, rồi so sánh $f(-x)$ với $f(x)$ và với $-f(x)$ . Một lỗi hay gặp là chỉ thử với một giá trị $x$ cụ thể rồi vội kết luận — kiểm tra chẵn lẻ phải đúng với công thức tổng quát, không phải chỉ đúng tại một điểm.

Cách kiểm tra luôn theo ba bước: kiểm tra $D$ đối xứng qua 0, tính $f(-x)$ bằng cách thay $x$ bởi $-x$ trong công thức, rồi so sánh $f(-x)$ với $f(x)$ và với $-f(x)$. Một lỗi hay gặp là chỉ thử với một giá trị $x$ cụ thể rồi vội kết luận — kiểm tra chẵn lẻ phải đúng với công thức tổng quát, không phải chỉ đúng tại một điểm.

Bước kiểm tra $D$ đối xứng qua 0 không phải thủ tục thừa: nếu tập xác định không đối xứng, câu hỏi chẵn hay lẻ mất hẳn ý nghĩa, vì $f(-x)$ có thể không tồn tại. Ví dụ hàm chi phí của trạm thu phí ở bài trước chỉ xác định với quãng đường dương, tập xác định không đối xứng qua 0, nên không đặt câu hỏi hàm số đó chẵn hay lẻ được — việc kiểm tra $D$ trước tránh một câu hỏi vô nghĩa ngay từ đầu.

Ví dụ

Xét tính chẵn – lẻ của

y=x^2-3

Xét tính chẵn – lẻ của $y=x^2-3$

1
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số $y=x^2-3$ .
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số $y=x^2-3$.
2
Hàm số xác định với mọi $x$ , $D=\mathbb{R}$ , đối xứng qua 0.
Hàm số xác định với mọi $x$, $D=\mathbb{R}$, đối xứng qua 0.
3
$f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3$ .
$f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3$.
4
Ta có $f(-x)=x^2-3=f(x)$ với mọi $x$ . Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ta có $f(-x)=x^2-3=f(x)$ với mọi $x$. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Ví dụ

Xét tính chẵn – lẻ của

y=2x-1

Xét tính chẵn – lẻ của $y=2x-1$

1
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số $y=2x-1$ .
Xét tính chẵn – lẻ của hàm số $y=2x-1$.
2
$D=\mathbb{R}$ , đối xứng qua 0.
$D=\mathbb{R}$, đối xứng qua 0.
3
$f(-x)=2(-x)-1=-2x-1$ .
$f(-x)=2(-x)-1=-2x-1$.
4
So với $f(x)=2x-1$ , ta có $f(-x) \ne f(x)$ (trừ trường hợp $x=0$ , không phải mọi $x$ ). So với $-f(x)=-2x+1$ , ta cũng có $f(-x) \ne -f(x)$ vì hằng số $-1$ khác $+1$ .
So với $f(x)=2x-1$, ta có $f(-x) \ne f(x)$ (trừ trường hợp $x=0$, không phải mọi $x$). So với $-f(x)=-2x+1$, ta cũng có $f(-x) \ne -f(x)$ vì hằng số $-1$ khác $+1$.
5
Vậy hàm số không chẵn, cũng không lẻ.

Ví dụ

Chứng minh

y=3x+2

đồng biến trên

\mathbb{R}

Chứng minh $y=3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

1
Chứng minh hàm số $y=3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ bằng định nghĩa.
Chứng minh hàm số $y=3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ bằng định nghĩa.
2
Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tuỳ ý với $x_1<x_2$ .
Lấy $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tuỳ ý với $x_1<x_2$.
3
$f(x_1)-f(x_2)=(3x_1+2)-(3x_2+2)=3(x_1-x_2)$ .
$f(x_1)-f(x_2)=(3x_1+2)-(3x_2+2)=3(x_1-x_2)$.
4
Vì $x_1<x_2$ nên $x_1-x_2<0$ , suy ra $f(x_1)-f(x_2)=3(x_1-x_2)<0$ , tức $f(x_1)<f(x_2)$ .
Vì $x_1<x_2$ nên $x_1-x_2<0$, suy ra $f(x_1)-f(x_2)=3(x_1-x_2)<0$, tức $f(x_1)<f(x_2)$.
5
Với mọi $x_1<x_2$ trên $\mathbb{R}$ đều có $f(x_1)<f(x_2)$ , nên hàm số $y=3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Với mọi $x_1<x_2$ trên $\mathbb{R}$ đều có $f(x_1)<f(x_2)$, nên hàm số $y=3x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đồ thị đối xứng hoàn toàn qua trục tung — dấu hiệu hình học của một hàm số chẵn.

Khi

x

tăng từ

-1

lên

2

, giá trị hàm số cũng tăng từ

-1

lên

8

— minh hoạ trực quan cho tính đồng biến.Khi $x$ tăng từ $-1$ lên $2$, giá trị hàm số cũng tăng từ $-1$ lên $8$ — minh hoạ trực quan cho tính đồng biến.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm thường gặp là nghĩ hàm số có số mũ chẵn (như $x^2$ ) luôn là hàm số chẵn — điều này chỉ đúng khi công thức KHÔNG có thêm số hạng bậc lẻ. Hàm số $y=x^2+x$ có số mũ 2 (chẵn) nhưng cộng thêm $x$ (bậc lẻ) nên không còn chẵn nữa: $f(-x)=x^2-x$ , khác cả $f(x)$ lẫn $-f(x)$ . Một sai lầm khác: nhầm đồng biến trên từng khoảng với đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ — một hàm số có thể tăng ở khoảng này nhưng giảm ở khoảng khác.

Một sai lầm thường gặp là nghĩ hàm số có số mũ chẵn (như $x^2$) luôn là hàm số chẵn — điều này chỉ đúng khi công thức KHÔNG có thêm số hạng bậc lẻ. Hàm số $y=x^2+x$ có số mũ 2 (chẵn) nhưng cộng thêm $x$ (bậc lẻ) nên không còn chẵn nữa: $f(-x)=x^2-x$, khác cả $f(x)$ lẫn $-f(x)$. Một sai lầm khác: nhầm đồng biến trên từng khoảng với đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ — một hàm số có thể tăng ở khoảng này nhưng giảm ở khoảng khác.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tóm tắt

Sự biến thiên mô tả hàm số tăng hay giảm bằng cách so sánh trực tiếp $f(x_1)$ và $f(x_2)$ khi $x_1<x_2$ — không cần nhìn hình mới kết luận được. Tính chẵn – lẻ cho biết đồ thị có đối xứng qua $Oy$ (chẵn) hay qua gốc $O$ (lẻ) hay không có đối xứng nào, bằng cách so sánh $f(-x)$ với $f(x)$ và $-f(x)$ .

Hai bài tiếp theo sẽ áp dụng đúng những công cụ này cho một hàm số cụ thể và quan trọng bậc nhất của lớp 10: hàm số bậc hai — bắt đầu bằng cách tìm đỉnh và lập bảng biến thiên của nó.