Bài học

Giới hạn hàm số tại vô cực

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ của hàm phân thức bằng cách so sánh bậc của tử và mẫu, giải thích được ba trường hợp bậc tử bằng, nhỏ hơn, hoặc lớn hơn bậc mẫu dẫn tới ba kiểu kết quả khác nhau, và liên hệ giới hạn tại vô cực với đường tiệm cận ngang trên đồ thị.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em kĩ thuật tính $\lim_{x \to a} f(x)$ tại một điểm hữu hạn bằng phân tích nhân tử (same-grade bridge). Bài này giữ nguyên tinh thần chia cho luỹ thừa cao nhất mà em đã dùng cho dãy số ở Chương 1 (prior lesson trong khoá), chỉ áp dụng cho biến $x$ liên tục tiến ra $+\infty$ hoặc $-\infty$ thay vì biến $n$ nguyên dương.

Khởi động

Một loại thuốc được đưa vào cơ thể; nồng độ thuốc trong máu theo thời gian $t$ được một mô hình đơn giản mô tả bởi $C(t)=\dfrac{10}{t^2+1}$ (mg/L). Nếu bệnh nhân không dùng thêm liều nào nữa, nồng độ thuốc sẽ tiến về đâu khi thời gian trôi qua rất lâu?

Kiến thức trọng tâm

Với hàm phân thức $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ ( $P,Q$ là đa thức), giới hạn tại vô cực được tính bằng cách so sánh bậc của $P$ và $Q$ , sau khi chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$ xuất hiện trong biểu thức — đúng kĩ thuật em đã dùng với dãy số, chỉ khác biến chạy liên tục. Có ba trường hợp: nếu bậc của $P$ bằng bậc của $Q$ , giới hạn bằng tỉ số hai hệ số cao nhất (một số hữu hạn khác 0); nếu bậc của $P$ nhỏ hơn bậc của $Q$ , giới hạn bằng 0 (tử "nhỏ" hơn mẫu rất nhiều nên bị át hẳn); nếu bậc của $P$ lớn hơn bậc của $Q$ , giới hạn là $+\infty$ hoặc $-\infty$ tuỳ dấu của hệ số cao nhất và dấu của $x$ .

Với hàm phân thức $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ ($P,Q$ là đa thức), giới hạn tại vô cực được tính bằng cách so sánh bậc của $P$ và $Q$, sau khi chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$ xuất hiện trong biểu thức — đúng kĩ thuật em đã dùng với dãy số, chỉ khác biến chạy liên tục. Có ba trường hợp: nếu bậc của $P$ bằng bậc của $Q$, giới hạn bằng tỉ số hai hệ số cao nhất (một số hữu hạn khác 0); nếu bậc của $P$ nhỏ hơn bậc của $Q$, giới hạn bằng 0 (tử "nhỏ" hơn mẫu rất nhiều nên bị át hẳn); nếu bậc của $P$ lớn hơn bậc của $Q$, giới hạn là $+\infty$ hoặc $-\infty$ tuỳ dấu của hệ số cao nhất và dấu của $x$.

Khi hàm số có giới hạn hữu hạn $L$ khi $x \to +\infty$ (hoặc $x \to -\infty$ ), đường thẳng nằm ngang $y=L$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số — đồ thị áp sát vào đường này khi đi ra rất xa về hai phía, nhưng không nhất thiết cắt nó. Nếu hàm phân thức còn có một giá trị $x=x_0$ làm mẫu bằng 0 (và tử khác 0 tại đó), đồ thị còn có một tiệm cận đứng $x=x_0$ — đường thẳng đứng mà đồ thị áp sát khi $x$ tiến tới $x_0$ từ một hoặc cả hai phía.

Khi hàm số có giới hạn hữu hạn $L$ khi $x \to +\infty$ (hoặc $x \to -\infty$), đường thẳng nằm ngang $y=L$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số — đồ thị áp sát vào đường này khi đi ra rất xa về hai phía, nhưng không nhất thiết cắt nó. Nếu hàm phân thức còn có một giá trị $x=x_0$ làm mẫu bằng 0 (và tử khác 0 tại đó), đồ thị còn có một tiệm cận đứng $x=x_0$ — đường thẳng đứng mà đồ thị áp sát khi $x$ tiến tới $x_0$ từ một hoặc cả hai phía.

Có thể hình dung ba trường hợp so sánh bậc như một cuộc đua giữa tử và mẫu khi $x$ rất lớn. Nếu hai bên "chạy nhanh như nhau" (cùng bậc), tỉ số của chúng ổn định ở một mức cố định — chính là tỉ số hai hệ số cao nhất. Nếu mẫu "chạy nhanh hơn" tử (bậc mẫu lớn hơn), phân số bị mẫu kéo nhỏ dần về 0. Nếu tử "chạy nhanh hơn" mẫu (bậc tử lớn hơn), phân số bị tử kéo lớn dần ra vô cực. Cách hình dung này giúp em đoán ngay kết quả trước khi bắt tay vào chia từng bước.

Lưu ý rằng kĩ thuật này chỉ áp dụng trực tiếp cho hàm phân thức — tỉ số của hai đa thức. Với những hàm chứa căn thức ở tử hoặc mẫu, em cần xác định đúng luỹ thừa "hiệu dụng" của biến bên trong căn trước khi so sánh bậc (ví dụ $\sqrt{x^2+1}$ có bậc hiệu dụng bằng 1, không phải 2, vì căn bậc hai của $x^2$ trả về đúng bậc $x$ ). Bài này chỉ dừng ở hàm phân thức thuần tuý; dạng chứa căn sẽ gặp lại khi em học sâu hơn ở các lớp sau.

Lưu ý rằng kĩ thuật này chỉ áp dụng trực tiếp cho hàm phân thức — tỉ số của hai đa thức. Với những hàm chứa căn thức ở tử hoặc mẫu, em cần xác định đúng luỹ thừa "hiệu dụng" của biến bên trong căn trước khi so sánh bậc (ví dụ $\sqrt{x^2+1}$ có bậc hiệu dụng bằng 1, không phải 2, vì căn bậc hai của $x^2$ trả về đúng bậc $x$). Bài này chỉ dừng ở hàm phân thức thuần tuý; dạng chứa căn sẽ gặp lại khi em học sâu hơn ở các lớp sau.

Hai đường nét đứt là tiệm cận đứng x=3 và tiệm cận ngang y=2 — không thuộc đồ thị, chỉ là đường mà đồ thị tiến sát tới.

Ví dụ chuẩn

Ví dụ

Giới hạn tại vô cực khi bậc tử bằng bậc mẫu

1
Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-3}$ và $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+1}{x-3}$ .
Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x+1}{x-3}$ và $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+1}{x-3}$.
2
Bậc của tử và mẫu đều bằng 1, chia cả hai cho $x$ : $\dfrac{2x+1}{x-3}=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$ .
Bậc của tử và mẫu đều bằng 1, chia cả hai cho $x$: $\dfrac{2x+1}{x-3}=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$.
3
Khi $x \to +\infty$ , $\dfrac{1}{x} \to 0$ và $\dfrac{3}{x} \to 0$ , nên giới hạn bằng $\dfrac{2+0}{1-0}=2$ .
Khi $x \to +\infty$, $\dfrac{1}{x} \to 0$ và $\dfrac{3}{x} \to 0$, nên giới hạn bằng $\dfrac{2+0}{1-0}=2$.
4
Khi $x \to -\infty$ , $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{3}{x}$ vẫn tiến về 0 (chỉ khác từ phía âm), nên giới hạn cũng bằng $\dfrac{2}{1}=2$ .
Khi $x \to -\infty$, $\dfrac{1}{x}$ và $\dfrac{3}{x}$ vẫn tiến về 0 (chỉ khác từ phía âm), nên giới hạn cũng bằng $\dfrac{2}{1}=2$.
5
Vậy cả hai giới hạn đều bằng 2 — đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$ ở cả hai phía. Vì mẫu bằng 0 tại $x=3$ , đồ thị còn có tiệm cận đứng $x=3$ .
Vậy cả hai giới hạn đều bằng 2 — đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$ ở cả hai phía. Vì mẫu bằng 0 tại $x=3$, đồ thị còn có tiệm cận đứng $x=3$.
6
Thay $x=100$ trực tiếp: $\dfrac{2(100)+1}{100-3}=\dfrac{201}{97}\approx 2{,}07$ — đã rất gần 2, đúng chiều hội tụ vừa tính. Càng lấy $x$ lớn hơn, kết quả càng sát 2 hơn nữa.
Thay $x=100$ trực tiếp: $\dfrac{2(100)+1}{100-3}=\dfrac{201}{97}\approx 2{,}07$ — đã rất gần 2, đúng chiều hội tụ vừa tính. Càng lấy $x$ lớn hơn, kết quả càng sát 2 hơn nữa.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Nồng độ thuốc trong máu tiến về 0 theo thời gian

1
Với mô hình $C(t)=\dfrac{10}{t^2+1}$ (mg/L, $t$ tính bằng giờ), tìm $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ và giải thích ý nghĩa thực tế.
Với mô hình $C(t)=\dfrac{10}{t^2+1}$ (mg/L, $t$ tính bằng giờ), tìm $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ và giải thích ý nghĩa thực tế.
2
Tử là hằng số (bậc 0), mẫu $t^2+1$ có bậc 2 — bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
Tử là hằng số (bậc 0), mẫu $t^2+1$ có bậc 2 — bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
3
$C(t)=\dfrac{10}{t^2+1}=\dfrac{\frac{10}{t^2}}{1+\frac{1}{t^2}}$ ; khi $t \to +\infty$ , cả $\dfrac{10}{t^2}$ và $\dfrac{1}{t^2}$ đều tiến về 0.
$C(t)=\dfrac{10}{t^2+1}=\dfrac{\frac{10}{t^2}}{1+\frac{1}{t^2}}$; khi $t \to +\infty$, cả $\dfrac{10}{t^2}$ và $\dfrac{1}{t^2}$ đều tiến về 0.
4
Vậy $\lim_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{0}{1}=0$ — đúng quy tắc "bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì giới hạn bằng 0". Về mặt thực tế, nồng độ thuốc trong máu giảm dần về 0 theo thời gian nếu không dùng thêm liều — cơ thể đào thải thuốc hoàn toàn khi đủ lâu. Đường $y=0$ (trục hoành) chính là tiệm cận ngang của đồ thị $C(t)$ , và vì nồng độ luôn dương với mọi $t\ge 0$ , đồ thị áp sát trục hoành từ phía trên chứ không bao giờ cắt qua nó.
Vậy $\lim_{t \to +\infty} C(t)=\dfrac{0}{1}=0$ — đúng quy tắc "bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì giới hạn bằng 0". Về mặt thực tế, nồng độ thuốc trong máu giảm dần về 0 theo thời gian nếu không dùng thêm liều — cơ thể đào thải thuốc hoàn toàn khi đủ lâu. Đường $y=0$ (trục hoành) chính là tiệm cận ngang của đồ thị $C(t)$, và vì nồng độ luôn dương với mọi $t\ge 0$, đồ thị áp sát trục hoành từ phía trên chứ không bao giờ cắt qua nó.

Ví dụ khó hơn

Ví dụ

Giới hạn vô cực khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu

1
Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{x+2}$ .
Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{x+2}$.
2
Tử có bậc 2, mẫu có bậc 1 — bậc tử lớn hơn bậc mẫu, nên giới hạn không thể là một số hữu hạn khác 0.
3
$\dfrac{x^2+1}{x+2}=\dfrac{x+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$ .
$\dfrac{x^2+1}{x+2}=\dfrac{x+\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$.
4
Khi $x \to +\infty$ : tử $x+\dfrac{1}{x} \to +\infty$ , mẫu $1+\dfrac{2}{x} \to 1>0$ .
Khi $x \to +\infty$: tử $x+\dfrac{1}{x} \to +\infty$, mẫu $1+\dfrac{2}{x} \to 1>0$.
5
Thương của một đại lượng tiến ra $+\infty$ chia cho một đại lượng tiến tới số dương vẫn tiến ra $+\infty$ . Vậy $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{x+2}=+\infty$ — đồ thị không có tiệm cận ngang về phía này.
Thương của một đại lượng tiến ra $+\infty$ chia cho một đại lượng tiến tới số dương vẫn tiến ra $+\infty$. Vậy $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{x+2}=+\infty$ — đồ thị không có tiệm cận ngang về phía này.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên so sánh bậc tử và bậc mẫu trước, rồi chia cho "luỹ thừa cao nhất" nhầm bậc (ví dụ chia cho $x$ thay vì $x^2$ ), khiến các số hạng không tiến về 0 đúng cách và ra kết quả sai. Một lỗi khác: nhầm tiệm cận ngang với tiệm cận đứng — tiệm cận ngang đến từ giới hạn khi $x \to \pm\infty$ (đường nằm ngang $y=L$ ), còn tiệm cận đứng đến từ điểm làm mẫu bằng 0 (đường thẳng đứng $x=x_0$ ) — hai khái niệm hoàn toàn khác nhau về bản chất dù cùng gọi là "tiệm cận". Một hàm phân thức có thể có cả hai loại tiệm cận cùng lúc, hoặc chỉ một loại, hoặc không loại nào — phải xét riêng từng loại bằng đúng phép tính của nó, không suy luận loại này từ loại kia.

Sai lầm thường gặp: quên so sánh bậc tử và bậc mẫu trước, rồi chia cho "luỹ thừa cao nhất" nhầm bậc (ví dụ chia cho $x$ thay vì $x^2$), khiến các số hạng không tiến về 0 đúng cách và ra kết quả sai. Một lỗi khác: nhầm tiệm cận ngang với tiệm cận đứng — tiệm cận ngang đến từ giới hạn khi $x \to \pm\infty$ (đường nằm ngang $y=L$), còn tiệm cận đứng đến từ điểm làm mẫu bằng 0 (đường thẳng đứng $x=x_0$) — hai khái niệm hoàn toàn khác nhau về bản chất dù cùng gọi là "tiệm cận". Một hàm phân thức có thể có cả hai loại tiệm cận cùng lúc, hoặc chỉ một loại, hoặc không loại nào — phải xét riêng từng loại bằng đúng phép tính của nó, không suy luận loại này từ loại kia.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

So sánh bậc tử ( $P$ ) và bậc mẫu ( $Q$ ) của $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ : bậc bằng nhau → giới hạn là tỉ số hệ số cao nhất; bậc tử nhỏ hơn → giới hạn bằng 0; bậc tử lớn hơn → giới hạn là $\pm\infty$ . Giới hạn hữu hạn tại vô cực cho tiệm cận ngang; điểm làm mẫu bằng 0 cho tiệm cận đứng.

So sánh bậc tử ($P$) và bậc mẫu ($Q$) của $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$: bậc bằng nhau → giới hạn là tỉ số hệ số cao nhất; bậc tử nhỏ hơn → giới hạn bằng 0; bậc tử lớn hơn → giới hạn là $\pm\infty$. Giới hạn hữu hạn tại vô cực cho tiệm cận ngang; điểm làm mẫu bằng 0 cho tiệm cận đứng.

Chương tiếp theo dùng chính khái niệm giới hạn tại một điểm vừa học để định nghĩa hàm số liên tục — một hàm số mà đồ thị không bị đứt đoạn, khe hở hay nhảy bậc tại bất kì điểm nào trong tập xác định của nó.