Bài học

Khái niệm hàm số, tập xác định và đồ thị

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em phát biểu đúng khái niệm hàm số, tìm được tập xác định của một hàm số cho bởi công thức, và đọc được giá trị hàm số từ đồ thị cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 9, em đã làm quen với hàm số bậc nhất $y=ax+b$ và hàm số $y=ax^2$ qua bảng giá trị và đồ thị (same-grade bridge). Bài này nhắc lại khái niệm hàm số một cách tổng quát hơn, rồi bổ sung một câu hỏi mới: với công thức nào thì $x$ được phép nhận giá trị nào.

Khởi động

Một trạm thu phí tính tiền theo số km: đi 10 km trả 20 nghìn đồng, đi 20 km cũng trả đúng 20 nghìn đồng (vé lượt cơ bản), đi 25 km trả 35 nghìn đồng. Với mỗi số km cụ thể, số tiền phải trả có phải luôn là một giá trị duy nhất không? Vì sao quy tắc tính tiền này lại được gọi là một hàm số?

Hàm số là gì

Cho một tập hợp số $D$ khác rỗng. Một hàm số $f$ xác định trên $D$ là một quy tắc cho tương ứng mỗi số $x$ thuộc $D$ với một và chỉ một số thực $y$ . Ta viết $y=f(x)$ , gọi $x$ là biến số và $y$ là giá trị của hàm số tại $x$ . $D$ gọi là tập xác định của hàm số. Điều kiện then chốt nằm ở cụm một và chỉ một — nếu một giá trị $x$ nào đó cho ra hai giá trị $y$ khác nhau, quy tắc đó không phải là một hàm số.

Cho một tập hợp số $D$ khác rỗng. Một hàm số $f$ xác định trên $D$ là một quy tắc cho tương ứng mỗi số $x$ thuộc $D$ với một và chỉ một số thực $y$. Ta viết $y=f(x)$, gọi $x$ là biến số và $y$ là giá trị của hàm số tại $x$. $D$ gọi là tập xác định của hàm số. Điều kiện then chốt nằm ở cụm một và chỉ một — nếu một giá trị $x$ nào đó cho ra hai giá trị $y$ khác nhau, quy tắc đó không phải là một hàm số.

Quay lại trạm thu phí: với mỗi số km cụ thể, số tiền phải trả là duy nhất — 25 km luôn trả đúng 35 nghìn đồng, không lúc 35 lúc 40. Đó là lý do quy tắc tính tiền này là một hàm số của quãng đường. Ngược lại, nếu một bảng giá cho phép cùng một quãng đường ứng với hai mức giá khác nhau, tuỳ người thu ngân, bảng giá đó không còn là một hàm số theo đúng nghĩa toán học, dù vẫn dùng được trong đời sống.

Hàm số có thể cho bằng nhiều cách: bằng công thức (như $y=2x-1$ ), bằng bảng giá trị liệt kê từng cặp $(x;y)$ , hoặc bằng đồ thị — tập hợp các điểm $(x;f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ. Khi hàm số cho bằng đồ thị, cách kiểm tra rất trực quan: kẻ một đường thẳng đứng bất kỳ, nếu đường đó chỉ cắt đồ thị tại đúng một điểm với mọi vị trí, đường cong đó biểu diễn một hàm số.

Hàm số có thể cho bằng nhiều cách: bằng công thức (như $y=2x-1$), bằng bảng giá trị liệt kê từng cặp $(x;y)$, hoặc bằng đồ thị — tập hợp các điểm $(x;f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ. Khi hàm số cho bằng đồ thị, cách kiểm tra rất trực quan: kẻ một đường thẳng đứng bất kỳ, nếu đường đó chỉ cắt đồ thị tại đúng một điểm với mọi vị trí, đường cong đó biểu diễn một hàm số.

Phép thử đường thẳng đứng này giải thích luôn vì sao không phải hình vẽ nào cũng là đồ thị của một hàm số. Đường tròn $x^2+y^2=4$ chẳng hạn: tại $x=0$ , đường tròn đi qua cả hai điểm $(0;2)$ và $(0;-2)$ , tức là một đường thẳng đứng cắt nó tại hai điểm — nên đường tròn không phải là đồ thị của một hàm số $y$ theo $x$ , dù mỗi phần trên hoặc phần dưới của nó riêng lẻ thì lại là đồ thị của một hàm số (em sẽ gặp lại đường tròn này khi học phương pháp toạ độ ở Course 7).

Phép thử đường thẳng đứng này giải thích luôn vì sao không phải hình vẽ nào cũng là đồ thị của một hàm số. Đường tròn $x^2+y^2=4$ chẳng hạn: tại $x=0$, đường tròn đi qua cả hai điểm $(0;2)$ và $(0;-2)$, tức là một đường thẳng đứng cắt nó tại hai điểm — nên đường tròn không phải là đồ thị của một hàm số $y$ theo $x$, dù mỗi phần trên hoặc phần dưới của nó riêng lẻ thì lại là đồ thị của một hàm số (em sẽ gặp lại đường tròn này khi học phương pháp toạ độ ở Course 7).

Ví dụ

Đọc giá trị hàm số từ công thức

1
Cho hàm số $f(x)=x^2-2x+1$ . Tính $f(0)$ , $f(1)$ và $f(-2)$ .
Cho hàm số $f(x)=x^2-2x+1$. Tính $f(0)$, $f(1)$ và $f(-2)$.
2
$f(0)=0^2-2\cdot0+1=1$ . $f(1)=1^2-2\cdot1+1=1-2+1=0$ . $f(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)+1=4+4+1=9$ .
$f(0)=0^2-2\cdot0+1=1$. $f(1)=1^2-2\cdot1+1=1-2+1=0$. $f(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)+1=4+4+1=9$.
3
Vậy $f(0)=1$ , $f(1)=0$ , $f(-2)=9$ — với mỗi giá trị $x$ đưa vào, quy tắc $f$ chỉ trả về đúng một số $y$ duy nhất, khớp với định nghĩa hàm số.
Vậy $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f(-2)=9$ — với mỗi giá trị $x$ đưa vào, quy tắc $f$ chỉ trả về đúng một số $y$ duy nhất, khớp với định nghĩa hàm số.

Tập xác định của hàm số cho bởi công thức

Khi hàm số chỉ cho bằng công thức mà không nói rõ $D$ , ta ngầm hiểu $D$ là tập tất cả các giá trị $x$ làm cho công thức có nghĩa — gọi là tìm tập xác định. Hai loại điều kiện thường gặp nhất ở lớp 10: biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm, và mẫu số của một phân thức phải khác 0. Một công thức có thể mang cả hai điều kiện cùng lúc — khi đó tập xác định là giao của các điều kiện riêng lẻ.

Khi hàm số chỉ cho bằng công thức mà không nói rõ $D$, ta ngầm hiểu $D$ là tập tất cả các giá trị $x$ làm cho công thức có nghĩa — gọi là tìm tập xác định. Hai loại điều kiện thường gặp nhất ở lớp 10: biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm, và mẫu số của một phân thức phải khác 0. Một công thức có thể mang cả hai điều kiện cùng lúc — khi đó tập xác định là giao của các điều kiện riêng lẻ.

Với đa thức — không căn, không mẫu chứa biến — tập xác định luôn là toàn bộ $\mathbb{R}$ , vì cộng, trừ, nhân với số thực không bao giờ vô nghĩa. Việc đầu tiên khi gặp một hàm số mới là nhìn xem công thức có căn hay có mẫu chứa $x$ hay không; nếu không có gì đặc biệt, $D=\mathbb{R}$ ngay, không cần tính thêm. Chẳng hạn $y=3x^3-5x+2$ xác định với mọi $x$ , dù công thức trông có vẻ phức tạp — bậc của đa thức không ảnh hưởng đến tập xác định, chỉ có căn và mẫu mới ràng buộc $x$ .

Với đa thức — không căn, không mẫu chứa biến — tập xác định luôn là toàn bộ $\mathbb{R}$, vì cộng, trừ, nhân với số thực không bao giờ vô nghĩa. Việc đầu tiên khi gặp một hàm số mới là nhìn xem công thức có căn hay có mẫu chứa $x$ hay không; nếu không có gì đặc biệt, $D=\mathbb{R}$ ngay, không cần tính thêm. Chẳng hạn $y=3x^3-5x+2$ xác định với mọi $x$, dù công thức trông có vẻ phức tạp — bậc của đa thức không ảnh hưởng đến tập xác định, chỉ có căn và mẫu mới ràng buộc $x$.

Một điểm cần phân biệt rõ: điều kiện của căn bậc hai là biểu thức dưới căn không âm — cho phép bằng 0 — trong khi điều kiện của mẫu số là khác 0, một điều kiện loại trừ nghiêm ngặt. Nhầm lẫn hai loại điều kiện này, chẳng hạn viết mẫu số $\ge 0$ thay vì $\ne 0$ , là nguồn gốc phổ biến của một tập xác định sai.

Một điểm cần phân biệt rõ: điều kiện của căn bậc hai là biểu thức dưới căn không âm — cho phép bằng 0 — trong khi điều kiện của mẫu số là khác 0, một điều kiện loại trừ nghiêm ngặt. Nhầm lẫn hai loại điều kiện này, chẳng hạn viết mẫu số $\ge 0$ thay vì $\ne 0$, là nguồn gốc phổ biến của một tập xác định sai.

Ví dụ

Tìm tập xác định của

y=\sqrt{x-2}

Tìm tập xác định của $y=\sqrt{x-2}$

1
Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x-2}$ .
Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x-2}$.
2
Biểu thức dưới dấu căn phải không âm, tức là $x-2 \ge 0$ .
Biểu thức dưới dấu căn phải không âm, tức là $x-2 \ge 0$.
3
$x-2 \ge 0 \iff x \ge 2$ .
$x-2 \ge 0 \iff x \ge 2$.
4
Vậy tập xác định là $D=[2;+\infty)$ .
Vậy tập xác định là $D=[2;+\infty)$.

Ví dụ

Tập xác định kết hợp căn và mẫu

1
Tìm tập xác định của hàm số $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-4}}{x-3}$ .
Tìm tập xác định của hàm số $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-4}}{x-3}$.
2
Biểu thức có hai chỗ cần đặt điều kiện: phần dưới dấu căn không âm, và mẫu số khác 0. Ta cần $2x-4 \ge 0$ và $x-3 \ne 0$ .
Biểu thức có hai chỗ cần đặt điều kiện: phần dưới dấu căn không âm, và mẫu số khác 0. Ta cần $2x-4 \ge 0$ và $x-3 \ne 0$.
3
$2x-4 \ge 0 \iff x \ge 2$ . Mẫu số: $x-3 \ne 0 \iff x \ne 3$ .
$2x-4 \ge 0 \iff x \ge 2$. Mẫu số: $x-3 \ne 0 \iff x \ne 3$.
4
Tập xác định là giao của $[2;+\infty)$ với điều kiện loại bỏ $x=3$ . Vậy $D=[2;3) \cup (3;+\infty)$ .
Tập xác định là giao của $[2;+\infty)$ với điều kiện loại bỏ $x=3$. Vậy $D=[2;3) \cup (3;+\infty)$.
5
Thử $x=3$ : mẫu số bằng 0, biểu thức không xác định — đúng như đã loại. Thử $x=2$ : căn bằng 0, mẫu bằng $-1 \ne 0$ , biểu thức xác định — khớp với $D$ vừa tìm.
Thử $x=3$: mẫu số bằng 0, biểu thức không xác định — đúng như đã loại. Thử $x=2$: căn bằng 0, mẫu bằng $-1 \ne 0$, biểu thức xác định — khớp với $D$ vừa tìm.

Đọc đồ thị hàm số

Đồ thị chỉ vẽ được từ

x=2

trở đi — đúng bằng tập xác định vừa tìm ở ví dụ trên.Đồ thị chỉ vẽ được từ $x=2$ trở đi — đúng bằng tập xác định vừa tìm ở ví dụ trên.

Dùng đồ thị này để luyện đọc giá trị hàm số ở phần luyện tập.

Sai lầm thường gặp

Nhiều em quên đổi chiều bất đẳng thức hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0. Với $x-2 \ge 0$ , kết quả là $x \ge 2$ (không phải $x \le 2$ ) — hệ số của $x$ dương nên chiều bất đẳng thức giữ nguyên. Một lỗi khác: khi công thức có cả căn lẫn mẫu, nhiều em chỉ xét một điều kiện rồi bỏ qua điều kiện còn lại, khiến tập xác định thiếu hoặc thừa.

Nhiều em quên đổi chiều bất đẳng thức hoặc quên loại điểm làm mẫu bằng 0. Với $x-2 \ge 0$, kết quả là $x \ge 2$ (không phải $x \le 2$) — hệ số của $x$ dương nên chiều bất đẳng thức giữ nguyên. Một lỗi khác: khi công thức có cả căn lẫn mẫu, nhiều em chỉ xét một điều kiện rồi bỏ qua điều kiện còn lại, khiến tập xác định thiếu hoặc thừa.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Tóm tắt

Một hàm số gắn mỗi $x$ trong tập xác định với đúng một $y$ . Tập xác định của một công thức là tập các $x$ làm biểu thức có nghĩa, xác định qua hai điều kiện quen thuộc: căn không âm, mẫu khác 0. Khi đồ thị đã vẽ sẵn, đọc giá trị hàm số tại một điểm chỉ là dóng từ trục hoành lên đồ thị rồi dóng sang trục tung.

Một hàm số gắn mỗi $x$ trong tập xác định với đúng một $y$. Tập xác định của một công thức là tập các $x$ làm biểu thức có nghĩa, xác định qua hai điều kiện quen thuộc: căn không âm, mẫu khác 0. Khi đồ thị đã vẽ sẵn, đọc giá trị hàm số tại một điểm chỉ là dóng từ trục hoành lên đồ thị rồi dóng sang trục tung.

Bài tiếp theo sẽ hỏi hàm số này biến thiên ra sao — tăng hay giảm khi $x$ tăng — và giới thiệu khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ, hai tính chất giúp nhận ra ngay hình dạng đối xứng của một đồ thị mà không cần vẽ hết.